論微分中值羅爾定理及其應用

摘要：羅爾定理在數(shù)學分析中也有著非常廣泛的應用. 本文通過羅爾定理在微分中值定理和數(shù)學分析中的作用和地位，來分析和研究羅爾定理的內容，幾何意義和應用. 通過對羅爾定理的推廣和應用，重點研究了用羅爾定理解決關于導函數(shù)零點存在性和證明微分中值公式的問題.

關鍵詞：羅爾定理； 柯西中值； 代數(shù)方程式1. 羅爾定理

羅爾是法國數(shù)學家。羅爾在數(shù)學上的成就主要是在代數(shù)方面，專長于丟番圖方程的研究。 羅爾于1691年在題為《任意次方程的一個解法的證明》的論文中指出了：在多項式方程 的兩個相鄰的實根之間，方程至少有一個根。在一百多年后，1846年尤斯托（Giusto Bellavitis）將這一定理推廣到可微函數(shù)，尤斯托還把此定理命名為羅爾定理。

羅爾定理如下：

如果函數(shù)f（x）滿足：

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

在開區(qū)間（a，b）內可導；

在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），

那么在（a，b）內至少有一點ξ（a<ξ

羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理是微分學的基本定理，是聯(lián)系閉區(qū)間上實函數(shù)與其導函數(shù)的橋梁與紐帶，具有非常重要的理論價值和使用價值. 一般來說，拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明都由羅爾定理給出. 所以，有必要對羅爾定理進行深入的探討與研究.

2. 羅爾定理的應用

2.1 羅爾定理在導函數(shù)中的應用

例1設函數(shù)f在[a，b]上二階可導，且f（a）=f（b）=0，f′（a）f′（b）>0，則存在ξ∈（a，b），使f″（ξ）=f（ξ）.

證明 不妨設

f′（a）>0，f′（b）>0，

則f（x）在x=a與x=b處單調遞增. 考慮到

f（a）=f（b）=0，

所以，x1，x2∈（a，b），使

f（x1）>0，f（x2）>0，

從而，c∈（a，b）使

f（c）=0.

令

g（x）=e-xf（x），

則

g（a）=g（c）=g（b）=0.

由羅爾定理知ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b），使得

g′（ξ1）=0=g′（ξ2），

即

e-ξ1f′（ξ1）-f（ξ1）=0=e-ξ2f′（ξ2）-f（ξ2），

亦即

f′（ξ1）-f（ξ1）=0=f′（ξ2）-f（ξ2）.

再令

φ（x）=exf′（x）-f（x），

則

φ（ξ1）=0=φ（ξ2）.

再用羅爾定理，則ξ∈（ξ1，ξ2）（a，b），使得

φ′（ξ）=0，

即

eξf″（ξ）-f（ξ）=0，

即

f″（ξ）=f（ξ）.

綜上，便得證.

2.2 用羅爾定理證明中值公式

要點：構造不同的輔助函數(shù)，應用羅爾定理可以導出不同的中值公式.

例2設f（x），g（x），h（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內可導. 試證： 必存在ξ∈（a，b），使得

f（a）g（a）h（a）

f（b）g（b）h（b）

f′（ξ）g′（ξ）h′（ξ）=0.

證明 作輔助函數(shù)

F（x）=f（a）g（a）h（a）

f（b）g（b）h（b）

f（x）g（x）h（x） ，

則F（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內可導，且

F（a）=F（b）=0.

應用羅爾定理可知，ξ∈（a，b），使得

F′（ξ）=0，

由行列式性質得，

F′（ξ）=0.

即結論成立.

注 （1） 令h（x）≡1，即可推出柯西中值定理.

（2）令g（x）≡x，h（x）≡1，即可推出拉格朗日中值定理.

證明如下：

（1） 令h（x）=1，則

F′（ξ）=f（a）g（a）1

f（b）g（b）1

f′（ξ）g′（ξ）0=0，

即

f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ξ）g′（ξ）.

此即得柯西中值定理.

（2） 令g（x）=x，h（x）=1，則可知，

F′（ξ）=f（a）a1

f（b）b1

f′（ξ）10，

即

f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

此即得拉格朗日中值定理.

3.結論

本文主要介紹羅爾定理、以及羅爾定理的推廣和在幾種不同情況下的應用。 并通過分析法、反證法、構造輔助函數(shù)法等方法對羅爾定理的正確性、導函數(shù)中零點的存在性、羅爾定理在不同區(qū)間（有限和無限）下的應用以及它在導函數(shù)中的應用等問題進行了驗證。本文根據這一定理的條件和結論，提出了一系列擴展思路、獨立思考、試探解決的問題，達到了培養(yǎng)能力，牢固掌握基本理論的目的。（作者單位：周口師范學院）

參考文獻：

[1]包禮文. 數(shù)學分析中的典型問題與方法[M]. 高等教育出版社，2008.

[2]李玉璉，數(shù)學分析講義[M]. 高等教育出版社，2000.

[3]孫清華，數(shù)學分析內容方法與技巧[M]. 華中科技大學出版社，2010.

[4]王承國，數(shù)學分析學習指導[M]. 科學出版社，2010.