形似質(zhì)同與形似質(zhì)異

成樹(shù)明

(濱州市濱城區(qū)第一中學(xué) 山東 濱州 256600)

一題多變通常是由一道母題從題設(shè)條件的變換、數(shù)據(jù)衍變、設(shè)問(wèn)轉(zhuǎn)化等角度進(jìn)行變式拓展.一題多變是拓展學(xué)生思維，提高學(xué)生解題能力的有效方法.拓展后的新題與原題大多本質(zhì)相同，也有本質(zhì)不同的，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下．

【母題1】如圖1所示，一個(gè)半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O點(diǎn)為其球心，碗的內(nèi)表面及碗口是光滑的，一質(zhì)量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止于P點(diǎn)．設(shè)滑塊所受支持力為FN．OP與水平方向的夾角為α．下列關(guān)系正確的是

圖1

分析：以小滑塊為研究對(duì)象，受重力mg，水平外力F和半球形容器的支持力FN作用，支持力的方向垂直于接觸面，放在半球形碗內(nèi)的物體所受彈力方向指向球心．本題為典型的三力平衡模型，下面嘗試選擇不同方法加以解答．

方法1：正交分解

沿水平方向和豎直方向建立直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

由題意可得

FNcosα=FFNsinα=mg

聯(lián)立解得

本題答案為選項(xiàng)A．

圖2

方法2：拉密原理

由圖2，根據(jù)拉密原理，可得

解得

故本題答案為選項(xiàng)A．

圖3

方法3：三力平衡時(shí)，兩力之和與第三力等大反向

水平外力F與半球形容器的支持力FN的合力F′大小等于重力mg，方向豎直向上，如圖3所示.

由圖3可得

解得

故本題答案為選項(xiàng)A．

方法4：矢量三角形法

圖4

三力平衡，構(gòu)建首尾相接的力的矢量三角形，如圖4所示.

由圖4可得

解得

故本題答案為選項(xiàng)A．

本題應(yīng)用了4種方法解答，處理三力平衡問(wèn)題方法比較多，也比較靈活，具體問(wèn)題中可根據(jù)題目條件和解答方便選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鞔穑?/p>

圖5

解析：以質(zhì)量為m2的小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受重力m2g和繩子的拉力FT，二力平衡，有FT=m2g.以質(zhì)量為m1的小球?yàn)檠芯繉?duì)象，除了受重力m1g和碗的支持力FN外，還受到與水平方向成60°角的繩子的拉力FT作用，其受力情況與母題中的小滑塊類似，均為三力平衡，且重力和支持力的方向與母題相同，可用母題中提供的多種方法求解，正確答案為選項(xiàng)A.

【拓展2】在拓展1的基礎(chǔ)上，如圖6所示，當(dāng)兩球處于平衡狀態(tài)時(shí)，質(zhì)量為m1的小球與O點(diǎn)的連線與水平線的夾角為α=90°，質(zhì)量為m2的小球位于水平地面上，設(shè)此時(shí)細(xì)線的拉力大小為FT，質(zhì)量為m2的小球?qū)Φ孛娴膲毫Υ笮镕N，則

C.FN=m2g

D.FN=(m2-m1)g

圖6

解析：拓展1與母題本質(zhì)相同，均為三力平衡，拓展2雖與拓展1看似變化不大，但本質(zhì)已發(fā)生變化.以質(zhì)量為m1的小球?yàn)檠芯繉?duì)象，豎直方向受重力m1g和碗的支持力N作用，考慮到小球處于平衡狀態(tài)，這時(shí)繩子對(duì)其拉力必為零，否則小球不可能平衡，即FT=0.再以質(zhì)量為m2的小球?yàn)檠芯繉?duì)象，由于繩子拉力為零，小球所受重力與地面的支持力二力平衡，由牛頓第三定律知，小球?qū)Φ孛娴膲毫Υ笮镕N=m2g，故本題答案為選項(xiàng)C.本題考查二力平衡，而不是三力平衡.

【母題2】如圖7所示，粗糙的水平地面上有一傾角為θ的斜面體，一質(zhì)量為m的物塊在豎直向下的恒力F作用下沿斜面勻速下滑．若力F沿逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過(guò)2θ的過(guò)程中，物塊仍沿斜面下滑，斜面體始終保持靜止．試分析地面與斜面體之間的摩擦力.

