平面鏡成像問題再討論

陳 雁

（浙江省寧波市鎮(zhèn)海教師進(jìn)修學(xué)校，浙江 寧波 315200）

1 用平面鏡成像的基本原理對競賽題進(jìn)行簡明求解

本刊2012年第11期刊登了“對一道競賽題的再思考”，以下簡稱“再思考”，文章對競賽題的錯誤答案進(jìn)行了分析，并給出了正確的結(jié)果.但文章中關(guān)于為何成7個像的討論和作圖過于復(fù)雜，本文試著用平面鏡成像的基本原理，簡明得出成像的個數(shù).

圖1

“再思考”一文討論的競賽題：如圖1所示，房間內(nèi)一墻角處相臨兩墻面掛了兩個平面鏡，兩平面鏡相互垂直，在該墻角緊靠鏡面處放有一個臉盆，盆內(nèi)有水.某學(xué)生通過鏡面和水面最多能看到自己像的個數(shù)為

（A）3個. （B）6個. （C）9個 （D）無窮.

原題答案是選項（B），是錯誤的.正確的結(jié)論應(yīng)該能看到7個像.

競賽題中，臉盆內(nèi)的水可以看作水平面上的平面鏡.因此，本題就相當(dāng)于研究3面互相垂直平面鏡的成像問題.

平面鏡成像特點：像與物關(guān)于鏡面對稱.

先討論2面互相垂直的平面鏡成像，如圖2所示.M1、M2為互相垂直的平面鏡.S1、S2是一次反射成像：S1是物體經(jīng)過平面鏡M11次反射成的像，S2是物體經(jīng)過平面鏡M2成的像；S12是物體先經(jīng)過M1再經(jīng)過M22次反射后所成的像.由于M1、M2互相垂直，所以物體先經(jīng)過M1后經(jīng)過M2反射所成的像S12與先經(jīng)M2后經(jīng)M1反射所成的像S21剛好重疊，物體S共成3個像.

圖2

3面互相垂直的平面鏡的成像如圖3所示.M1、M2、M3為互相垂直的平面鏡.根據(jù)平面成像特點，物體在平面鏡M1、M2所成的3個像連同物體S，在平面鏡M3中成4個像，所以物體S在3面互相垂直的平面鏡中共成7個像.7個像中，3個是正立的，4個是倒立的；其中S123是物體經(jīng)過3次反射后所成的像.由于3個平面鏡互相垂直，使得3次反射所成的像S123、S132、S213、S231、S312、S321重疊.

圖3

為了驗證結(jié)果，筆者做了實驗，能很清楚看到7個像.

出題者，可能是遺漏了物體S在平面鏡M3中所成的像，給出了錯誤的結(jié)果.

2 對互成角度2面平面鏡成像規(guī)律的討論

“再思考”一文中另一個結(jié)論：“像和被成像者關(guān)于鏡面對稱，既然是對稱的，它們應(yīng)該成對出現(xiàn)，成像個數(shù)就為奇數(shù).”

平面鏡成像個數(shù)一定為奇數(shù)嗎？從上面的討論可知，2面互相垂直的平面鏡應(yīng)該成4個像，因為經(jīng)過2次反射所成的2個像重疊，所以能看到3個像.如果2次反射所成的像不重疊，那么成像個數(shù)可以是偶數(shù)個，這種情景存在嗎？

圖4

如圖4所示，設(shè)兩平面鏡OM、O N鏡面夾角為θ，兩鏡面間有一物點S，與兩鏡面直線相交于0點的距離為R.根據(jù)平面鏡成像的特點，作物點S的像點S1、S2、S3、S4、…… 和 S1′、S2′、S3′、S4′、…….S1、S2、S3、S4、……是物體最后經(jīng) 平 面 鏡 OM 反 射 所 成 的 像 點；像 點 S1′、S2′、S3′、S4′、……為最后經(jīng)平面鏡O N反射所成的像點.

物點經(jīng)過2平面鏡多次反射后，成像位置在2平面鏡延長線之間，則這個像即為最后成像，如圖4中的像S7、S7′.如果S7、S7′不重疊，則成像為偶數(shù)個.

直接研究物點S經(jīng)2平面鏡反射成像個數(shù)，試過幾種方法，發(fā)現(xiàn)問題比較復(fù)雜，很難得出一般規(guī)律.為此，換一種思路，先討論2平面鏡自身成像情況，在此基礎(chǔ)上，再討論物點成像個數(shù)規(guī)律.

