一種高效率的RPIM法及其在電磁場中的應用

王立鵬，王欣彥，戰(zhàn)洪仁，張先珍，寇麗萍

(沈陽化工大學，遼寧沈陽110142)

0 引 言

近些年來發(fā)展的無單元法不需要生成網(wǎng)格，通過節(jié)點來構造插值函數(shù)，在國內(nèi)外受到高度重視，成為熱門的數(shù)值計算方法。無單元法在分析裂紋擴展、特大變形、碰撞、金屬沖壓成型等很多問題具有優(yōu)勢［1］。無單元法也可被用來解決電磁場數(shù)值計算網(wǎng)格限制的問題［2-7］。目前，已有多種無單元法，徑向基點插值型無單元法［8］是其中一種。徑向基函數(shù)(RBF，Radial Basis Fuction)是以點x到節(jié)點xi之間的距離為自變量構成的一類函數(shù)，也叫距離基函數(shù)。它具有求解效率高、運算簡單、各向同性和空間維數(shù)無關等優(yōu)點，幾乎可以逼近所有的函數(shù)。因此，在多元逼近論中用徑向基函數(shù)進行插值已成為一種有效的工具。常用的徑向基函數(shù)有數(shù)種，其中的復合2次Multiquadrics(MQ)徑向基函數(shù)由于具有較高的收斂率［9］，應用較為廣泛。

然而，無單元法的計算量較大，其求解效率不及有限元法。通常，無單元法的求解采用迭代方法，包括高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代、松弛迭代、共軛梯度法(Conjugate Gradient，CG)、廣義最小余數(shù)法等。

目前，在迭代求解方法中，多重網(wǎng)格法是一種比較熱門的求解方法。簡單地說，多重網(wǎng)格法是采用不同尺度的網(wǎng)格，先在細網(wǎng)格上進行光滑迭代，消除高頻誤差，然后通過限制算子R將細網(wǎng)格上殘差轉換至粗網(wǎng)格，再通過粗網(wǎng)格來消除低頻誤差，這樣一層一層傳下去，然后殘差又通過延拓算子R一層一層返回到細網(wǎng)格上，對先前的細網(wǎng)格迭代解進行修正。這就是應用較為廣泛的V循環(huán)多重網(wǎng)格法的思想。

上世紀60年代，多重網(wǎng)格方法(MG)開始出現(xiàn)，起初并未受到重視。從20世紀70年代開始，多重網(wǎng)格法成為研究熱點，得到了快速的發(fā)展，現(xiàn)在已成為一種有效的數(shù)值方法，用來求解偏微分方程組離散化形成的大型代數(shù)方程組［10-18］。多重網(wǎng)格法的主要優(yōu)點是它具有快速收斂性，收斂速度與網(wǎng)格尺寸無關。該方法可應用到電磁場的數(shù)值分析中［19］。

多重網(wǎng)格法是以有限差分法為架構來引入多重網(wǎng)格的校正與迭代技術，實質(zhì)上是多重網(wǎng)格有限差分法。因而，同有限差分法一樣，多重網(wǎng)格法對復雜的定解條件、復雜的邊界幾何結構等方面問題模擬較為困難。

多重網(wǎng)格法求解技術同有限單元法相結合［20］，可提高求解效率，正被用來求解各種數(shù)值計算問題。目前，該方法在無單元法的應用還很有限，多重網(wǎng)格法已被用在無單元伽遼金法上來求解電磁場問題［21］，但這種高效的求解方法還未被應用到徑向基點插值型無單元法。本文將徑向基點插值型無單元法同多重網(wǎng)格法思想相結合，提出基于徑向基點插值型無單元的多重節(jié)點法，該方法在粗節(jié)點的構造方法及限制算子的確定等方面都與有限元多重網(wǎng)格法有所區(qū)別。通過算例分析，證明多重節(jié)點法可獲得較為理想的徑向基點插值型無單元法的求解效率。

