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    旋轉(zhuǎn)矢量法描述簡(jiǎn)諧波

    2013-01-11 08:07:30麻志洪陳亞琳賈帆豪
    物理通報(bào) 2013年12期
    關(guān)鍵詞:波源矢量圖質(zhì)點(diǎn)

    麻志洪 陳亞琳 賈帆豪

    (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江 金華 321004)

    1 引言

    旋轉(zhuǎn)矢量法[1]是學(xué)習(xí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程中較為重要的解題方法,它將簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、相位、速度、加速度等變量在矢量圖中表示出來(lái).但筆者發(fā)現(xiàn),利用旋轉(zhuǎn)矢量法處理簡(jiǎn)諧波的文章并不多見(jiàn),而學(xué)生在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)諧波的過(guò)程中,對(duì)波的相位、時(shí)間性與空間性常感到困惑,故筆者將用旋轉(zhuǎn)矢量法直觀地描述簡(jiǎn)諧波.

    2 方法分析

    2.1 機(jī)械波旋轉(zhuǎn)矢量法的引出(下文中均以波已傳至所討論的質(zhì)點(diǎn)為例)

    圖1

    如圖1為旋轉(zhuǎn)矢量圖,矢端沿圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω,設(shè)矢量與y軸的夾角為

    α=ωt-kx+φ

    (1)

    y=Acos(ωt-kx+φ)

    (2)

    速度投影為

    v=-Aωsin(ωt-kx+φ)

    (3)

    加速度投影為

    a=-Aω2cos(ωt-kx+φ)

    (4)

    對(duì)于簡(jiǎn)諧波,設(shè)波動(dòng)方程為

    y=Acos(ωt-kx+φ)

    (5)

    任意選定距波源右方x處的質(zhì)點(diǎn),則:

    (1)旋轉(zhuǎn)矢量以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正,與y軸正向的夾角等于簡(jiǎn)諧波上位于距波源x處的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的相位,隨著時(shí)間增長(zhǎng),相位增大,矢端逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng);隨著x增大,相位減小,矢端順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).

    (2)旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度等于波的振幅,在y軸上的投影等于波上該質(zhì)點(diǎn)的位移.

    (3)矢端速度沿y軸方向的投影即是該質(zhì)點(diǎn)的速度.

    (4)矢端加速度在y軸上投影的負(fù)值即是該質(zhì)點(diǎn)的加速度.

    (5)該質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能與勢(shì)能的比值

    對(duì)于第5點(diǎn),由于位于x處的質(zhì)點(diǎn)做類簡(jiǎn)諧振動(dòng),以彈簧振子為例做如下推導(dǎo).

    由動(dòng)能公式知

    (6)

    因?yàn)?/p>

    (7)

    所以有

    (8)

    所以

    (9)

    勢(shì)能

    (10)

    所以

    (11)

    (1)距離波源右方12 m處的質(zhì)點(diǎn)N在t=3 s時(shí)的相位;

    (2)質(zhì)點(diǎn)N在t=3 s時(shí)的振動(dòng)方向以及動(dòng)能與勢(shì)能的比值.

    圖2

    由此可見(jiàn),利用旋轉(zhuǎn)矢量法大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題.

    2.2 同方向同頻率簡(jiǎn)諧波的合成

    同一介質(zhì)中,兩列同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧波可寫成如下形式

    y1=A1cos(ω0t-kx+φ1)

    (12)

    y2=A2cos(ω0t-kx+φ2)

    (13)

    則波的合成

    y=y1+y2

    (14)

    式(12)、(13)代入式(14)整理,得

    y= [A1cos(-kx+φ1)+

    A2cos(-kx+φ2)]cosω0t-

    [A1sin(-kx+φ1)+

    A2sin(-kx+φ2)]sinω0t

    (15)

    Acos(-kx+φ)=

    A1cos(-kx+φ1)+A2cos(-kx+φ2)

    Asin(-kx+φ)=

    A1sin(-kx+φ1)+A2sin(-kx+φ2)

    y=Acos(ω0t-kx+φ)

    (16)

    可見(jiàn),同方向、同頻率的兩列簡(jiǎn)諧波合成后仍為簡(jiǎn)諧波,其中

    cos(-kx+φ)=

    sin(-kx+φ)=

    圖3

    下振動(dòng),此時(shí)動(dòng)能最大,勢(shì)能為零.

    圖4

    該題若用代數(shù)法,因相位不同,非常繁瑣,旋轉(zhuǎn)矢量法則簡(jiǎn)單易行,該方法還可以解決波動(dòng)方程的求解等問(wèn)題,這里不再繼續(xù)討論.

    3 結(jié)論

    利用旋轉(zhuǎn)矢量法描述簡(jiǎn)諧波,充分體現(xiàn)其時(shí)間和空間周期性,并通過(guò)矢量圖將波上各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能與勢(shì)能比直觀地反映出來(lái),大大簡(jiǎn)化了有關(guān)波動(dòng)問(wèn)題的解決.

    參考文獻(xiàn)

    1 趙凱華,羅蔚茵.力學(xué).北京:高等教育出版社,2005

    2 楊慶怡.用旋轉(zhuǎn)矢量描述簡(jiǎn)諧振動(dòng).廣西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002(27)(Sup.):145~147

    3 倪辛. 旋轉(zhuǎn)矢量圖與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的關(guān)系.南京廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),1999(4)

    4 楊慶怡.用旋轉(zhuǎn)矢量描述波形及振動(dòng)曲線與波形的轉(zhuǎn)換.見(jiàn):第四屆西部二十省(區(qū))市物理學(xué)會(huì)聯(lián)合學(xué)術(shù)交流會(huì)論文集.2008

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