接地導(dǎo)體球附近點電荷運動的討論

桑芝芳 鄭潔梅 黃楊

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215006)

接地導(dǎo)體球附近有點電荷存在，則導(dǎo)體球會發(fā)生靜電感應(yīng)作用，導(dǎo)體球和點電荷間存在庫侖引力，我們可以用鏡像法求出球外空間電勢、電場的分布以及它們之間的相互作用力．若將點電荷從靜止釋放，點電荷將向接地導(dǎo)體球做變加速運動，越接近導(dǎo)體球，速度越大，甚至會出現(xiàn)超光速現(xiàn)象，此時應(yīng)考慮相對論效應(yīng)．

本文將考慮相對論效應(yīng)，對接地導(dǎo)體球附近點電荷的運動情況進行討論，并和用經(jīng)典力學(xué)處理該問題進行了比較．

1 理論分析

問題：設(shè)真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心a(a>R0)處有一質(zhì)量為m的點電荷Q，若從靜止釋放，該點電荷運動情況如何呢？

分析：根據(jù)鏡像法，導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷對場的貢獻可以用假想的像電荷來代替，假設(shè)點電荷運動至距球心任意位置x處時，像電荷的位置和大小為

上式中b為像電荷到球心的距離，Q′為像電荷的電荷量，如圖1所示．球外空間的電場相當于點電荷Q和鏡像電荷Q′所激發(fā)的電場，此時點電荷Q所受作用力即為像電荷Q′對它的作用力，表達式為

(1)

圖1

如果將點電荷Q從距離球心a處由靜止釋放，它將向?qū)w球運動，此時像電荷的電荷量增大，與點電荷的距離減小，因而點電荷Q所受的作用力將迅速增大．

根據(jù)牛頓第二定律

F=ma

由式(1)可得

(2)

將式(2)分離變量，由初始條件t=0時，x=a,v=0，積分可得

可解得

(3)

式中負號“—”表示點電荷Q的運動方向與x軸方向相反，其中

由式(3)

分離變量，并應(yīng)用初始條件得

從而可得點電荷Q從距離球心a處運動到任意位置x處的時間為

(4)

令x=R0，由式(4)即可得點電荷Q到達球面的時間．

但值得注意的是，當x→R0時，由式(3)可知v→-∞，速度發(fā)散，無物理意義．此時應(yīng)考慮相對論效應(yīng)，應(yīng)用相對論力學(xué)求解．

根據(jù)相對論力學(xué)公式

得

(5)

根據(jù)初始條件t=0時，x=a,v=0，并積分得

v=

(6)

當x→R0時，v→-c，即點電荷運動到球表面的極限速度為c，從而有效避免了速度的發(fā)散現(xiàn)象．

由式(6)進一步計算可得點電荷運動至球表面的時間為

(7)

2 數(shù)值討論

圖2給出了應(yīng)用相對論力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)方法處理情況下，速度和位置的變化關(guān)系.

圖2 用兩種方法處理時，速度-位置的關(guān)系

圖3分別給出了應(yīng)用相對論力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)方法處理情形下位置和時間的關(guān)系，其中

圖3 用兩種方法處理時，位置-時間的關(guān)系

但值得注意的是，雖然用經(jīng)典力學(xué)來求解點電荷到達導(dǎo)體球面的時間是有效的，并不意味著點電荷的運動就是完全的經(jīng)典力學(xué)運動，我們應(yīng)意識到其中的相對論效應(yīng)．

參考文獻

1 郭碩鴻. 電動力學(xué). 北京：高等教育出版社，1995

2 Kevin L. Haglin. Point charge dynamics near a grounded conducting plane.Am.J.Phys,2010,78(11):1190～1194