1 徑向基點插值型無單元多重節(jié)點法(RPIM－MN)原理

1.1 多重節(jié)點法(MN)

多重網(wǎng)格法是基于網(wǎng)格基礎之上的，在有限單元法、有限差分法等以網(wǎng)格為基礎的離散方法中都有廣泛的應用。而無單元法本身指的是通過一組散布節(jié)點來構造場函數(shù)的近似表達式，可以消除網(wǎng)格，即使有背景網(wǎng)格也只是用來進行積分計算的。可見，以網(wǎng)格為基礎的多重網(wǎng)格法并不是為無單元法量身定做的。但是，可以借鑒高效求解的多重網(wǎng)格法的思想，將其引入到無單元法的求解中，這就是多重節(jié)點法。

為了簡單起見，只分析用粗細兩層無單元節(jié)點。在細節(jié)點的離散場域上，實施徑向基點插值型無單元法求解給定的線性方程組:

式中:KH為粗節(jié)點線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣;ΩH為粗節(jié)點求解域;rH為殘差。

該方法的計算步驟如下:

(1)前光滑迭代計算，對KHxH=bH進行細節(jié)點迭代，得到近似的解υH，并計算細節(jié)點近似解的殘差。

(2)對殘差進行限制，rH←R(bυh-Khυh，由 Ωh向ΩH轉移。

(3)在ΩH上解殘差方程。設υH=0，解KHxH=rH，用υH作為近似的解。

粗節(jié)點系數(shù)矩陣:KH=RKhP

(4)插值，由向ΩH向Ωh轉移校正量，并修正Ωh上的解:

由R=σPT可確定P，其中σ為比例系數(shù)。

(5)后光滑迭代計算，ε0為一個任意小的正數(shù)，若 ε≥ε0，轉向步驟(1)。

1.2 徑向基點插值型無單元多重節(jié)點法(RPIMMN)

在粗節(jié)點的構造方法及限制算子的確定方法上，徑向基點插值型無單元多重節(jié)點法同有限元多重網(wǎng)格法有所區(qū)別。

(1)粗節(jié)點的構造算法

該法采用了聚集式的方法構造粗節(jié)點，也就是從初始細節(jié)點中，按一定地方式選出粗節(jié)點，不再另外布置新點。具體如下:

(a)為每個節(jié)點k確定一個“影響值”v(k)，其值等于節(jié)點k的影響域內(nèi)節(jié)點數(shù)目。

(b)對于邊界節(jié)點，首先將邊界幾何結構突變點選作粗節(jié)點;然后按“影響值”從大到小選取N個節(jié)點為粗節(jié)點。N約為邊界節(jié)點總數(shù)的一半。

(c)對于內(nèi)部節(jié)點，按“影響值”從大到小選取M個節(jié)點為粗節(jié)點。M約為節(jié)點總數(shù)的一半。

(d)對于均勻布點，可在細節(jié)點的基礎上間隔的選取粗節(jié)點。

(e)將新粗節(jié)點的影響域中所有未定點變?yōu)榧毠?jié)點。

圖1表示了均勻布點情況下，兩重節(jié)點法的粗、細節(jié)點布置及各節(jié)點的支撐域。圖中的圓形區(qū)域為各節(jié)點的影響域。

圖1 徑向基點插值型無單元多重節(jié)點法示意圖

(2)限制算子R的確定

對無單元法來說，限制算子R是指將細節(jié)點上殘差限制到粗節(jié)點上的映射矩陣。限制算子是根據(jù)粗、細節(jié)點的位置來確定的。由于沒有網(wǎng)格的束縛，徑向基點插值型無單元兩重節(jié)點法粗節(jié)點和細節(jié)點之間的映射關系較為簡單，可采用節(jié)點間的距離函數(shù)來構造。本文討論兩重節(jié)點(細節(jié)點層為k，粗節(jié)點層為k-1)的迭代情況。

