淺談導數(shù)概念的教學策略*

王雅萍

(江蘇商貿職業(yè)學院 基礎部，江蘇 南通 226001)

導數(shù)是微分學中的一個基本概念，在整個數(shù)學知識體系中起到承上啟下的作用，也是高職數(shù)學教學中的重難點，學生能否牢固掌握導數(shù)概念直接影響到后續(xù)內容的學習．文章結合教學實踐談談關于導數(shù)概念引入的幾點見解．

1 現(xiàn)有導數(shù)概念引入分析

現(xiàn)在的高等數(shù)學教材中,大多是以質點變速直線運動的瞬時速度和電流強度的例子來引入導數(shù)概念,這種導入方法有利有弊，對于中學物理基礎知識扎實的學生來說，自然容易理解；而對于基礎薄弱的那部分學生,接受起來難上加難．對于基礎相對薄弱的高職生來說，導數(shù)概念內容抽象、符號多、公式復雜，其定義的方法不熟悉,加之前期極限概念沒有很好地掌握，導致開始接觸導數(shù)定義就難以接受和理解，從而完全對其失去興趣，不能很好的參與到教學中來，這樣的教學結果一定是失敗的．因此，我們在教學過程中一定要重視教學伊始的導入環(huán)節(jié)．

2 導數(shù)概念引入的方法

2.1 通過結合專業(yè)問題過渡到導數(shù)概念

新課改的指導思想是通過學習，學生能將數(shù)學概念與實際概念相融合，并將數(shù)學概念與專業(yè)中的相關概念對接，能在實際問題情景中合理利用數(shù)學知識解決問題．而在實際教學中，數(shù)學教學與專業(yè)學習相脫節(jié)，學生所學的數(shù)學知識不知道如何在專業(yè)中運用．因此在引入導數(shù)概念的時候，應當以學生的實際學習水平和專業(yè)情況為依據(jù)，盡量運用專業(yè)課中的導數(shù)原型例子，加強對實際問題的分析，根據(jù)每個學生實際的專業(yè)特征來進行有針對性的準備，從而深化學生對導數(shù)的認識．如果不考慮學生的專業(yè)需求，強制學生學習的話，必然會抹殺學生對數(shù)學的求知欲．學生的專業(yè)需求不一樣就會提出自己對學習的不同要求，這樣才能使每個學生在學習的時候由被動轉變成主動、自愿．

在實際教學中，我們發(fā)現(xiàn)在結合專業(yè)講具體案例時，學生的興趣濃厚，學習積極性較高．比如：汽車制造類，機械設計制造類專業(yè)的學生物理知識比較扎實，對速度這個概念相對比較敏感，這部分學生就適合用變速運動的瞬時速度例子引入導數(shù)概念．并詳細講解加速度與速度的關系．如果是電力技術類的學生就比較適合用電流強度的例子引入導數(shù)概念，這和他們的專業(yè)息息相關．如果是制圖類專業(yè)的學生就適合用導數(shù)的幾何意義——切線的斜率來引入．求曲線切線斜率是導數(shù)概念的幾何背景, 借助圖形對于有一定空間思維的學生來說, 都能很直觀的得出曲線的切線即可看作割線向其極限位置逼近, 從圖形上形成更直觀的感受，從而突出概念的本質．強調幾何直觀．對于財政金融類，經(jīng)濟貿易類的學生則可以從邊際成本等經(jīng)濟學方面的問題來導入概念，如彈性函數(shù)，邊際成本等問題．對于化工專業(yè)的學生，可以用化學反應濃度變化率的問題來引入概念．

2.2 通過實際問題的建模過程過渡到導數(shù)概念

為了引入導數(shù)概念，在教學中可以先引入以下一個數(shù)學模型．

題目為：一個受污染的湖泊，為了使湖水能在一定時間內恢復到指定的潔凈程度，要對排入該湖的河水進行治理，問排入的河水的污染物濃度要控制在什么范圍．

(1)問題的簡化：一個容積為C的容器，內有濃度為a%的溶液，該容器有一個進水口和一個出水口，現(xiàn)以D單位每小時的速度注入濃度為b% 的溶液，同時容器內溶液以同樣速度流出，問容器內的溶液濃度的變化率．

(2)模型的建立：首先考慮流入容器的水為清水的情況，并假定容器內的溶液濃度始終是均勻的，那么流出的溶液濃度就是容器內溶液的濃度．在這樣的假設條件下，容器內的溶液濃度變化全部是由溶質的流失引起，因此得到公式：濃度變化率=溶質變化量/(溶液總量×變化時間)．

