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      返璞歸真 自然和諧

      2013-01-13 08:07:34江蘇省海安縣曲塘中學附屬初中
      中學數(shù)學雜志 2013年16期
      關(guān)鍵詞:輔助線直角三角形線段

      ☉江蘇省海安縣曲塘中學附屬初中 王 軍

      返璞歸真 自然和諧

      ☉江蘇省海安縣曲塘中學附屬初中 王 軍

      解幾何題難,難在作輔助線.輔助線的類型總體上分為直線形和圓兩種,而在平時數(shù)學教學中,對輔助線的“重直輕曲”現(xiàn)象一直存在.例如文1便出現(xiàn)了避直就迂的現(xiàn)象——舍棄較為簡捷的作輔助圓的方法,大用特用較為煩瑣的作直線形輔助線解題.文1還指出“構(gòu)造圓是一種巧法,……應該選用其他較為簡潔的通法”,筆者對此實在不敢茍同.其實,作輔助圓不是一種巧法,而是一種重要的通法、求解的方式;對于同一問題,若同時能用直線形和圓兩種不同的輔助線方法求解,往往用圓的求解方法更簡潔、更自然.現(xiàn)從近年中考題中選取兩例,對它們進行幾種不同的方法求解,讓我們共同關(guān)注作輔助圓解題.

      例1 (呼和浩特市中考)如圖1,四邊形ABCD中,

      點評:解法1根據(jù)已知條件AB=AD,把題設(shè)已有圖形看成直角三角形的一部分,其中將BD看成直角邊,AD當成斜邊上的中線,這樣用補形法作出相等線段構(gòu)成直角三角形,再運用直角三角形、等腰三角形、等腰梯形的性質(zhì)進行解答.解法2通過作垂線把BD看成直角三角形的斜邊,再解決兩直角邊的長,又運用矩形、等腰三角形的判定和性質(zhì)解題.解法3運用截長法在線段CD上截取DE=AB,使之出現(xiàn)菱形,再利用菱形、等腰梯形的性質(zhì)解答.前三種方法都是作直線形輔助線,用直角三角形、矩形或菱形等直線幾何圖形的判定、性質(zhì)解題,體現(xiàn)出較為煩瑣的解題過程,雖為通法求解,但思維含量大,學生不易想到.解法4根據(jù)題中已知條件:三條線段相等,且它們有公共端點,學生容易聯(lián)想到圓的集合定義,作出以共同端點為圓心,以等線段長為半徑的圓,再用圓的有關(guān)性質(zhì)解題,顯得格外自然而簡捷,讓人耳目一新.

      點評:由結(jié)論的形式易想到要構(gòu)造三角形的中位線,但要證明這兩條線段(線段MN、DE)相等卻比較難.解法1正是遵循這樣的思路,充分利用含60°角的直角三角形的邊的關(guān)系,得到兩對相等線段AD=AM、AE=AN,再利用三角形全等實現(xiàn)證題.解法2利用兩個含60°角的直角三角形,得出短直角邊與斜邊之比為1∶2,從而出現(xiàn)比例式,再利用“兩邊對應成比例且夾角相等”證三角形相似,進一步運用相似的性質(zhì)證題.解法3通過觀察題設(shè)圖形,發(fā)現(xiàn)其中隱含有兩對對頂三角形△CDF和△BEF、△DEF與△CDF,利用前者(兩個含30°角的直角三角形)的直角邊與斜邊的關(guān)系,得出后面的一對對頂三角形相似,并運用相似的性質(zhì)進行證題.前三種證法雖然都是運用直線形知識進行的通法求解,但解答此題對考生的識圖、辨圖能力要求較高.上面的證法看似精煉、簡潔,但解題思維過程的長度被隱藏,其難度是我們老師無法想象的.實際上在考試中,鮮有學生能用前三種方法來證題.其實,也有不少考生采用作輔助圓的方法來解決問題.這是因為題目的已知條件和圖形已具備作輔助圓的鮮明特征:△BDC和△BCE都是直角三角形,且它們有公共邊BC,取BC的中點后,用圓的定義構(gòu)造以BC為直徑的圓,再綜合運用圓的有關(guān)性質(zhì),則問題易于解決.

      從上面兩例可以看出:根據(jù)已知條件,添加適當?shù)妮o助圓,可使分散的條件集中,隱蔽的條件明顯,為溝通條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系而起到事半功倍的作用.相比其他三種直線形解法,作輔助圓解題較為貼近學生的認知水平,也接近學生的“最近發(fā)展區(qū)”,符合學生通常的思維習慣,有利于學生的理解和接受,有利于培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力、創(chuàng)新意識.因此作輔助圓是數(shù)學解題中一種不可缺少、不可忽視的通用的思維方法.平時教學中,對于可作輔助圓的一類問題應作詳細分析、重點講解,應展示解題的思維過程,讓學生知道為什么能夠作出輔助圓,作出輔助圓的目的,之后又怎樣去運用圓的性質(zhì)解答等,這樣能使學生體會到作輔助圓的由來和用圓的知識解題的簡捷性;進行例題講解后,還應該及時補充一定量的相關(guān)習題,進行專題訓練,這樣學生就會熟練掌握,融會貫通、熟能生巧,進而把輔助圓作為一種必不可少的解題工具、思維方法,自覺運用到解題中去.

