粒子穿過(guò)矩形復(fù)數(shù)勢(shì)阱的相時(shí)的研究

摘 要:由方程的性質(zhì)和邊界條件求解薛定諤方程，計(jì)算出粒子穿過(guò)矩形復(fù)數(shù)勢(shì)阱的相時(shí)，發(fā)現(xiàn)相時(shí)的大小與勢(shì)阱本身的性質(zhì)(勢(shì)阱寬度、勢(shì)阱的虛部和實(shí)部)有關(guān)，還與入射粒子的能量有關(guān)。然后分析系統(tǒng)中的相關(guān)因素對(duì)相時(shí)的影響。發(fā)現(xiàn)負(fù)延遲現(xiàn)象和“Hartman effect”也在矩形復(fù)數(shù)勢(shì)阱的隧穿中存在。

關(guān)鍵詞:量子隧穿 矩形復(fù)數(shù)勢(shì) 相時(shí)

中圖分類(lèi)號(hào):O431.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098X(2012)03(a)-0013-02

隧穿時(shí)間作為一研究課題，從提出到現(xiàn)在已有80多年的歷史了，但至今仍沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的定論，無(wú)論是從理論研究還是實(shí)際的應(yīng)用都取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展和前所未有的收獲，并且出現(xiàn)了許多研究隧穿時(shí)間的方法，例如有隧穿駐留時(shí)間、拉莫時(shí)間、復(fù)時(shí)間、相時(shí)等等。在量子理論中時(shí)間僅僅作為參數(shù)，而非作為可觀測(cè)量出現(xiàn)。也就是說(shuō)，作為量子機(jī)制的時(shí)間算符是不存在的，沒(méi)有直接的方法計(jì)算遂穿時(shí)間。因此一系列的方法被提出，用以解決這個(gè)問(wèn)題。本文主要研究粒子在勢(shì)阱中的相時(shí)問(wèn)題，相時(shí)或群延遲，與經(jīng)典物理中波動(dòng)力學(xué)的群延遲概念相仿，在量子力學(xué)機(jī)制中粒子運(yùn)動(dòng)可以用幾率波或波包描述，而相時(shí)就是幾率波的相移對(duì)能量或波數(shù)求導(dǎo)得到的。近年來(lái)，隨著半導(dǎo)體制造技術(shù)的發(fā)展，又引起人們極大的研究興趣。隧穿中粒子的幾率往往是不守恒的，需引進(jìn)復(fù)數(shù)勢(shì)阱來(lái)研究粒子的隧穿問(wèn)題。關(guān)于復(fù)數(shù)勢(shì)阱的隧穿時(shí)間，F(xiàn)abio Raciti和Giovanni Salesi曾為研究在吸收現(xiàn)象中的隧穿時(shí)間和Hartman-Fletcher效應(yīng)，而引進(jìn)矩形復(fù)數(shù)勢(shì)阱，但他們并沒(méi)有深入研究影響相時(shí)的因素對(duì)其作用。鑒于前人的工作，本論文首先計(jì)算出矩形復(fù)數(shù)勢(shì)阱的相時(shí)，然后用Matlab和Origin數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行可視化數(shù)值分析，使研究?jī)?nèi)容更加直觀清晰。

1 相時(shí)的計(jì)算

假設(shè)具有一定能量的一束粒子沿x軸正方向射向如下的矩形勢(shì)阱，

(1)

和均是大于0的實(shí)數(shù)。不同的入射能量對(duì)應(yīng)不同的解，分兩種情況進(jìn)行討論。

1.1 入射能量大于勢(shì)阱的能量()

系統(tǒng)的薛定諤方程的解的波函數(shù)可設(shè)為:

(2)

其中;，且實(shí)部和虛部分別為:

由波函數(shù)的性質(zhì)和邊界條件可解得為:

(3)

其中，，若令，為粒子穿過(guò)矩形復(fù)數(shù)勢(shì)阱的相位移。

(4)

根據(jù)相時(shí)的定義，可求得粒子穿過(guò)矩形復(fù)數(shù)勢(shì)阱的相時(shí)為:

(5)

1.2 入射能量小于勢(shì)阱的能量()

同理可求得粒子穿過(guò)矩形復(fù)數(shù)勢(shì)阱的相時(shí)與(5)式相同，但此時(shí)的待定系數(shù)D為:

(6)

從計(jì)算結(jié)果(5)、(6)可知，相時(shí)與粒子的入射能量、勢(shì)阱的寬度、勢(shì)阱的實(shí)部和虛部都有關(guān)。我們分情況討論每個(gè)因素對(duì)相時(shí)的影響。