限制算子矩陣元素:

式中:i為任意一個粗節(jié)點號;j為任意一個在粗節(jié)點i影響域內(nèi)的無單元節(jié)點號(不包括i節(jié)點);m是粗節(jié)點i影響域內(nèi)節(jié)點數(shù);rij表示粗節(jié)點i與節(jié)點的距離。

按式(3)，限制算子R可以根據(jù)細節(jié)點和粗節(jié)點在場域中的相應位置來確定。

延拓算子P可根據(jù)P=RT來確定。

上述算法也可以類推，形成徑向基點插值型無單元多重節(jié)點法。

2 計算實例

算例一:一長直接地金屬槽，a=0.1 m，槽內(nèi)電位函數(shù) φ(x，y)滿足 Laplace方程，φ0=10 V，邊界條件如圖2所示。取第一類邊界上罰因子為10 000;在計算中采用了二重節(jié)點，51×51個細節(jié)點，26×26個粗節(jié)點，計算后再增加節(jié)點數(shù)，比較多重節(jié)點法(MN)與共軛梯度法(ICCG)的計算結果，如圖3所示?？梢钥闯?，同 ICCG法相比，MN法的計算時間要少得多。

算例二:一臺長為55 mm、外徑為53 mm的永磁直流電動機，該電機為瓦片形磁極結構，4對極8槽，釹鐵硼永磁體磁化方向為平行磁化。其磁鋼矯頑力為7.81×105A/m，所建立的場域模型如圖4所示。

圖4 永磁直流電動機空載磁場

對電機的空載電磁場進行分析，取一個極距為求解區(qū)域，AB邊、CD邊滿足第二類齊次邊界條件:

用無單元法離散電機電磁場域，分別采用MN法和ICCG法對其進行求解。MN法采用二重節(jié)點法，無單元細節(jié)點數(shù)為59 731，無單元粗節(jié)點數(shù)為29460。

通過計算，得到10-4精度要求下的電機磁力線分布，如圖4所示。其中，二重節(jié)點法計算時間為187 s，ICCG法計算時間為294 s。

由于多重節(jié)點法的迭代計算是分散在各層中進行的，且粗節(jié)點數(shù)目較少，所以計算迭代次數(shù)時，粗節(jié)點的迭代次數(shù)必須折合到細節(jié)點，方便與單層ICCG法的迭代次數(shù)進行對比。

將W定義為總迭代數(shù)，其表達式:

式中:M為多重節(jié)點的層數(shù);Nk為在第k層中的迭代次數(shù)。

由于在多層節(jié)點中，W相當于把各層的迭代計算次數(shù)都折算到最細層，然后疊加。由于忽略了限制算子和延拓算子的工作量，總迭代數(shù)可方便、粗略地估計多重節(jié)點法計算量。

比較多重節(jié)點法總迭代數(shù)與ICCG法的總迭代數(shù)，得到總迭代數(shù)與收斂容差之間的關系曲線，如圖5所示。容易看出，在滿足相同的精度條件下，多重節(jié)點法的總迭代數(shù)要比ICCG法的小很多。也就是說，徑向基點插值型無單元多重節(jié)點法較ICCG法有更高的計算效率。

圖5 總迭代數(shù)和收斂容差關系曲線

3 結 論

本文對于用多重節(jié)點法求解RPIM無單元法離散的電磁場域進行研究，總結如下:

(1)通過引入多重網(wǎng)格法的思想，構造了適用于徑向基點插值型無單元法的多重節(jié)點法，并實現(xiàn)了用多重節(jié)點法求解徑向基點插值型無單元法問題，從而在快速收斂的同時又兼有無單元法消除網(wǎng)格限制的特點。

(2)對同一問題來說，在相同的精度要求下，在同一自由度下，RPIM-MN法要較ICCG法具有更高的計算效率。

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