(3)模型的優(yōu)化：如果考慮到流入容器的水不是清水，則只需要將溶質變化量改為流入溶質減去流出溶質即可．

但在上面的討論中，有一個問題被忽略掉了，那就是濃度，要知道它不是固定不變的，而是隨時間的變化而變化的．這時可以引導學生思考，若取時間為一小時，濃度變化顯然太大，如果考慮在一分鐘內濃度的變化顯然不會太大，因而將濃度看作常數(shù)來計算而帶來的誤差也不會太大，可是一分鐘內溶液濃度還是有變化的，要得到更加精確的結果就要把時間進一步縮短，如1s、0.1s、……，那么所得的結果就會越來越精確．這時讓學生考慮，如果要得到精確結果應該怎么辦？這時學生自然會想到應該把時間無限縮短，即取時間趨于零的極限情況．

通過這樣一個實際的建模過程由學生親自參與，并結合其他例子，抓住他們的共性，就可以引出導數(shù)概念．這樣引入概念，學生有興趣、有成就感，理解更透徹，掌握更牢固．

2.3 通過結合數(shù)學史的相關故事過渡到導數(shù)概念

數(shù)學史導入法即是利用數(shù)學家的傳記或數(shù)學發(fā)展史導入新課的方法．這種方法可以使得課堂教學不枯燥乏味，有血有肉．同時還能通過榜樣的力量去感染學生，調動他們的學習積極性，喚起他們的探索熱情．因此，教師在對導數(shù)概念進行教學時，可以適當提及相關數(shù)學家提出的導數(shù)概念說法。比如：1750年達朗貝爾在為法國科學院出版的《百科全書》第四版寫的“微分”條目中提出了關于導數(shù)的一種觀點，可以用現(xiàn)代符號簡單表示．1823年，柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導數(shù)．19世紀60年代以后，魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε-δ語言，對微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達，導數(shù)的定義也就變成了今天常見的形式．

傳統(tǒng)的導數(shù)教學只是按“公理、定義、定理、證明”四部曲，按部就班地呈現(xiàn)．但是，對于概念的形成，公式、定理的發(fā)現(xiàn)，乃至理論的創(chuàng)造與生長過程，這些更有趣的部分，幾乎不談．換言之，將完整的探索過程去頭砍尾，即去掉人文與歷史土壤，再砍掉品味與欣賞，結果造成數(shù)學的無趣與面目可憎，迫使學生走上痛苦之路．

另外，在實際教學中，課前教師可以布置一些任務讓學生準備．例如讓學生搜集相關數(shù)學文化背景，導數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的歷史，一些相關數(shù)學家的資料，從而滲透數(shù)學文化教育，避免學生對數(shù)學的抵觸情緒．上課時可以讓學生分組交流，認真體會一個新知識的發(fā)現(xiàn)并不是脫離實際的，也不是數(shù)學家憑空想象出來的，而是起源于各種生活中的相關問題，從而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的意識，激發(fā)學生主動學習的積極性．通過深刻挖掘數(shù)學知識背后的人文因素、審美因素和育人價值，使得學生通過學習，不僅達到知識體系的完善和數(shù)學思維的培養(yǎng)，而且還會感受到數(shù)學的美和學習數(shù)學的樂趣，感悟數(shù)學蘊含的豐富思想．

3 小結

高職院校導數(shù)概念的課堂教學需要教師認真思考，精心設計，務必要注重高職生的年齡心理狀況和數(shù)學教材的編寫特點，一切從實際出發(fā)，注重趣味性和啟發(fā)性，融合科學性與藝術性，吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習興趣，使學生的思維活動和教師的講解交融在一起，產(chǎn)生共鳴，在熱烈的氣氛中開展教學活動，從而取得良好的教學效果．

參考文獻：

[1]宗慧敏,王月華.導數(shù)概念教學體會[J].職教論壇,2009(11):222-223.

[2]王淑芝.導數(shù)教學對學生素質教育的培養(yǎng)[J].吉林省教育學院學報,2009,25(9):70-71.

[3]孔亞仙.試論高職數(shù)學分層教學的實施[J].杭州師范學院學報,2006,5(3):202-204.

[4]馮蘭軍.高職數(shù)學教學模式的改革與研究[J].內江科技,2009(3):172-173.