概率與統(tǒng)計

概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的科學。高中階段，同學們通過實際問題情境，學習隨機抽樣、樣本估計、概率統(tǒng)計等來體會用樣本估計總體及其特征的思想，體會概率模型的作用及運用概率思考問題的特點，初步形成用隨機觀念觀察、分析問題的意識。

一、 考綱要求

根據(jù)《2012年江蘇省高考數(shù)學學科考試說明》，考綱給出的能級要求如下：

從表格中可以看出高考對這一部分內(nèi)容的考查注重考查基礎知識和基本方法。

1. 統(tǒng)計部分

了解簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法及各自的適用范圍，能讀懂頻率分布直方圖，了解莖葉圖，能根據(jù)公式計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，了解方差的統(tǒng)計學意義。

2. 概率部分

通過學習，要能區(qū)分古典概型和幾何概型的異同點，能通過枚舉法計算簡單的古典概型，而對于幾何概型，只要掌握一維和二維圖形的幾何概型即可。

二、 難點疑點

1. 會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征。

2. 古典概型的適用條件：（1）試驗結(jié)果的有限性，（2）所有結(jié)果的等可能性。

三、 經(jīng)典練習回顧

--！> 1. 若k1，k2，…，k8的方差為3，則2（k1-3），2（k2-3），…，2（k8-3）的方差為 .

2. 將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標有點數(shù)1，2，3，4，5，6的正方體玩具）先后拋擲2次，至少出現(xiàn)一次6點向上的概率是.

3. 兩根相距6 m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2 m的概率.

4. 甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙兩人下成和棋的概率為.

四、 例題精析

【例1】 將一顆骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點數(shù)，求：（1）兩數(shù)和是3的倍數(shù)的概率；

（2）點數(shù)之和為質(zhì)數(shù)的概率；

（3）點數(shù)之和不低于10的概率；

（4）概率最大時，點數(shù)之和.

解 （1）將骰子拋擲1次，它出現(xiàn)的點數(shù)有1，2，3，4，5，6這6種結(jié)果，對于每一種結(jié)果，第二次拋時又都有6種可能的結(jié)果，于是共有6×6=36種不同的結(jié)果.

記“兩次向上點數(shù)之和是3的倍數(shù)”為事件A，則事件A的結(jié)果有12種.

兩次向上點數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為： P（A）=1236=13.

（2）記“點數(shù)之和為質(zhì)數(shù)”為事件B，則事件B的結(jié)果有15種.

點數(shù)之和為質(zhì)數(shù)的概率為：P（B）=1536=512.

（3）記“兩次向上點數(shù)之和不低于10”為事件C，則事件C的結(jié)果有6種，因此所求概率為：P（C）=636=16.

（4）點數(shù)之和為7時，概率最大，且概率為：636=16.

點撥 事件A概率的計算，關(guān)鍵是準確計算樣本空間所含基本事件個數(shù)n與事件A中包含的結(jié)果數(shù)m，因此，必須解決好下面三個方面的問題：（1）本實驗是否等可能；（2）本實驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么，它包含多少個基本事件。另外，利用圖表來研究概率問題，可以省略繁瑣復雜的分析，清楚直觀，簡單明快。

【例2】 如圖，∠AOB=60°，OA=2，OB=5.

（1）在線段OB上任取一點C，試求△AOC為鈍角三角形的概率；

（2）過A點作一射線與直線BC交于M點，求△AOM為鈍角三角形的概率.

解 （1）如圖，由平面幾何知識：當AD⊥OB時，OD=1；當OA⊥AE時，OE=4，BE=1.當且僅當點C在線段OD或BE上時，△AOC為鈍角三角形，所以區(qū)域D為線段OD與線段EB，若記“△AOC為鈍角三角形”為事件A，則P（A）=OD+EBOB=25.

（2）過A點作一射線與直線BC相交，由（1）可知當射線落在∠DAE中時為銳角，所以區(qū)域D為過A點的平角，區(qū)域d為∠DAE.若記“△AOM為鈍角三角形”為事件B，則

P（B）=180°-60°180°=23.

點撥 認清題目的研究對象，幾何區(qū)域分別是什么。第（1）問研究對象是C點，所以幾何區(qū)域是線段；第（2）問研究對象是射線，所以幾何區(qū)域是角。

【例3】 在某超市的付款處排隊等候付款的人數(shù)及其概率如下

求：（1）至多有2個人排隊的概率；

（2）至少有2個人排隊的概率.

解 （1）設沒有人排隊為事件A，1個人排隊為事件B，2個人排隊為事件C，則P（A）=01，P（B）=016，P（C）=03，依題意知，事件A、B、C彼此互斥，所以至多有2個人排隊的概率為P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）

=01+016+03=056

（2）設至少有2個人排隊為事件D，則為至多1人排隊，即=A+B，

因此P（D）=1-P（）=1-P（A+B）

=1-P（A）-P（B）=074.

點撥 解決此類問題，首先應結(jié)合互斥事件與對立事件的定義分析出是不是互斥事件和對立事件，再決定使用哪一公式，不能亂套公式，導致出現(xiàn)錯誤，同時注意分類討論與等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

31. 如圖是電視臺舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為 .2. 已知集合A={-9，-7，-5，-3，-1，0，2，4，6，8}，在平面直角坐標系中，點M的坐標為（x，y），其中x∈A，y∈A，且x≠y，計算：

（1）點M不在x軸上的概率；

（2）點M在第二象限的概率.

3. 若x∈[-2，2]，y∈[-2，2]，則點（x，y）在圓面x2+y2≤2內(nèi)的概率是 .

4. 在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，若從中任取2個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是 .

5. 從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出60名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如圖，則估計這次環(huán)保知識競賽的及格率（60分及以上為及格）為.

（1）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；

（2）若a是從區(qū)間[0，3]內(nèi)任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]內(nèi)任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率.--！>

（作者：王進 江蘇省西亭高級中學）