尋找最優(yōu)的解題方法

　　數(shù)學(xué)是思維的“體操”，問題是數(shù)學(xué)的“心臟”，解題則是提高數(shù)學(xué)水平的重要途徑.學(xué)生正是通過一個(gè)一個(gè)的解題，使思維能力得到一步一步的提高.在解題過程中，若能追求解題的最優(yōu)化，則一方面可以提高思維的深刻性，另一方面也給學(xué)生以美的熏陶，讓學(xué)生深切感受到數(shù)學(xué)的奇妙，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，激發(fā)學(xué)生更加喜愛數(shù)學(xué)，激勵(lì)更多的人從事數(shù)學(xué)研究.下面僅以函數(shù)、不等式、數(shù)列等方面的內(nèi)容加以說明.
　　一、 變換思維角度
　　不少問題按一般思維方法，往往會(huì)束手無策或者是計(jì)算量偏大，但如果我們運(yùn)用“正難則反”、逆向思維等手段改變思維角度，則往往能起到“柳暗花明”之功效.
　　例1：等差數(shù)列{a}中，d=，a=，S=-，求a及n.
　　[分析]通常可以列出關(guān)于a、n的方程組解決，相對(duì)稍繁.但如果變換一種角度，進(jìn)行逆向考慮，把a(bǔ)看作第一項(xiàng)，則a為最后一項(xiàng)，公差為-，就簡單多了.
　　事實(shí)上，-=n×+×（-）？圯n=10，則a=-3.
　　例2：若ΔABC的三邊a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：∠B<.
　　[分析]由題意=+，要證∠B<，一般考慮用余弦定理或正弦定理，比較麻煩.這里我們可以換一種方法考慮，即用反證法.事實(shí)上，假設(shè)∠B≥，則b邊最大，b>a，b>c，>，>，∴+>，即得矛盾.真是令人大開眼界.正如牛頓所說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”
　　例3：已知=（，），=（，），求+與-2（-）的夾角.
　　[分析]一般思路：易知
　　||=||=1，·=0，cosθ==-，
　　而+=（，），-=（，）計(jì)算量偏大.
　　如果改進(jìn)計(jì)算方法，則可簡化計(jì)算：
　　|+|===2，同樣|-|=2，則cosθ=-，又0°≤θ≤180°，∴θ=120°.
　　思考：如果從圖形上考慮，則可顯而易見：注意到||=||=，||=||=1，以，為邊作出的平行四邊形為矩形，∠OAB=30°，易知所求角為∠BOC=120°.
　　啟發(fā)：向量問題有時(shí)根據(jù)具體情況可利用幾何意義，如平行四邊形法則、三角形法則、共線、長度、平面幾何結(jié)論，從圖形入手，往往可起到化繁為簡的作用.
　　二、變更問題方式
　　如果一個(gè)問題難于解決，我們就可以將其轉(zhuǎn)化為它的等價(jià)命題，或者利用反演原則轉(zhuǎn)化為其他領(lǐng)域問題，必要時(shí)甚至可以強(qiáng)化結(jié)論，從而較好地解決問題.
　　例4：已知函數(shù)f（x）=（1+）-2（x≥-2），求方程f（x）=f（x）的解集.
　　[分析]按常規(guī)思維，須求出f（x），一步一步去解.如果我們將問題變更為：等價(jià)于解方程f（x）=x，則易得x=±2.
　　例5：已知函數(shù)f（x）=-，（1）證明f（x）存在反函數(shù)并求出其反函數(shù)；（2）證明f（x）的反函數(shù)圖像與直線y=x無交點(diǎn).
　　[分析]（1）即證a≠b時(shí)f（a）≠f（b），正面直接證明較困難.若改為證它的逆否命題：若f（a）=f（b）則a=b，則不太困難.事實(shí)上，令f（a）=f（b），即-=-，變形得（-）（1+）=0？圯==a=b，不難求得f（x）=（x+）.
　?。?）若直接由f（x）與y=x聯(lián)列方程組，則計(jì)算量較大.這里若注意到一個(gè)函數(shù)與其反函數(shù)圖像之間的關(guān)系，只需證明原函數(shù)f（x）與直線y=x無交點(diǎn)即可.
　　f（x）=-y=x？圯x（1-）=1，當(dāng)0　　當(dāng)x≥1時(shí)，x（1-）≤0，得x（1-）=1，均無解，則方程組無解.
　　三、一般、特殊靈活用
　　特殊與一般是辯證統(tǒng)一關(guān)系，特殊蘊(yùn)含于一般之中，一般包含特殊.我們可以從特殊入手，從簡單做起，尋找一般的規(guī)律，或者是否定一般性；也可以從一般性入手，反過來解決特殊性問題.
