重要極限公式的新證法及推廣

任建功，慕曉凱

（廣東培正學院 基礎部，廣東 廣州 510830）

微積分作為理工科類、財經(jīng)管理類等各個專業(yè)都必修的核心課程之一，它對激發(fā)和培養(yǎng)大學生邏輯推理能力、思辨能力、創(chuàng)新能力的重要途徑.在微積分內(nèi)容里面重要極限公式證明時，在很多教科書中都是千篇一律地利用二項式定理來完成，但是很多學生很難掌握二項式展開，造成學生理解的困難.鑒于此況，給出了一種更簡明證法.

證明過程如下：

利用二項式定理證明此極限時候，要用到二項式展開，單調(diào)有界準則，兩面夾法則.在此種證明方法，主要利用指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)換，利用洛必達法則中“1∞”極限的求法，得出了此極限.通過比較，不難看出，利用此方法的證明過程比文獻利用二項式定理展開的證明過程，要簡單明了許多，更容易理解，并且需要的知識點都是平時接觸過的.

對于重要極限公式的主要特征是：

1.它屬于冪指函數(shù)求極限的問題，在自變量的變化過程中，底數(shù)趨向于1，冪指數(shù)趨向于無窮大，屬于1∞型的未定式.

2.它的底數(shù)由兩項所構(gòu)成，第一項是1，第二項是趨向于無窮小量的變量.

3.底數(shù)中的第二項與冪指數(shù)的乘積的極限為常數(shù).

對于重要極限公式進一步地推廣為：

綜上所述，我們在求冪指函數(shù)，尤其是重要極限公式II類型的函數(shù)極限的時候，不要再單一地利用重要極限公式II而去轉(zhuǎn)化冪指數(shù)部分，可以通過洛必達法則“1∞”型未定式的方法，結(jié)合復合函數(shù)極限內(nèi)容，從而簡單地求得結(jié)果.

〔1〕徐名揚.兩個重要極限公式的推廣[J].江蘇教育學院學報（自然科學版），2009（09）：51-53.

〔2〕遲彥惠.微積分（上冊）廣州：華南理工大學出版社，2009.