聲軟障礙在兩層介質(zhì)中聲波散射問(wèn)題的數(shù)值解

榮翠蓮， 王連堂

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 陜西 西安 710127))

0 引言

聲波散射和傳播問(wèn)題在醫(yī)學(xué)成像、地理勘探、非破壞性檢測(cè)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，一直都是數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).古典聲波散射理論有兩個(gè)基本問(wèn)題，一是時(shí)間調(diào)和聲波在不可穿透障礙散射的問(wèn)題，另一個(gè)是時(shí)間調(diào)和聲波在非均勻介質(zhì)中的散射問(wèn)題.對(duì)于均勻介質(zhì)中聲波散射的各問(wèn)題，如混合邊界、開(kāi)弧等大多都得到了很好地解決[1-4]，而對(duì)非均勻介質(zhì)的研究相對(duì)較少.分層介質(zhì)是非均勻介質(zhì)中一種簡(jiǎn)單而有實(shí)際意義的情況.文獻(xiàn)[5]從理論上給出了不可穿透障礙在兩層介質(zhì)中聲波散射正問(wèn)題的適定性及反問(wèn)題的唯一性，本文主要利用邊界積分方程和Nystrom法給出此類正問(wèn)題的數(shù)值算法，并給出不同的數(shù)值算例.

(1)

(2)

u1=0,x∈Γ1

(3)

這里，波數(shù)kj=wj/cj，wj為介質(zhì)Dj中波的頻率，cj為波速.λ0是D0,D1中兩種介質(zhì)密度之比，它為正常數(shù).外部全場(chǎng)u0可以分解為u0=ui+us，其中ui表示入射平面波，比如ui=eik0x·d，us表示散射場(chǎng)，us滿足Sommerfeld輻射條件，

(4)

此外，每個(gè)散射場(chǎng)的輻射解有如下的外部漸進(jìn)性：

1 正散射問(wèn)題的解

定理1 正散射問(wèn)題(1)～(4)至多有一解[5].

對(duì)于正散射問(wèn)題解的存在性，我們利用位勢(shì)理論將其轉(zhuǎn)化為邊界積分方程組.因?yàn)镠elmholtz方程的任何一個(gè)解均可表示為單、雙層位勢(shì)的組合，我們先定義單雙層位勢(shì).設(shè)Γl,Γj均為有界封閉曲線,φ為可積函數(shù)，則積分

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

x∈Γl

(10)

這里,j,l,m={0,1}.用C0,α(Γj)和C1,α(Γj)表示H?lder連續(xù)函數(shù)空間和H?lder連續(xù)可微函數(shù)空間.當(dāng)j≠l時(shí)，上述算子從C(Γj)→C0,α(Γj)和從C0,α(Γj)→C1,α(Γj)都是緊的[7].

用如下形式的單雙層位勢(shì)組合來(lái)表示散射場(chǎng)us和u1：

Φ0(x,y)φ(y)}ds(y)，

x∈D0

(11)

x∈D1

(12)

其中ψ,φ,χ是三個(gè)待定的函數(shù)，η≠0是耦合參數(shù).運(yùn)用邊界條件(2)、(3)及單雙層位勢(shì)的跳躍關(guān)系，不難推出下面的邊界積分方程組：

(13)

(14)

(15)

X=(ψ,φ,χ)′,C=(f,g,0)′,I為恒等算子.所以，方程組可簡(jiǎn)記為：

(E+A)X=C

因?yàn)镋是有界逆算子，A為緊算子，由Riesz-Fredholm理論知方程組有唯一解[8].因此，我們有以下結(jié)論：

定理2 如果k12不是負(fù)的Laplace算子的Dirichlet特征值，則正散射問(wèn)題有唯一解.

由Hankel函數(shù)的漸進(jìn)性知，單雙層位勢(shì)組合所對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)模式為：

2 數(shù)值算法

Γj:{zj(t)=(zj1(t),zj2(t)),0≤t≤2π},j={0,1},

其中：

(λ0+1)ψ(z0(ti))+

這里

(-1)|i-p|π

p=0,1,…,2n-1

式中,G1(t,τ),G2(t,τ)為超奇異T算子核裂解得出，具體可參考文獻(xiàn)[9]，這里只是加上邊界標(biāo)號(hào).

3 數(shù)值算例

在數(shù)值計(jì)算時(shí)，取定入射波為ui=eik0x·d，其中d=(1,0)表示入射方向，參數(shù)η=k1.下面給出具體的數(shù)值算例的求值結(jié)果.

例1 外邊界曲線Γ0，內(nèi)邊界曲線Γ1，

t∈[0,2π]；

Γ1:z1(t)=(cost,sint),t∈[0,2π],區(qū)域內(nèi)波數(shù)為k0=0.5,k1=1.遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞(d)和u∞(-d)的數(shù)值結(jié)果如表1、表2所示.

表1 例1中方向?yàn)閐時(shí)數(shù)值結(jié)果

表2 例1中方向?yàn)?d時(shí)數(shù)值結(jié)果

例2 外邊界曲線Γ0，內(nèi)邊界曲線Γ1，

Γ1:z1(t)=(0.6cost,0.2sint),t∈[0,2π].波數(shù)為k0=2.5,k1=2.遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞(d)和u∞(-d)的數(shù)值結(jié)果如表3，表4所示.

表3 例2中方向?yàn)閐時(shí)數(shù)值結(jié)果

表4 例2中方向?yàn)?d時(shí)數(shù)值結(jié)果

為了驗(yàn)證此方法的可行性，我們?nèi)=(-1,0),λ0=1與文獻(xiàn)[10]的結(jié)果做了一個(gè)對(duì)照，數(shù)值結(jié)果是一致的.同時(shí)，例1、例2的數(shù)值結(jié)果也表明該方法的收斂速度是非?？斓?，所以文中的方法是可行有效的.

4 結(jié)束語(yǔ)

目前，對(duì)于混合邊界在分層介質(zhì)中的聲波散射問(wèn)題的數(shù)值解暫時(shí)還沒(méi)有有效的解決方式.因此，我們期望本文中所用方法可以有效地解決該類問(wèn)題.

[1] Wang H B，Liu J J.Numerical solution for the helmholtz equation with mixed boundary condition[J].Numerical Mathematic,2007,16(3):203-214.

[2] 王連堂，楊阿莉，管金友,等.阻尼邊界條件散射問(wèn)題的數(shù)值解法[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2009,29(6):1 704-1 713.

[3] Monch L.On the numerical solution of the direct scattering problem for an open sound-hard arc[J].Computational and Applied Mathematics,1996,71:343-356.

[4] Kress R,Lee Kuo-Ming.Integral equation methods for scattering from an impedance crack[J].Computational and Applied Mathematics,2003,161:161-177.

[5] 劉曉東.分層介質(zhì)中聲波與電磁波散射問(wèn)題及其反問(wèn)題[D].北京:中國(guó)科學(xué)院研究生院,2010.

[6] Colton D,Kress R.Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory[M].Springer Verlag,2003:38-41.

[7] Colton D,Kress R.Integeral equation methods in scattering theroy[M].New York:WileY-interscience Publication,1983.

[8] Kress R.Linear integeral equations[M].Berlin: Springer Verlag,1998.

[9] Kress R.On the numerical solution of a hypersingular integer equation inscattering theory[J].Computational and Applied Mathematics,1995,61:345-360.

[10] Yaman F.Location and shape reconstructions of sound-soft obstacles buried in penetrable cylinders[J].Inverse Problems,2009,25:1-17.