簡(jiǎn)單迭代法的應(yīng)用研究

蘇麗娟

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

1 簡(jiǎn)單迭代法

迭代法是一種常用的數(shù)值計(jì)算方法，是從某一給定初始值p0出發(fā)，重復(fù)（有限次）進(jìn)行某種計(jì)算過程（處理、操作），從而不斷接近精確值，實(shí)現(xiàn)所求結(jié)果.在此過程中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)迭代序列，其序列極限就是待求的精確值.

所謂的簡(jiǎn)單迭代法，又稱定點(diǎn)迭代法、不動(dòng)點(diǎn)迭代法或者Picard迭代法，它是一種特殊的迭代法，其迭代公式必須滿足：pn+1=g(pn)，其中g(shù)(x)稱為簡(jiǎn)單迭代函數(shù).

鑒于簡(jiǎn)單迭代公式pn+1=g(pn)中，只包含兩個(gè)相鄰的迭代項(xiàng)pn和pn+1，且后一項(xiàng)pn+1可由前一項(xiàng)pn顯示表達(dá)出來，因此在計(jì)算中簡(jiǎn)單迭代法非常便于實(shí)現(xiàn)，具有很好的可操作性.簡(jiǎn)單迭代法在實(shí)際使用中，最關(guān)鍵的事情就是確定簡(jiǎn)單迭代函數(shù)g(x).下面將探討簡(jiǎn)單迭代法在數(shù)值分析中的一些重要應(yīng)用[1,2].

2 在計(jì)算函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)中的應(yīng)用

給定一個(gè)函數(shù)φ(x)，若存在p∈R，滿足p=φ(p)，則稱x=p為函數(shù)φ(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（或者定點(diǎn)）.

關(guān)于上述不動(dòng)點(diǎn)x=p的近似值，就可以用簡(jiǎn)單迭代法來計(jì)算，只需取簡(jiǎn)單迭代函數(shù)g(x)=φ(x)即可.

此時(shí)，計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)的簡(jiǎn)單迭代公式為：

3 在求解非線性方程中的應(yīng)用

關(guān)于非線性方程f(x)=0，設(shè)x=p為方程的根，即f(p)=0.

當(dāng)函數(shù)f(x)一階連續(xù)可導(dǎo)時(shí)，可以用函數(shù)f(x)在近似根x=pn處的一階泰勒展開式f(pn)+f'(pn)(x-pn)近似代替f(x),將原方程f(x)=0近似地化為一次方程f(pn)+f'(pn)(x-pn)=0.用此方程的根作為原方程的近似根,記新的近似根為x=pn+1,則得到求解非線性方程f(x)=0的簡(jiǎn)單迭代公式：

上述簡(jiǎn)單迭代法也稱Newton迭代法.當(dāng)x=p為方程f(x)=0的單根時(shí)，此迭代法是二階收斂的，即平方收斂；當(dāng)x=p為方程f(x)=0的M≥2重根時(shí)，此迭代法是一階收斂的，即線性收斂.如果采用近似程度更高的二階泰勒展開式,構(gòu)造出來的簡(jiǎn)單迭代公式階數(shù)更高、收斂速度更快[3].

另外，此簡(jiǎn)單迭代法還可以推廣到M≥2重根的情況中去，并保持平方收斂速度不變，此時(shí)的簡(jiǎn)單迭代法常稱為改進(jìn)型Newton迭代法.此時(shí)只需令改進(jìn)型簡(jiǎn)單迭代公式：

4 在求解線性方程組中的應(yīng)用

簡(jiǎn)單迭代法除了應(yīng)用在計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)和求解非線性方程中，還可以推廣到多元或高維情況中去，例如求解非線性方程組或者線性方程組.

設(shè)線性方程組

的矩陣表示為AX=b.其中A為非奇異的系數(shù)矩陣，b是右端項(xiàng)，X為解向量.

把方程組AX=b改寫成便于迭代的形式，其方法是多種多樣的.其中最簡(jiǎn)單的一種方法就是簡(jiǎn)單迭代法，求解線性方程組AX=b簡(jiǎn)單迭代公式一般為：

其中簡(jiǎn)單迭代函數(shù)為g(X)=BX+c，矩陣B稱為簡(jiǎn)單迭代法的迭代矩陣.

簡(jiǎn)單迭代法中的公式（4） 中，如果取迭代矩陣B=E-D-1A，E為單位陣，常數(shù)項(xiàng)c=D-1b，對(duì)角陣D=diag(a11,a22,…,aNN)，近似解向量Pn=(x1(n),x2(n),…,xN(n))T，此時(shí)簡(jiǎn)單迭代法也稱Jacobi迭代法.當(dāng)選擇其它不同的B和c時(shí)，Jacobi迭代法可相應(yīng)推廣為Seidel迭代法和松弛法，這三種方法，都是廣義的高維簡(jiǎn)單迭代法.

5 總結(jié)

綜上所述，簡(jiǎn)單迭代法在數(shù)值分析中有著非常廣泛的應(yīng)用和極其重要的地位，同時(shí)簡(jiǎn)單迭代法作為一種最特殊的迭代法，發(fā)展歷史悠久，收斂性條件易得，理論分析簡(jiǎn)單完整.簡(jiǎn)單迭代法不但迭代公式簡(jiǎn)單明了，便于實(shí)現(xiàn)，且計(jì)算速度極快，計(jì)算效率很高，有很大研究和探討價(jià)值.

〔1〕John H. Mathews，Kurtis D. Fink,數(shù)值分析[M].(英文版).北京:電子工業(yè)出版社，2009.

〔2〕徐萃薇,孫繩武.計(jì)算方法引論[M].北京:高等教育出版社，2002.

〔3〕陳天雄.New ton 迭代法的應(yīng)用研究[J].荊楚學(xué)院學(xué)報(bào),2010,25(7):42-45.