分析：開(kāi)始物塊沿斜面勻速下滑，則在沿斜面方向有(mg+F)sinθ=μ(mg+F)cosθ，解得μ=tanθ，此時(shí)，斜面對(duì)物塊的支持力與滑動(dòng)摩擦力的合力方向豎直向上，根據(jù)牛頓第三定律知，物塊對(duì)斜面的壓力和滑動(dòng)摩擦力的合力方向豎直向下．物塊沿斜面下滑時(shí)，因Ff=μFN，只要滿足μ=tanθ，不管壓力多大，物塊對(duì)斜面的壓力和滑動(dòng)摩擦力的合力方向總是豎直向下，所以，地面與斜面體之間無(wú)摩擦力．這時(shí)的斜面傾角θ通常稱為摩擦角．

圖7

【拓展1】將母題中的初態(tài)改為一質(zhì)量為m的物塊沿斜劈勻速下滑時(shí),末態(tài)改為現(xiàn)給物塊施加一個(gè)與豎直方向夾角為θ的力F，如圖8所示.物塊仍沿斜面下滑，斜面體始終保持靜止．試分析地面與斜面體之間的摩擦力.

圖8

分析：拓展1與母題比較，不僅形似，而且本質(zhì)相同，物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=tanθ，這時(shí)物塊對(duì)斜面的壓力和摩擦力的合力方向仍豎直向下，所以地面與斜面體之間無(wú)摩擦力．

【拓展2】初態(tài)與拓展1相同，將末態(tài)改為物塊在水平向右的恒力F作用下沿斜面勻速上升，如圖9所示，斜面體始終保持靜止．試分析地面與斜面體之間的摩擦力.

圖9

分析：拓展2與母題、拓展1比較，雖然形似，但本質(zhì)已發(fā)生變化，不再是摩擦角問(wèn)題.由于斜面體和物塊均處于平衡狀態(tài)，以整體為研究對(duì)象，可知地面對(duì)斜面體的靜摩擦力大小為F，方向水平向左.

【母題3】如圖10所示，ad，bd，cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a，b，c，d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)．每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫(huà)出)，三個(gè)滑環(huán)分別從a，b，c處由靜止釋放，用t1，t2，t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)間，試比較t1，t2，t3的大小.

圖10

【拓展1】如圖11所示，ad，bd，cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a，b，c，d位于同一圓周上，d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，a點(diǎn)為最低點(diǎn).每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫(huà)出)，三個(gè)滑環(huán)分別從d處由靜止釋放，用t1，t2，t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)a,b,c處所用的時(shí)間，試比較t1，t2，t3的大小.

圖11

【拓展2】如圖12所示，oa，ob，oc是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，o，a，b，c，d位于同一圓周上，d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，a點(diǎn)為最低點(diǎn).每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫(huà)出)，三個(gè)滑環(huán)都從o點(diǎn)無(wú)初速釋放，用t1，t2，t3依次表示滑環(huán)到達(dá)a，b，c所用的時(shí)間，試比較t1，t2，t3的大小.

圖12

定量比較t2和t3的大小關(guān)系，要進(jìn)行相關(guān)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，因?yàn)檠貓A周從a處向c處移動(dòng)的過(guò)程中，滑桿過(guò)圓心后，桿長(zhǎng)度變短，滑環(huán)加速度變小，無(wú)法定性判斷所用時(shí)間如何變化.

圖13

如圖13所示，假設(shè)oe恰好過(guò)圓心，它與ad的夾角θ0為一定值，設(shè)of與oe的夾角為θ，則of與豎直方向的夾角為(θ0+θ)，有

解得

(1)

令

則

所以，函數(shù)f(θ)為增函數(shù)，則原函數(shù)式(1)也為增函數(shù)，因此滑桿過(guò)圓心后，繼續(xù)向上移動(dòng)的過(guò)程中，θ角變大，所用時(shí)間變長(zhǎng)，有t3>t2，因此有t3>t2>t1.

此題其實(shí)還有如下兩種解法.

解法1:

式(1)整理后得

式中R,g,θ0為常量，當(dāng)θ增大時(shí)，時(shí)間是增加的，結(jié)論同上.

解法2:

圖14

也可以用等時(shí)圓的方法，即找到三根滑桿對(duì)應(yīng)的等時(shí)圓,比較它們的直徑(或半徑)即可.方法如下,分別做a,b,c三根滑桿對(duì)應(yīng)的等時(shí)圓的直徑如圖14所示，利用前面的結(jié)論可知,o到a的時(shí)間等于o到a′的時(shí)間,o到b的時(shí)間等于o到b′的時(shí)間,o到c的時(shí)間等于o到c′的時(shí)間，由圖可知t3>t2>t1.

為了提高習(xí)題訓(xùn)練的效益，教學(xué)中要精選例題，一題多變是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的重要途徑之一．要引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)構(gòu)建物理模型，區(qū)分一題多變中的形似質(zhì)同與形似質(zhì)異，可使學(xué)生克服思維定式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維與發(fā)散性思維，以達(dá)到提高綜合能力的目的．