　　例6：（1）已知數(shù)列{c}中，c=2+3，數(shù)列{c-pc}為等比數(shù)列，求常數(shù)p；
　?。?）設(shè){a}、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，c=a+b，證明{c}不是等比數(shù)列.
　　[分析]（1）一般做法是利用任一項(xiàng)是前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)（第二項(xiàng)起），建立恒等關(guān)系，再化簡，但化簡的計(jì)算量偏大，一般學(xué)生難以完成.但如果靈活運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系，首先前三項(xiàng)必須成等比，即可求出p.然后驗(yàn)證，即利用必要條件解題.事實(shí)上，前三項(xiàng)為13-5p，35-13p，97-35p，則（35-13p）=（13-5p）（97-35p），得p=2或p=3，容易驗(yàn)證適合，計(jì)算量明顯減小.
　?。?）仿（1）同樣只需考慮前三項(xiàng)c=a+b，c=ap+bq，c=ap+bq（記公比分別為p、q），易證得c≠cc，否則不難推出（p-q）=0？圯p=q，從而矛盾.故前三項(xiàng)不能成等比，因而{c}不是等比數(shù)列.
　　例7：已知函數(shù)f（x）=，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）= .
　　[分析]用死算的方法當(dāng)然能求，但比較耗時(shí).我們將其一般化：考慮到f（x）+f（）=1，則易得原式=f（1）+3=
　　再如：已知函數(shù)f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù)，又知f（2003）=-1，求f（2004）.只要將其一般化，研究f（x）與f（x+1）的關(guān)系即可.
　　四、用好數(shù)學(xué)思想方法
　　數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，用好數(shù)學(xué)思想方法則能更有效地指導(dǎo)解題，提高解題有效性，做到高瞻遠(yuǎn)矚.
　　例8：等差數(shù)列{a}中，a=13，S=S，問前多少項(xiàng)和最大？
　　[分析]此題一般方法當(dāng)然能解，但若能從函數(shù)觀點(diǎn)尤其從圖像角度出發(fā)，則會(huì)異常簡單.
　　S=na+d=An+Bn，A=<0（∵S=S），從二次函數(shù)圖像知，顯然S最大（見圖1）
　　例9：當(dāng)1b.
　　[分析]此題雖然敘述簡單，但一般方法并不太好著手.兩邊取對(duì)數(shù)試試看：
　　即證（b-1）lga>（a-1）lgb，即證>（*）
　　這自然聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合，即比較斜率大小.考察函數(shù)y=lgx，A（1，0）、B（a，lga）、C（b，lgb），B、C兩點(diǎn)在圖像上，∵b>a>1，由圖像知k>k，即（*）成立，原不等式得證.（見圖2）
　　例10：若|a|<1，|b|<1，則|a+b|+|a-b|<2.
　　[分析]運(yùn)用分類討論，則有意想不到的效果.
　　若（a+b）（a-b）≥0，則|a+b|+|a-b|=|（a+b）+（a-b）|=2|a|<2
　　若（a+b）（a-b）<0，則|a+b|+|a-b|=|（a+b）-（a-b）|=2|b|<2
　　證畢.
　　例11：拋物線x=8y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（-2，4），P為拋物線上的一點(diǎn)，求P點(diǎn)坐標(biāo)，使得|PM|+|PF|最小.
　　若以常規(guī)設(shè)法，設(shè)P（x，y）為拋物線上的一點(diǎn)，則|MP|+|PF|=.顯然，這與簡單性是背道而馳的，可以說此路繁瑣之極.
　　考慮到數(shù)形結(jié)合，由定義可知，|MP|+|PF|=|PM|+P到準(zhǔn)線的距離，如圖3，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為p（-2，）.這個(gè)解法巧妙，簡捷，合理，優(yōu)美.
　　又如：求cos+cosπ+cosπ的值.
　　解：按常規(guī)的方法是用三角變換，乘以后積化和差，逐步變換得結(jié)果，另外，還可以用二項(xiàng)方程x-1=0的復(fù)數(shù)根的實(shí)部之和為零來解，最佳的方法是化為cos-cosπ+cosπ，作等腰三角形ABC（如圖4），使∠A=，AB=AC=1，BC=x，在∠ABC內(nèi)作∠DBC=π，則AD=BD=1-x，BC=CD=x，cos=，cosπ=，cosπ=，又對(duì)△BCD用余弦定理，則易得結(jié)果