圖形、數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)處理

江蘇高考近三年關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查對(duì)建模能力的要求逐漸降低，主要考查實(shí)際問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”后如何運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題；結(jié)合圖象理解函數(shù)與方程、不等式解之間的內(nèi)在聯(lián)系是高考熱點(diǎn)，2012第17題再次以圖象為載體考查了零點(diǎn)概念、方程有根的條件，值得注意的是對(duì)閱讀理解和數(shù)據(jù)處理能力的考查要求呈上升趨勢(shì)，這道題的難點(diǎn)是對(duì)“其中k與發(fā)射方向有關(guān)”的理解——k是變量，因而應(yīng)視為“關(guān)于k的方程有正根”，處理字母數(shù)據(jù)的能力是解決本題的關(guān)鍵。此外就教材而言，概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)滲透的思想方法為應(yīng)用問(wèn)題提供了新的載體。以圖形、數(shù)表等形式為背景出現(xiàn)的問(wèn)題一般稱為圖表信息問(wèn)題。

一、 以圖形信息為載體的應(yīng)用問(wèn)題

【背景材料】 由函數(shù)作出其圖象可直觀反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律，這是數(shù)學(xué)中的基本問(wèn)題，從已知圖形分析建立數(shù)學(xué)模型所需的信息是逆向問(wèn)題，這是數(shù)形結(jié)合思想的兩個(gè)方面。對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)和理解是數(shù)學(xué)的基本能力。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生而言，一節(jié)課的聽(tīng)課效果隱藏著什么樣的科學(xué)規(guī)律？

【命題分析】 推而廣之，我們還可探索如何根據(jù)生物鐘規(guī)律合理安排自己的學(xué)習(xí)生活。

【例1】 某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)注意力指數(shù)p與聽(tīng)課時(shí)間t（分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)t∈（0，14]時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)t∈[14，40]時(shí)，曲線是函數(shù)y=loga（x-5）+83（a>0且a≠1）圖象的一部分.根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)p大于80時(shí)聽(tīng)課效果最佳.

（1）試求p=f（t）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）老師在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽(tīng)課效果最佳？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）t∈（0，14]時(shí)由-14（t-12）2+82≥80得t∈[12-22，14].t∈[14，40]時(shí)由log13（t-5）+83≥80得5 點(diǎn)撥 類似問(wèn)題考查”待定系數(shù)法”與解不等式的知識(shí)，與2012江蘇高考17題對(duì)照，會(huì)提升我們對(duì)圖形背景問(wèn)題的領(lǐng)悟，拓寬分析和解決問(wèn)題的思路。

二、 以數(shù)表信息為載體的應(yīng)用問(wèn)題

【背景材料】 蘇格蘭雜貨商人格蘭特于1662年對(duì)倫敦的死亡記錄進(jìn)行整理和分析寫成了《關(guān)于死亡公報(bào)的自然和政治觀察》一書，揭示了人類一切疾病和事故在全部死亡原因中占有穩(wěn)定的百分比。

【命題分析】 人類的婚姻、死亡、犯罪等諸多方面存在數(shù)學(xué)常數(shù)，這是統(tǒng)計(jì)學(xué)的重大成就之一，由此推動(dòng)了統(tǒng)計(jì)學(xué)的誕生與發(fā)展。而今數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與處理的應(yīng)用已經(jīng)滲透到社會(huì)、科學(xué)、生活的各個(gè)方面，了解管理決策與數(shù)學(xué)科學(xué)密切相關(guān)，有助于我們成長(zhǎng)為一個(gè)有素質(zhì)的公民。

【例2】 某縣中規(guī)定家到學(xué)校的路程在10里以內(nèi)的學(xué)生可以走讀，因交通便利，所以走讀生人數(shù)很多.該校學(xué)生會(huì)先后5次對(duì)走讀生的午休情況作了統(tǒng)計(jì)，得到如下資料：

①若把家到學(xué)校的距離分為五個(gè)區(qū)間：[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]，則調(diào)查數(shù)據(jù)表明午休的走讀生分布在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的頻率相對(duì)穩(wěn)定，得到了如右圖所示的頻率分布直方圖；②走讀生是否午休與下午開(kāi)始上課的時(shí)間有著密切的關(guān)系. 下表是根據(jù)5次調(diào)查數(shù)據(jù)得到的下午開(kāi)始上課時(shí)間與平均每天午休的走讀生人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表.

