2種新的多種觀測量聯(lián)合平差定權(quán)方法

王永弟，丁海勇

（1.南京信息工程大學(xué) 遙感學(xué)院，江蘇 南京 210044）

2種新的多種觀測量聯(lián)合平差定權(quán)方法

王永弟1，丁海勇1

（1.南京信息工程大學(xué) 遙感學(xué)院，江蘇 南京 210044）

Helmert方差分量估計方法已被廣泛用于測量平差觀測量的定權(quán)中，但是，實際應(yīng)用中該方法卻存在不收斂的現(xiàn)象。為此，將信息熵和變異系數(shù)引入測量平差，提出了2種新的處理不同類型觀測量、同類型不同精度觀測值、甚至同類型同精度觀測值進行定權(quán)的方法。數(shù)值實驗表明，提出的方法效果優(yōu)于Helmert方法。

Helmert方差分量；測量平差；信息熵權(quán)；變異系數(shù)

1 Helmert方差分量估計

Helmert方差分量估計是由Helmert在1924年提出的一種驗后方差分量估計方法，主要用于解決各類觀測值的權(quán)重分配不合理的問題[1]。在此后的幾十年中，人們在理論上對該方法進行了充分的研究，并且在實際應(yīng)用中對該方法的平差效果進行了分析。付新啟[2]通過數(shù)值實驗對用Helmert方差估計方法進行了驗證，認(rèn)為初始權(quán)的選擇對迭代平差的結(jié)果沒有影響。范百興等[3]將Helmert方差分量應(yīng)用于跨河水準(zhǔn)測量中，通過迭代計算確定2類觀測值權(quán)的關(guān)系。成英燕等[4]就Helmert方差分量簡化算法及Baumker簡化公式用于聯(lián)合平差中方差分量估計問題進行了討論。張朝玉等[5]在Helmert公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了多類觀測數(shù)據(jù)聯(lián)合平差中方差分量估計的序貫算法。李希峰等[6]對Helmert方差分量估計在混合水準(zhǔn)網(wǎng)平差中的應(yīng)用進行了研究。武艷強等[7]對Helmert方差分量估計及其近似公式在導(dǎo)線網(wǎng)平差中的應(yīng)用進行了研究，認(rèn)為導(dǎo)線網(wǎng)的網(wǎng)形、邊長等因素會影響Helmert方差估計的收斂性。劉長建等[8]采用LS估計的迭代形式調(diào)整2類觀測值權(quán)比，同時對現(xiàn)有類型方差分量估計公式進行了擴展[9]。這些研究總體上都是在Helmert驗后方差分量估計的基礎(chǔ)上的應(yīng)用研究，但實際上Helmert理論與實際運用之間存在較大的差異。Helmert方法存在如下缺陷：

1）不同類型觀測量定權(quán)問題。Helmert方差分量估計的主要思路是，根據(jù)經(jīng)驗定權(quán)，從先驗方差因子初值出發(fā)估計各類觀測值的方差因子，然后再據(jù)此重新進行定權(quán)，再平差，循環(huán)往復(fù)，直至各類觀測量的方差因子相等為止[1]。以本文將要介紹的實例1為例，利用Helmert算法進行迭代定權(quán)，效果如圖1、圖2所示。

圖1 迭代123次

圖2 迭代2 865次

在迭代過程中，平均點位誤差并不隨迭代次數(shù)的增加而減小，且無明顯規(guī)律，圖形呈鋸齒狀，即Helmert迭代不總是收斂的，會出現(xiàn)無數(shù)個異常值。迭代123次時，異常值比例為41.46%，最優(yōu)平均點位誤差為±10.007 mm；迭代2 865次時，異常值比例為12.32%，最優(yōu)平均點位誤差為±14.204 mm。因此，Helmert方差分量迭代定權(quán)時，存在較大風(fēng)險。

2）同類觀測量不同精度觀測值定權(quán)問題。在進行跨河水準(zhǔn)測量時，由于水準(zhǔn)網(wǎng)中含有2種不同精度的觀測量，在定權(quán)時會出現(xiàn)無數(shù)個異常值。因此，利用Helmert方差分量迭代進行同類觀測量不同精度觀測值定權(quán)時，亦存在較大風(fēng)險。