      不少幾何問題明明可用作輔助圓的方法解決,學生為什么棄之不用呢?經(jīng)筆者調(diào)查、分析和思考,主要原因有以下幾種.

      (1)學生對圓的內(nèi)容掌握不扎實,不習慣把圓作為解決問題的工具.

      我們知道,圓是平面幾何中的基本圖形,也是除直線圖形之外的另一特殊曲線圖形;《圓》是初中數(shù)學極其重要的章節(jié),在平面幾何中舉足重輕,它比較系統(tǒng)的研究了圓的概念、性質(zhì)、圓中有關(guān)的角、點與圓、直線與圓、圓與圓、圓與正多邊形之間的位置、數(shù)量關(guān)系.雖然現(xiàn)行教材對圓的內(nèi)容作了大幅度刪減,比如:弦切角、相交弦、切割線、四點共圓等,但圓的基本知識、結(jié)構(gòu)、框架還在,相比其他章節(jié),其知識點仍然龐雜,性質(zhì)定理繁多,運用靈活.特別是圓與三角形、四邊形、多邊形、全等、相似、幾何變換、函數(shù)圖像相結(jié)合后,綜合性強,難度大,學生難以在短時間內(nèi)學好.

      另外,《圓》一章被安排在九年級上冊,在《相似》、《二次函數(shù)》之前,講授《圓》時,由于受內(nèi)容限制,大都只按部就班,學完課本的知識點,便草草了事;而與其他知識點相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容(特別是與相似)都沒有納入教學之中,而圓與相似相結(jié)合是初中數(shù)學最為華麗的篇章.這樣,對《圓》的學習僅僅停留在淺層次的運用上,對圓的深層次的運用幾乎為空白.最終導致不少學生對圓的內(nèi)容較陌生,甚至談“圓”色變.

      (2)缺少對圓輔助線的歸納和總結(jié).

      現(xiàn)行教材雖經(jīng)專家精心設(shè)計,但在平時教學中,我們?nèi)圆荒苷毡拘?,而應不斷加強相關(guān)內(nèi)容的總結(jié)、反思和拓展.學習《圓》的內(nèi)容時,應適時補充與圓有關(guān)的一些重要定理、性質(zhì),并進行運用,啟發(fā)、引導學生對圓的內(nèi)容的深入探討和細致研究,這樣便能充分挖掘教材潛在的教學功能,使學生的數(shù)學思維和創(chuàng)新能力得到進一步的培養(yǎng)和提高.

      平時教學中,讓學生體會到圓是平面幾何的重要圖形,它不僅能反映圖形中諸多角的關(guān)系,也能建立很多線段間的關(guān)系.應引導學生歸納、總結(jié)圓的基本運用、輔助線的作法.構(gòu)造輔助圓的基本思路是:根據(jù)圓的定義添補輔助圓、根據(jù)“圓周角的性質(zhì)”作輔助圓、根據(jù)圓內(nèi)(外)角與圓周角的關(guān)系作輔助圓、根據(jù)“任何三角形都有一個外接圓”作輔助圓、根據(jù)點與圓的位置關(guān)系作輔助圓、根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)作輔助圓、根據(jù)圓與圓的交點個數(shù)作輔助圓等,解題時應因題而異,靈活處理.

      (3)對作輔助圓的作用認識不夠.

      圓是平面幾何中的重要內(nèi)容,對培養(yǎng)學生的識圖能力、空間轉(zhuǎn)換能力、邏輯推理能力有著重要作用.在中考數(shù)學試卷中,不光體現(xiàn)在基礎(chǔ)知識的檢測上,也體現(xiàn)在綜合解題能力上.例如:由圓和直線圖形、函數(shù)圖像可以組合成一些復雜的綜合題,由圓的一些性質(zhì)和平面直角坐標系、函數(shù)、方程、面積等知識就組成了涉及面廣、圖形變化大、綜合性強的中考壓軸題.解答它們,往往需要有較強的分析問題、解決問題的能力.

      學生在初學圓時,對一些題目往往感覺無從下手,這時如果能夠添加適當?shù)妮o助線,問題就簡單多了.作輔助圓求解幾何問題,能化繁為簡、化難為易,彰顯了獨特的解題魅力,它滲透了一些基本的數(shù)學思想方法,能拓展思路、開闊視野,甚至也會在問題解決過程中有易如反掌、勢如破竹的快樂體驗,真可謂“直線誠可貴,曲線價更高”.在教學過程中,既要重視作直線型輔助線的解法,也要重視作輔助圓的解法,以培養(yǎng)學生敏銳的觀察、深刻的思維與探究能力,提高數(shù)學素養(yǎng),獲得終生發(fā)展所必需的數(shù)學思想方法.

      當然,筆者強調(diào)作輔助圓解題,絕無“貶直揚曲”的傾向,只是想找回它在教學中應有的位置,兩種不同類型的輔助線解題方法不可或缺,孤立任何一種都不可?。诮虒W中,取長補短,整合優(yōu)化,發(fā)揮各自優(yōu)勢,這樣學生的思維和答題,便可以返璞歸真,自然和諧.

      1.湯獻玉.立足教材,活用定義[J].中學數(shù)學(下),2011(8).

      2.羅峻.找出隱藏的圓,巧解中考試題[J].中學數(shù)學(下),2011(1).WG

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