類(lèi)比恰似偉大的領(lǐng)路人

摘 要：現(xiàn)代數(shù)學(xué)素質(zhì)教育要求大力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，這不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要掌握滲透于數(shù)學(xué)知識(shí)中的思想方法，能用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題。在中學(xué)數(shù)學(xué)課程設(shè)置中，從平面幾何到立體幾何，從方程、不等式到函數(shù)，從圓到二次曲線(xiàn)等問(wèn)題的研究過(guò)程中，無(wú)不體現(xiàn)類(lèi)比這種數(shù)學(xué)思想方法。類(lèi)比思維是一種極富創(chuàng)造性的思維方法，是提出假說(shuō)進(jìn)行猜想的基礎(chǔ)，是各種創(chuàng)造性思維的源泉。

關(guān)鍵詞：類(lèi)比；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；能力

縱觀近年來(lái)各地高考數(shù)學(xué)試題可知，教材是高考試題的根本來(lái)源。多數(shù)試題是課本的類(lèi)比題，有的試題直接取自教材概念、公式、例題或習(xí)題的改編。有的試題是教材中的幾個(gè)題目或幾種方法的綜合。但是學(xué)生做習(xí)題時(shí)往往停留于機(jī)械模仿，習(xí)題的條件或結(jié)論做一些微妙的變化，就會(huì)出現(xiàn)答非所問(wèn)，碰到新穎的題目，更是不知從何下手。究其原因，主要是學(xué)生思維僵化，不善于聯(lián)想類(lèi)比，生搬硬套，缺乏隨機(jī)應(yīng)變的能力。筆者就最近期末復(fù)習(xí)卷上的一道填空引發(fā)一些思考。

原題：?jiǎn)栴}“求方程3x+4x=5x的解”有如下思路：方程3x+4x=5x可變成（■）x+（■）x=1，考察函數(shù)f（x）=（■）x+（■）x可知，f（2）=1，且函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，所以原方程有唯一解x=2。仿照此解法求不等式x6-（2x+3）>（2x+3）3-x2的解。

學(xué)生一：令f（x）=x6-（2x+3）-（2x+3）3+x2，通過(guò)求導(dǎo)判斷原函數(shù)的零點(diǎn)及單調(diào)性，進(jìn)而求出不等式的解，但導(dǎo)函數(shù)還是高次函數(shù)，沒(méi)法求根，思路因此中斷。

學(xué)生二：原不等式即[（x2）3-（2x+3）3]+（x2-2x-3）>0

即（x2-2x-3）[x4+x2（2x+3）+（2x+3）2]>0

即（x+1）（x-3）[x2（x+1）2+6（x+1）2+4]>0

因?yàn)槠椒巾?xiàng)恒非負(fù)，所以不等式的解為（-∞，-1）∪（3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：兩位學(xué)生都沒(méi)有領(lǐng)悟到此題的本意，屬于方向性錯(cuò)誤，這是道類(lèi)比填空，屬于解題方法上的類(lèi)比。原方程的求解給我們提供了一個(gè)很好的示范，變形，構(gòu)造新函數(shù)，判斷單調(diào)性進(jìn)而求解，而此方法也可類(lèi)似的用到解不等式中。

正解：原不等式即（x2）3+x2>（2x+3）3+（2x+3）

不等號(hào)兩邊都是t3+t的形式，因此構(gòu)造函數(shù)f（t）=t3+t

原不等式即f（x2）>f（2x+3）

顯然f（t）在R上單調(diào)遞增，因此只需x2>2x+3

所以不等式解為（-∞，-1）∪（3，+∞）

利用類(lèi)比方法，最終把一道復(fù)雜的高次不等式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的一元二次不等式。而當(dāng)時(shí)全班利用此方法解出的只有區(qū)區(qū)幾個(gè)學(xué)生！這一嚴(yán)峻的結(jié)果不得不讓我反思平時(shí)的課堂教學(xué)。我們只研究教師如何傳授知識(shí)，不重視學(xué)生如何自主學(xué)習(xí)。學(xué)生能夠掌握一些常規(guī)的解題方法，但一遇到稍復(fù)雜的新題型就不知所措，解題的瓶頸難以逾越。新課標(biāo)提倡要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，若教師在平時(shí)的教學(xué)中能把類(lèi)比這種教學(xué)思想滲透于課堂，將對(duì)學(xué)生的思維能力、分析問(wèn)題及解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的提高有很大的幫助，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到事半功倍的效果。