3）同類觀測量同精度觀測值定權(quán)問題。同類型觀測量相同精度觀測值的權(quán)重也并不總是相同的。例如在水準(zhǔn)網(wǎng)平差中，每一次觀測都會有偶然誤差，無論是按測站數(shù)定權(quán)還是按距離公里數(shù)定權(quán)都沒有考慮每一觀測值讀數(shù)帶來的誤差，因此，在平差結(jié)果中會帶來較大的計算誤差。Helmert方法并不能解決這種不合理的定權(quán)問題。

4）負方差問題。Helmert方差分量估計還存在負方差的問題[10-12]，吳曉清[13]提出的Helmert-WF方法較好地彌補了Helmert方法中的缺陷，但仍未解決超過2類觀測值的驗后估計的問題。

本文針對以上不合理的定權(quán)問題，將信息熵和變異系數(shù)引入測量平差，提出了2種新的適合處理不同類型觀測量、同類型不同精度觀測值、同類型同精度觀測值的定權(quán)方法。

2 熵權(quán)理論定權(quán)與變異系數(shù)定權(quán)

2.1 信息熵賦權(quán)法

信息熵賦權(quán)法，即熵權(quán)法是根據(jù)被評價對象的指標(biāo)值構(gòu)成的判斷矩陣來確定指標(biāo)權(quán)重的一種方法，具有較強的客觀性[14-15]。其基本原理是：對多指標(biāo)決策問題，從m個可行方案中選最優(yōu)方案。它取決于這m個可行方案的各個指標(biāo)向決策者提供的決策信息。誰提供決策的確定信息量大，誰對決策做的貢獻就大，從而該指標(biāo)的權(quán)重值也就越大。

利用熵權(quán)法確定影響因素的權(quán)重步驟如下：

1）對原始數(shù)據(jù)矩陣X進行無量綱化處理得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣 R=(rij)m×n，2）由標(biāo)準(zhǔn)化矩陣R=(rij)m×n求影響因子的出現(xiàn)概率Pij：

3）求第j個影響因子輸出的信息熵Ej：

式中，0≤Ej≤1。

4）將第j個影響因子的熵權(quán)Dj定義為：

Dj與式（2）中Pij的乘積便是第i個觀測值的權(quán)，記為Pi，也就是熵權(quán)法的定權(quán)結(jié)果。

2.2 變異系數(shù)賦權(quán)法

變異系數(shù)法是直接利用各項指標(biāo)所包含的信息，通過計算得到指標(biāo)的權(quán)重[15,16]，是一種客觀賦權(quán)的方法。其基本思想是：在評價指標(biāo)體系中，指標(biāo)取值差異越大、也就是越難以實現(xiàn)的指標(biāo)，更能反映被評價項目的差距。

評價指標(biāo)體系中的各項指標(biāo)量綱不同，不宜直接比較其差別程度。為了消除這種影響，需要用各項指標(biāo)的變異系數(shù)來衡量各項指標(biāo)取值的差異程度。各項指標(biāo)的變異系數(shù)公式如下：

式中，Vj是第j項指標(biāo)的變異系數(shù)，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)；σj是第j項指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差；xj是第j項指標(biāo)的平均數(shù)。各項指標(biāo)的權(quán)重為：

Wj與式（2）中Pij的乘積便是第i個觀測值的權(quán)，記為Pi，也就是變異系數(shù)法的定權(quán)結(jié)果。

3 實例應(yīng)用

3.1 不同類型觀測量定權(quán)問題

本例取自文獻[17]第137頁中的例7-11。本例中有17個觀測值（其中10個角度觀測值，7個邊長觀測值），5個待定點（D、E、F、G、H），必要觀測數(shù)t=10。分別按4種方案（即經(jīng)驗定權(quán)、Helmert迭代定權(quán)、按熵權(quán)理論定權(quán)、按變異系數(shù)定權(quán)）進行平差，平差后各待定點的點位中誤差列于表1。

表1 導(dǎo)線網(wǎng)觀測值平差結(jié)果/mm

從平均點位誤差來看，方案3最優(yōu)（±9.78 mm），方案1最差（±16.87 mm），后3種方案中方案4稍差，但從總體上，后3種方案均優(yōu)于方案1。其原因是：前2種方案中角度觀測值的權(quán)都是1，而在后2種方案中，所有角權(quán)和邊權(quán)都發(fā)生了較大變化，其權(quán)重比例進行了徹底的重新分配，使權(quán)重分配更加合理。相對于經(jīng)驗定權(quán)方法，后面3種方法都能使最后的平差結(jié)果精度有所提高，其中，熵權(quán)理論結(jié)果最好，變異系數(shù)方案結(jié)果稍差。