2.1 平面鏡自身成像

任意夾角θ的2平面鏡，當(dāng)它們之間的物點S經(jīng)過2平面鏡多次反射成像時，平面鏡本身作為物體，經(jīng)過彼此平面鏡的多次反射也能成像.平面鏡OM、ON之間的夾角為θ，根據(jù)平面鏡成像原理，2平面鏡成像如下圖所示，小標(biāo)號表示反射的次數(shù).如OM1為平面鏡OM經(jīng)過1次反射后成的像，OM2為平面鏡OM經(jīng)過2次反射成的像……同理，ON1為平面鏡ON經(jīng)過1次反射后成的像，ON2為平面鏡ON經(jīng)過2次反射成的像……根據(jù)平面鏡成像原理，OM2可以看作OM經(jīng)過虛鏡ON1反射成像，OM4可看作虛物OM2經(jīng)過虛鏡ON2反射成像……2平面鏡經(jīng)過多次反射后，成像位置在其自身延長線OA、OB之間，則為最后成像位置，因為此時的像位于平面鏡背面，從這些“像”發(fā)出的光線不能射到鏡面，因而不能再成像.

若L為奇數(shù)，平面鏡及其所成的像將圓分為2 K＋1個圓心角為θ的區(qū)域和1個圓心角為α的區(qū)域，L＝2 K＋1.最后的K、K′區(qū)域沒有重疊部分.所分區(qū)域關(guān)于角平分線CD對稱，如圖5所示.

圖5

若L為偶數(shù)，平面鏡將圓周分為2 K個圓心角為θ的區(qū)域和1個圓心角為α的區(qū)域，L＝2 K.平面鏡成像關(guān)于角平分線對稱，在角平分線的2側(cè)各形成圓心角為θ的K個區(qū)域，最后的K、K′區(qū)域部分重疊，重疊部分所對圓心角θ－α.如圖6所示.

圖6

2.2 物點S成像情況

物點S位于平面鏡MN 之間，經(jīng)過多次反射，在每個圓心角為θ的區(qū)域內(nèi)成一個像.因像點位于2平面鏡之間，平面鏡OM、ON 的延長線OA、OB在最后的K、K′區(qū)域內(nèi)，所以問題變得比較復(fù)雜.物點S最終能成幾個像，關(guān)鍵要討論以下2個方面.

（1）最后的K、K′區(qū)域的像SK、SK′的位置：如果SK、SK′位于2平面鏡的延長線OA、OB之間，則不能再成像；如果SK、SK′位于2平面鏡的延長線OA、OB之外，則能再次經(jīng)平面鏡反射成像.

（2）最后成的2個像會不會重疊：如果最后的2個像重疊，則成像數(shù)要減去一個.

物點S在每個圓心角為θ的區(qū)域中成1個像，成2 K個像，再對K、K′區(qū)域的像SK、SK′，進(jìn)行討論.

①K區(qū)域中像點SK能再次成像SK＋1；K′區(qū)域的像SK′位于2平面鏡延長線OA、OB之間，不能再成像，如圖7所示.

圖7

像SK＋1和像SK′不可能重疊.

事實上，SK＋1、SK關(guān)于OB 對稱，OMK、OMK－1關(guān)于OB對稱，像點SK＋1不可能位于K′區(qū)域，所以像SK＋1和像SK′不可能重疊.

①K、K′區(qū)域中的2個像SK、SK′均能再次成像，最后2個像為SK＋1、SK＋1′，如圖8所示.

圖8

圖9

①K區(qū)域中的像SK能再次反射成像為SK＋1，K′區(qū)域的像SK′位于OA、OB之間，不能再次成像.如圖10所示.

圖10

若α≠0，像SK、SK不會重疊，共成2 K＝L個像.

圖11

這2種情況，成像個數(shù)均為L－1.

（3）成像個數(shù)列表.

表1

表1中，θ為2平面鏡夾角，β為物點S與平面鏡交點O的連線與2平面鏡的夾角.2.4 舉例L為奇數(shù)：

β≤12°，成9個像；12°≤β≤21°，成8個像.

以上是對互成角度2平面鏡成像規(guī)律的討論，如有不當(dāng)之處，請各位同仁指正.