類(lèi)比是一切理解和思維的基礎(chǔ)，作為一種邏輯方法，它在教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。

一、運(yùn)用類(lèi)比法有效溝通新舊知識(shí)，突破教學(xué)難點(diǎn)

許多數(shù)學(xué)概念都有相似之處，教師在引入新概念時(shí)，運(yùn)用類(lèi)比有助于活躍學(xué)生的思維，因?yàn)閷W(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)新概念特征與過(guò)去已知的概念相似，他就會(huì)積極主動(dòng)地推測(cè)新概念特征的相同之處，在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的同時(shí)，更提高了課堂效率。運(yùn)用類(lèi)比法，可以促使學(xué)生回顧舊知識(shí)，嘗試在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，去發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，構(gòu)建新知識(shí)，可以有效地實(shí)現(xiàn)舊知識(shí)在新內(nèi)容中的遷移，幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，突破教學(xué)難點(diǎn)，降低教學(xué)難度。尤其在一些概念、性質(zhì)、定理、公式、題型方面，是常用的教學(xué)方法。

二、運(yùn)用類(lèi)比法加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解

學(xué)生在進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)講解，解題指導(dǎo)時(shí)，往往只注意到知識(shí)點(diǎn)和題目的一些外在形式，而忽略了一些本質(zhì)特征，如其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，忽視知識(shí)點(diǎn)、相關(guān)題目間的聯(lián)系，這容易造成學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)解題盲點(diǎn)，無(wú)法將所學(xué)知識(shí)，所掌握的解題方法、技巧順利的應(yīng)用到獨(dú)立解題中。而恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類(lèi)比，可以讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)、技能進(jìn)行分析比較，找到它們之間的相互聯(lián)系和區(qū)別，探明其形式和本質(zhì)的統(tǒng)一，從而使問(wèn)題得到圓滿(mǎn)的解決。

三、運(yùn)用類(lèi)比法有利于激發(fā)學(xué)生探索，獲得“再發(fā)現(xiàn)”的體驗(yàn)

在進(jìn)行類(lèi)比和知識(shí)遷移的過(guò)程中，學(xué)生是作為一個(gè)探索者、研究者和發(fā)現(xiàn)者而去進(jìn)行研究的，這使得學(xué)生能從中獲得大量探索發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)。同時(shí)，類(lèi)比思維在數(shù)學(xué)知識(shí)的延伸拓展中常常借助于比較、聯(lián)想，用作啟發(fā)誘導(dǎo)以尋找思維的變異和發(fā)散，因此，類(lèi)比方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法。在學(xué)習(xí)立體幾何中，學(xué)生可以利用平面幾何中已有的性質(zhì)定理，探索和研究立體幾何中的相關(guān)性質(zhì)。

例如，在學(xué)習(xí)三棱錐的體積時(shí)，由于三角形面積公式可以把三角形補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，三角形的面積是平行四邊形的面積的一半。類(lèi)似的，要求三棱錐的體積，應(yīng)把它補(bǔ)成一個(gè)三棱柱，然后再分割成三個(gè)等體積的三棱錐，運(yùn)用類(lèi)比的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，學(xué)生對(duì)這種方法的理解就會(huì)毫無(wú)困難。

教師在教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮類(lèi)比法的作用，有意地引導(dǎo)學(xué)生使用類(lèi)比思維的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，灌輸各種教學(xué)思想和方法，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)適合當(dāng)前社會(huì)發(fā)展需要的創(chuàng)造型人才。

參考文獻(xiàn)：

廖媛.淺談?lì)惐确ㄔ跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用.教育教學(xué)論壇，2011（11）.

（作者單位 江蘇省昆山中學(xué)）