無(wú)窮電阻網(wǎng)絡(luò)的分析

田社平，張 峰，陳洪亮

(上海交通大學(xué)電子信息學(xué)院，上海 200240）

無(wú)窮電阻網(wǎng)絡(luò)的分析

田社平，張 峰，陳洪亮

(上海交通大學(xué)電子信息學(xué)院，上海 200240）

無(wú)窮電阻網(wǎng)絡(luò)是一類特殊的電路，它有助于學(xué)生理解電路的分析方法。根據(jù)該電路的特點(diǎn)，本文總結(jié)了其分析方法，包括疊加定理法、等效變換法、網(wǎng)孔法和節(jié)點(diǎn)法等，這些方法充分利用了電路的無(wú)窮性和對(duì)稱性。本文的討論對(duì)電路課程的教學(xué)具有一定的參考價(jià)值。

無(wú)窮限電阻網(wǎng)絡(luò);等效變換;網(wǎng)孔分析法

0 引言

在“電路分析”課程教學(xué)中，無(wú)窮電阻網(wǎng)絡(luò)是一類特殊的電路，其主要特點(diǎn)是具有無(wú)窮性和對(duì)稱性，使得其分析方法具有很大的靈活性和技巧性，從而有助于學(xué)生理解電路的分析方法。圖1所示為一常見(jiàn)的無(wú)限方格電阻電路，其中所有電阻均為1Ω，現(xiàn)要求流過(guò)電壓源的電流I。許多電路教材或教學(xué)參考書或文獻(xiàn)都涉及到類似的電路［1～5］。教材中對(duì)這類電路的求解主要采用疊加定理。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，盡管利用疊加定理求解十分簡(jiǎn)潔明了，但除此之外，還可采用其他電路分析方法如等效變換法、網(wǎng)孔法和節(jié)點(diǎn)法等求解。

為方便起見(jiàn)，本文的討論中，所有未標(biāo)示的電阻其阻值均取1Ω。

圖1 無(wú)窮電阻網(wǎng)絡(luò)

1 應(yīng)用疊加定理求解

為便于比較，這里首先給出應(yīng)用疊加定理的求解方法。

將含源支路等效變換為諾頓電路，如圖2(a)所示。由KCL可得

為求I1，將1A電流源分解為兩個(gè)1A電流源的串聯(lián)，兩電流源的連接點(diǎn)伸向無(wú)窮遠(yuǎn)處，如圖2(b)所示。

圖2 利用疊加定理求解

由疊加定理可知，當(dāng)左邊1A電流源單獨(dú)作用時(shí)，由電阻分布的對(duì)稱性得到I1的分量為0.25A。同理，當(dāng)右邊1A電流源單獨(dú)作用時(shí)，得到I1的另一分量也為0.25A，因此 I1=0.5A。由式(1)可以得到 I=I1－1=-0.5A。

上述分析方法的關(guān)鍵在于利用了疊加定理和電路的對(duì)稱性，其解法簡(jiǎn)潔明了。這是現(xiàn)有教材中的通用解法。

2 應(yīng)用等效變換方法求解

圖1電路還可以采用等效變換的方法來(lái)分析。觀察該圖電路，可以看出其中任一節(jié)點(diǎn)都關(guān)聯(lián)4個(gè)電阻，因此可將圖1電路改畫為如圖3(a)所示的電路，該電路具有無(wú)窮和對(duì)稱的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。假設(shè)從ab兩端看進(jìn)去的無(wú)窮電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻為Re，則由圖3(b)可得

其結(jié)果為Re=1Ω。這樣圖3(a)電路可簡(jiǎn)化為圖3(c)所示電路，從而得出

由圖3(a)電路的特點(diǎn)，還可提出一種求解方法。由電路的對(duì)稱性，可知電流I平均分配到與b點(diǎn)相連的3個(gè)電阻，這3個(gè)電阻的電流同樣平均分配到與之相連的3個(gè)電阻，…依此類推，由KVL得

由上式同樣可解得I=-0.5A。

上述分析方法的關(guān)鍵在于重畫電路的連接方式，等效變換為一種易于分析的電路形式，其解法同樣具有簡(jiǎn)潔、明了的特點(diǎn)。

圖3 利用等效變換求解

3 利用網(wǎng)孔法和節(jié)點(diǎn)法求解

圖1電路為一平面電路，采用網(wǎng)孔法或節(jié)點(diǎn)法分析時(shí)，電路方程將有無(wú)窮多個(gè)，似乎無(wú)法求解。但注意到待求問(wèn)題為僅需求解戴維南支路上的電流，即如果能求出與該支路關(guān)聯(lián)網(wǎng)孔電流或該支路兩端的節(jié)點(diǎn)電壓，問(wèn)題就迎刃而解。這里采用與文獻(xiàn)［6］類似的方法即采用傅里葉變換進(jìn)行分析。