2 數(shù)值分析

相時(shí)與入射粒子的能量和勢(shì)阱寬度的關(guān)系如圖1-3，數(shù)值分析可知當(dāng)勢(shì)阱去相同寬度是，圖1和圖2的曲線銜接的非常好，所以我們得到圖3，當(dāng)實(shí)部和虛部均為定值，隨著入射能量的增加相時(shí)的取值在能量較小的情況下區(qū)分比較明顯且負(fù)延遲現(xiàn)象也明顯，即所謂的超光速現(xiàn)象。隨著入射能量的增加相時(shí)會(huì)先增大后減小，最后趨于0。在a增大到一定程度時(shí)，相時(shí)不再變化，即所謂的“Hartman effect”。

相時(shí)與入射粒子的能量和勢(shì)阱實(shí)部的關(guān)系見(jiàn)圖4。在能量的區(qū)域內(nèi)，無(wú)論實(shí)部取何值，在入射能量較小的情況下，總會(huì)有負(fù)延遲的現(xiàn)象;而且隨著實(shí)部的增大，即粒子在勢(shì)阱中的散射越明顯，負(fù)延遲越顯著。粒子從負(fù)延遲到正常的隧穿所需要的能量也就越大。每一條曲線都有一個(gè)最大值，這個(gè)最大值隨著實(shí)部的增大而增大。因?yàn)楫?dāng)勢(shì)阱的實(shí)部增大時(shí)相當(dāng)于粒子在勢(shì)阱中的散射越明顯，在能量較小時(shí)，投射現(xiàn)象較強(qiáng)，而在能量較大時(shí)，反射現(xiàn)象較強(qiáng)，所以它所需要粒子入射能量和相時(shí)都會(huì)隨著增大。由最大值而衰減為零，是因?yàn)楫?dāng)能量達(dá)到一定程度時(shí)，相應(yīng)的隧穿時(shí)間定會(huì)減小。

相時(shí)與入射粒子的能量和勢(shì)阱虛部的關(guān)系如圖5，隨著入射能量的增大，相時(shí)先增大后減小，且當(dāng)粒子的入射能量較小時(shí)，總會(huì)出現(xiàn)非常明顯的負(fù)延遲現(xiàn)象。同時(shí)還可以看出當(dāng)勢(shì)阱的虛部較大時(shí)，即粒子在勢(shì)阱中的吸收越強(qiáng)烈，這種負(fù)延遲現(xiàn)象越顯著。而且當(dāng)虛部較小時(shí)，相時(shí)有一個(gè)先增大后減小的趨勢(shì)，最后總體達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值。也就是說(shuō)隨著入射能量的增加，不論虛部取何值相時(shí)最終達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的值。

考慮兩種比較特殊的情況:(1)令勢(shì)阱的實(shí)部為0見(jiàn)圖6。當(dāng)只有虛部時(shí)，即粒子在穿過(guò)復(fù)數(shù)勢(shì)阱時(shí)只發(fā)生吸收現(xiàn)象，且此時(shí)能量的取值大于0的區(qū)域，是沒(méi)有限制的。則相時(shí)隨著入射能量()的增加先增大后減小且最終趨于一個(gè)穩(wěn)定值0。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子的入射能量較小時(shí)，對(duì)應(yīng)的相時(shí)是負(fù)數(shù)，即負(fù)延遲現(xiàn)象。對(duì)于入射能量的情況是沒(méi)有意義的。(2)當(dāng)勢(shì)阱虛部為0時(shí)，相時(shí)與入射能量的關(guān)系見(jiàn)圖7。相時(shí)隨著能量的增大，先出現(xiàn)負(fù)延遲現(xiàn)象，然后出現(xiàn)增大達(dá)到最值后有一個(gè)跌宕衰減的趨勢(shì)，最后相時(shí)將變成一個(gè)常數(shù)，最后趨于0。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)一系列的作圖分析，我們發(fā)現(xiàn)在能量所有取值范圍內(nèi)，矩形復(fù)數(shù)勢(shì)阱的相時(shí)都會(huì)隨著入射能量的增加出現(xiàn)一種先增大后減小最后趨于0的變化趨勢(shì)，且當(dāng)粒子的入射能量較小時(shí)，總會(huì)出現(xiàn)負(fù)延遲的現(xiàn)象。另外，隨著勢(shì)阱寬度的增加，將出現(xiàn) \"Hartman effect\"。經(jīng)研究我們還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)勢(shì)阱的實(shí)部增大時(shí)，即粒子在勢(shì)阱中的散射越明顯，負(fù)延遲越顯著。而當(dāng)勢(shì)阱的虛部較大時(shí)，即粒子在勢(shì)阱中的吸收現(xiàn)象越明顯，這種負(fù)延遲現(xiàn)象也越顯著。當(dāng)虛部較小時(shí)，相時(shí)有一個(gè)先增大后減小的趨勢(shì)，最后總體達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值。

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①作者簡(jiǎn)介:曲曉英(1980-)，女，講師，主要從事量子系統(tǒng)的介觀輸運(yùn)方面的方面的研究。