（1） 若隨機(jī)調(diào)查一位午休的走讀生，其家到學(xué)校的路程（單位：里）在[2，6）內(nèi)的概率是多少？（2） 如果把下午開(kāi)始上課時(shí)間1：30作為橫坐標(biāo)0，然后上課時(shí)間每推遲10分鐘，橫坐標(biāo)x增加1，并以平均每天午休人數(shù)作為縱坐標(biāo)y，試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求平均每天午休人數(shù)與上課時(shí)間x之間最佳擬合關(guān)系（線性回歸方程）；（3） 當(dāng)下午上課時(shí)間推遲到2：20時(shí)，預(yù)測(cè)家距學(xué)校路程在6里以上的走讀生中約有多少人午休？

（3） 下午上課時(shí)間推遲到2：20時(shí)，x=5，=890，890×（0.05+0.025）×2=133.5，

故家距學(xué)校的路程在6里路以上的走讀生約有134人.

點(diǎn)撥 本題來(lái)源于我們最熟悉的生活背景，著重考查閱讀理解與數(shù)據(jù)處理能力，考查精確計(jì)算與估算，解答過(guò)程對(duì)分析能力的要求逐步提高。

三、 拓展應(yīng)用

【背景材料】 隨著生活水平的提高，私家車大量增加引發(fā)的交通事故也每日發(fā)生。

【命題分析】 數(shù)學(xué)知識(shí)為交通事故的偵查取證提供怎樣的幫助呢？

【例3】 一次交通事故只能確認(rèn)肇事逃逸的是本市出租車，該市有紅色出租車和藍(lán)色出租車兩家公司，藍(lán)色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個(gè)城市出租車的85%和15%。據(jù)現(xiàn)場(chǎng)目擊證人說(shuō)，該出租車是紅色，警察對(duì)證人的辨別能力作了測(cè)試，測(cè)得他辨認(rèn)的正確率為80%，警察認(rèn)為紅色出租車具有較大的肇事嫌疑，請(qǐng)問(wèn)這對(duì)紅色出租車公平嗎？說(shuō)明理由.

從表中可以看出，證人說(shuō)出租車是紅色且它確實(shí)是紅色的概率為120290≈0.41，是藍(lán)色的概率為170290≈0.59. 由此以證人的證詞作為推斷的依據(jù)對(duì)紅色出租車顯然是不公平的.

點(diǎn)撥 如何對(duì)繁亂的數(shù)據(jù)科學(xué)化處理需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，教材涉及的表格化處理是基本方法之一，在函數(shù)與曲線、概率與統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容中多有體現(xiàn)，其優(yōu)點(diǎn)是便于發(fā)現(xiàn)相關(guān)數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律。

牛刀小試

1. 甲、乙兩人對(duì)某縣的養(yǎng)雞場(chǎng)連續(xù)六年的規(guī)模進(jìn)行調(diào)查，得到如下兩個(gè)不同的信息圖：

A圖表明該縣從第1年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)1萬(wàn)只雞，第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)2萬(wàn)只雞；B圖表明該縣由第1年養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)30個(gè)減少到第6年的10個(gè).據(jù)此解答：

（1）第二年養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少？

（2）哪一年的規(guī)模最大？

2. 某校從高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績(jī)（成績(jī)均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，解答下列問(wèn)題：

（1）求物理成績(jī)低于50分的學(xué)生人數(shù)；

（2）估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率（60分及以上為及格）；

（3）從不及格的學(xué)生中任選兩人，求他們成績(jī)至少有一個(gè)不低于50分的概率.

（作者：吉冬林 徐德清 江蘇省邗江中學(xué)）