采用圖4所示的節(jié)點(diǎn)標(biāo)示和網(wǎng)孔電流標(biāo)示，假設(shè)在節(jié)點(diǎn)(n，p)和(n+1，p)之間的支路中接有Unp的電壓源，參考方向如圖中所示。對(duì)電壓源下方的網(wǎng)孔列寫網(wǎng)孔方程，有

圖4 利用網(wǎng)孔法求解

為了求解式(8)，假設(shè)存在二維函數(shù)F(x，y):［π，π］×［π，π］→R，其二維有限傅里葉變換為inp，即為

由二維有限傅里葉變換的反演公式，可得

由分析的問(wèn)題可知，可考慮無(wú)窮電阻網(wǎng)絡(luò)只在節(jié)點(diǎn)(0，0)和(1，0)之間施加一電壓為1V的電壓源，參考方向如圖1所示。與該電壓源關(guān)聯(lián)的網(wǎng)孔電流為i00和i01，注意到網(wǎng)孔電流均取順時(shí)針?lè)较?，因此?/p>

采用手工推導(dǎo)來(lái)計(jì)算上式較為繁瑣，一般可借助于Matlab或Maple計(jì)算軟件進(jìn)行輔助計(jì)算。本文采用Maple進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果為I=-0.5A。

類似地，也可采用節(jié)點(diǎn)法進(jìn)行分析，由于篇幅所限，不再贅述，這里僅給出最后結(jié)果。假設(shè)無(wú)窮電阻網(wǎng)絡(luò)只在節(jié)點(diǎn)(0，0)和(1，0)之間施加1V的電壓源，參考方向如圖1所示，節(jié)點(diǎn)(0，0)和(1，0)之間的電壓為

4 結(jié)語(yǔ)

本文討論了無(wú)窮電阻網(wǎng)絡(luò)的分析，拓展了其分析方法，使之更適合于在教學(xué)中加以應(yīng)用。筆者在教學(xué)實(shí)踐中，認(rèn)為無(wú)窮電阻網(wǎng)絡(luò)具有如下特點(diǎn)。

(1)趣味性—該電路是一實(shí)際中不可能存在的電路，但由于其具有無(wú)窮性和對(duì)稱性的特點(diǎn)，使之具有較強(qiáng)的趣味性。在教學(xué)實(shí)際中，學(xué)生普遍對(duì)這一電路表現(xiàn)出濃厚的興趣，從而提高了學(xué)好電路的積極性。

(2)分析方法的多樣性和靈活性—盡管教材中一般僅給出了利用疊加定理進(jìn)行分析的方法，但從本文可以看出，該電路的分析可采用多種分析方法，而且這些方法都具有一定的靈活性。

應(yīng)該指出，采用網(wǎng)孔法和節(jié)點(diǎn)法的分析方法具有較強(qiáng)的理論性，在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況作適當(dāng)處理。筆者建議網(wǎng)孔法和節(jié)點(diǎn)法的分析方法可不講授，而作為課外拓展，以擴(kuò)大學(xué)習(xí)電路的視野。

［1］李瀚蓀.簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社.2002

［2］陳洪亮，張峰，田社平.電路基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社.2007

［3］G.Venezian.On the resistance between two points on a grid［J］.Am.J.Phys.1994(62):1000 ～1004

［4］D.Atkinson and F.J.van Steenwijk.infinite resistive lattices［J］.Am.J.Phys.1999(67):486 ～492

［5］陳洪亮，張峰，謝維敏等.電路基礎(chǔ)試題集解與考研指南［M］.北京:高等教育出版社.2008

［6］田社平，陳洪亮，張峰.基于Matlab的無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的計(jì)算［J］.電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2010，32(2):29-31

Analysis of Infinite Resistive Grid

TIAN She-ping，ZHANG Feng，CHEN Hong-liang

(School of Electrical and Electronic Eng.，Shanghai Jiao Tong Univ.，Shanghai200240，China)

Infinite resistive lattices are circuits with special structures.It is suitable for students to understand knowledge about circuit analysismethods.This paper has summarized analysismethods of the infinite resistive lattice according to its properties.Thesemethods have adopted substitution theorem，equivalent transform，mesh analysis and node analysiswhich fully utilize the lattice＇s properties of infinity and symmetry.The discussion is helpful for the teaching of circuit.

infinite resistive lattice;equivalent transform;mesh analysis

TM13

A

1008-0686(2013)01-0010-03

2012-09-05;

2012-11-15 基金項(xiàng)目:上海交通大學(xué)基本電路理論國(guó)家級(jí)精品課程建設(shè)項(xiàng)目

田社平(1967-)，男，博士，副教授，主要從事電路理論和動(dòng)態(tài)檢測(cè)技術(shù)的教學(xué)和科研工作，E-mail:sptian@sjtu.edu.cn