3.2 同類觀測量不同精度觀測值定權(quán)問題

此類問題文獻[3]、[6]已經(jīng)作了詳細的研究，本文不再贅述。

3.3 同類觀測量同精度觀測值定權(quán)問題

本例中的水準(zhǔn)網(wǎng)取自文獻[17]第104頁的例7-1。本例中觀測值有5個（h1~h5），待定點有3個（B、C、D），由于本例中討論的是同類觀測量同精度觀測值的情況，Helmert方案在這里不適用，故表2只列出其余3種方案的結(jié)果。為了便于比較，每個觀測值的權(quán)作了標(biāo)準(zhǔn)化處理。

表2 水準(zhǔn)網(wǎng)觀測值平差結(jié)果/mm

從表2平差后待定點的平均中誤差來看，方案4最優(yōu)（±9.045 8 mm），方案3、4非常接近，方案1最差（±10.380 8 mm）。相對于方案1，方案3、4的定權(quán)結(jié)果都發(fā)生了較大變化，各觀測值之間的權(quán)重比例進行了重新分配，并且后2種方案的定權(quán)結(jié)果基本趨于一致。后2種定權(quán)方案的高差觀測值和待定點平差值的精度都有所提高，采用熵權(quán)理論和變異系數(shù)定權(quán)最后的平差結(jié)果非常接近。

4 結(jié) 語

各個觀測值的權(quán)重分配在測量平差中是很重要的，無論在導(dǎo)線網(wǎng)平差還是普通的水準(zhǔn)網(wǎng)中，采用經(jīng)驗定權(quán)方法都不是最合理的，無論是在導(dǎo)線網(wǎng)中將同精度觀測角度視為等權(quán)觀測，還是在水準(zhǔn)網(wǎng)中按距離公里數(shù)定權(quán)的做法，都比較片面，最終平差的結(jié)果會受到不同程度的影響。采用Helmert定權(quán)方法要冒很大的風(fēng)險，因為Helmert方差分量估計在實踐中不是很理想。

權(quán)重的分配對平差結(jié)果具有明顯影響，觀測值精度高低是由所受的不同因素的影響共同決定，因此，在定權(quán)時應(yīng)綜合考慮不同因素的影響大小。如果各個觀測值的權(quán)重分配比較科學(xué)合理，則能有效提高平差結(jié)果的精度。無論是采用熵權(quán)理論定權(quán)，還是采用變異系數(shù)定權(quán)，其平差結(jié)果均優(yōu)于經(jīng)驗定權(quán)法，其計算量都少于Helmert方法，并且能夠用在同類觀測量同精度觀測值定權(quán)問題中。信息熵法和變異系數(shù)法都能夠更加合理地確定測量平差中各觀測值的權(quán)重比例，都能夠有效地提高平差值的精度。相對于傳統(tǒng)方法來說，都是更加優(yōu)越的定權(quán)方法。

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Two New Methods of Determining Weight for Multiple Observations in the Process of Jointly Adjustment

byWANG Yongdi

Helmert algorithm has been extensively utilized to estimate the variance components from which the weight of the observations could be identified in a surveying adjustment system. However, the non-convergence of Helmert algorithm has been found in some reality applications. Therefore, we suggested to using entropy theory and variation coefficient to estimate the weight coefficients for different types of observations, the same type of observations with different or same observation accuracy. Numerical experiments made in this study verified that the proposed approach outperforms the Helmert algorithm to provide improved adjustment results.

Helmert variance component, surveying adjustment,information entropy, the coefficient of variation

P207

B

1672-4623（2013）02-0140-03

10.11709/j.issn.1672-4623.2013.02.046

2012-07-17。

項目來源：江蘇省高校自然科學(xué)研究資助項目(1KJB420002)；南京信息工程大學(xué)科研基金資助項目(S8110063001)。

王永弟，講師，從事工程測量、GPS測量與數(shù)據(jù)處理的教學(xué)與研究工作。