直紋曲面是可展曲面的一個(gè)充要條件＊

吳 蕓，紀(jì)永強(qiáng)

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州313000）

微分幾何是一門(mén)歷史悠久的學(xué)科，近年來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)中其它分支的影響越來(lái)越深刻，對(duì)自然科學(xué)中其它學(xué)科的影響范圍也越來(lái)越大.與此同時(shí)，這門(mén)學(xué)科從內(nèi)容到方法也在不斷更新.

由動(dòng)直線產(chǎn)生的曲面稱(chēng)為直紋曲面，動(dòng)直線為該直紋曲面的直母線.如柱面、錐面、一條曲線的切線曲面等都是直紋曲面.可展曲面是直紋曲面的一種重要類(lèi)型，它的研究是經(jīng)典微分幾何必涉及的內(nèi)容.現(xiàn)在許多課程都用到了可展曲面的基本理論和基本思想方法，而且這方面的資料也很豐富.文獻(xiàn)［1］中，利用曲線測(cè)地?fù)下逝c曲線撓率的關(guān)系刻畫(huà)了直紋曲面是可展曲面.文獻(xiàn)［2］中，利用單參數(shù)平面族的包絡(luò)面刻畫(huà)了直紋曲面是可展曲面.文獻(xiàn)［3］中，利用曲面的高斯映射像刻畫(huà)了直紋曲面是可展曲面.文獻(xiàn)［4］中，給出了幾個(gè)定理，并進(jìn)行了詳細(xì)說(shuō)明.

本文推廣文獻(xiàn)［4］中的定理3.6.9，得到了直紋曲面是可展曲面的一個(gè)充分且必要條件，即：直紋曲面S∶r（u，ν）＝ρ（u）＋νe（u）是可展曲面的充要條件是：曲面S是它的切平面族的包絡(luò)面.

設(shè)C∶ρ＝ρ（u）（u1≤u≤u2）是直紋曲面S上的一條準(zhǔn)線，即C與所有直母線相交，設(shè)e（u）是過(guò)P（ρ（u））點(diǎn)的直母線上的非零矢量，則直紋曲面S的參數(shù)方程是：

其中u1≤u≤u2，－∞＜ν＜＋∞，u線是與準(zhǔn)線C平行的曲線，ν線是直母線.

特別地，當(dāng)ρ（u）＝ρ0是常矢量時(shí)，S∶r（u，ν）＝ρ0＋νe（u）是錐面.當(dāng)e（u）＝e0是常矢量時(shí)，S∶r（u，ν）＝ρ（u）＋νe0是柱面.文獻(xiàn)［4］中有如下幾個(gè)定理：

定理1［4］直紋曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）為可展曲面的充要條件是：

定理2［4］直紋曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）為可展曲面的充要條件是：S上的直母線（ν線）是曲率線.

定理3［4］直紋曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）為可展曲面的充要條件是：S上任一點(diǎn)的Gauss曲率都為零，即K（u，ν）＝0.

定理4［4］直紋曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）為可展曲面的充要條件是：或者S是柱面，或者S是錐面，或者S是某一條曲線的切線曲面.

定理5［4］直紋曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）為可展曲面的充要條件是：沿準(zhǔn)線C∶ν＝0，r＝ρ（u），S是它的切平面族的包絡(luò)面.

本文推廣上面的定理5，得到如下定理：

定理 直紋曲面S∶r（u，ν）＝ρ（u）＋νe（u）為可展曲面的充要條件是：曲面S是它的切平面族的包絡(luò)面.

證明 “?”.設(shè)直紋曲面S可展，由定理1得：

因?yàn)?/p>

所以曲面S上任一點(diǎn)M（u，ν）的法矢量為：

由（1）式知，三矢量ρ′（u），e（u），e′（u）共面，所以

將（3）式代人（2）式得：

曲面S上任一點(diǎn)的切平面的方程是：

即

即

這是單參數(shù)為u的切平面方程.現(xiàn)在求切平面族｛πu｝的包絡(luò)面，特征線Lu的方程是：

即

所以平面族｛πu｝的包絡(luò)面的準(zhǔn)線方程是：

由（5）式知，平面πu的法矢量為：

得特征線Lu的方向矢量為：

由（7）式和（8）式知，平面族πu的包絡(luò)面的方程是：

這正是直紋曲面S的方程.

“?”.設(shè)曲面S是它的切平面族的包絡(luò)面，由（2）式知，曲面S的法矢量是：

曲面S上M（u，ν）點(diǎn)的切平面的方程是：

設(shè)M（u，ν）是曲面 上的任意一點(diǎn)，曲線C∶ν＝ν（u）是經(jīng)過(guò)M（u，ν）點(diǎn)的任意一條曲線，由（11）式得，沿曲線C，曲面S的切平面的方程是：這是單參數(shù)u的平面方程.

由文獻(xiàn)［4］中定理3.6.8關(guān)于特征點(diǎn)的討論知，切平面族（12）式的包絡(luò)面只有以下三種情形之一：或者S是柱面，或者S是錐面，或者S是某一條曲線的切線曲面.由定理4知，直紋曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）是可展曲面.

［1］孫國(guó)漢，趙培林，劉以均.曲面可展的條件［J］.阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1996，27（1）：22～25.

［2］趙燕，紀(jì)永強(qiáng).直紋曲面是可展曲面的一個(gè)充要條件［J］.湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，31（2）：26～30.

［3］吳蕓，紀(jì)永強(qiáng).關(guān)于曲面的高斯像的一個(gè)定理［J］.湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，32（2）：27～32.

［4］紀(jì)永強(qiáng).微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，2009：181～211.