私募股權(quán)基金業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)的信度函數(shù)模型

　　【摘 要】 文章應(yīng)用Dempster和Shafer提出的證據(jù)理論，研究了私募股權(quán)基金的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)問(wèn)題，得到了私募股權(quán)基金業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)的信度函數(shù)模型。首先討論了私募股權(quán)基金業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)的確立，進(jìn)而討論了在業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)體系確立以后，如何針對(duì)這些指標(biāo)（包括定性指標(biāo)和定量指標(biāo)）通過(guò)打分或者其他適當(dāng)?shù)姆椒?，將每?xiàng)指標(biāo)的評(píng)價(jià)定量化；之后，再根據(jù)信度函數(shù)的理論將這些評(píng)價(jià)綜合，得到衡量業(yè)績(jī)的一個(gè)綜合指標(biāo)。該綜合指標(biāo)可以用于基金排名，可以幫助投資經(jīng)理選擇基金，也可以幫助基金管理人了解自己的情況，還可以為政府或行業(yè)協(xié)會(huì)了解基金提供依據(jù)。
　　【關(guān)鍵詞】 私募股權(quán)基金； 業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)； Dempster-Shafer證據(jù)理論； 信度函數(shù)模型
　　
　　一、引言
　　私募股權(quán)基金的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)是PE行業(yè)一個(gè)非常重要而又非常棘手的問(wèn)題。
　　我們知道，私募股權(quán)投資在當(dāng)今世界經(jīng)濟(jì)中占有非常重要的地位。據(jù)統(tǒng)計(jì)，2006年全球私募股權(quán)籌資總額達(dá)到4 320億美元。2008年全球私募股權(quán)基金管理的資產(chǎn)規(guī)模已達(dá)到10 000億美元①。
　　近年來(lái)，中國(guó)的私募股權(quán)投資取得了巨大發(fā)展?？梢哉f(shuō)，中國(guó)已成為亞洲最為活躍的私募股權(quán)投資市場(chǎng)。2008年，中國(guó)的私募股權(quán)投資案例607個(gè)，投資金額42.1億美元。2009年，由于金融危機(jī)的影響，投資規(guī)模略有下降，投資案例數(shù)下降為477個(gè)，投資金額27.01億美元②。2010年，中國(guó)私募股權(quán)市場(chǎng)迎來(lái)了強(qiáng)勁反彈，全年共發(fā)生投資案例數(shù)1 179起，投資金額252.81億美元③。
　　因此，現(xiàn)在世界上很多大的機(jī)構(gòu)投資者都想涉足這個(gè)投資領(lǐng)域，都想在他們的投資組合中加入私募股權(quán)投資?，F(xiàn)在從事私募股權(quán)投資的公司數(shù)不勝數(shù)。即使是在中國(guó)PE基金也是越來(lái)越多，如何在如此眾多的PE基金中選出“好”基金用于投資，確實(shí)不是一件容易的事。
　　選擇“好”的基金，當(dāng)然需要了解什么是“好”基金，用什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量一支基金是“好”還是“壞”，即首先要解決基金如何評(píng)價(jià)的問(wèn)題。
　　
　　二、私募股權(quán)基金的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)
　　私募股權(quán)基金的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)在國(guó)外有較多的討論，也有文獻(xiàn)介紹了常用的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)和方法。
　　Thomas Meyer & Pierre-Yves（2005，2007）討論了私募股權(quán)基金收益的J曲線(xiàn)現(xiàn)象而且定義了多個(gè)衡量業(yè)績(jī)的定量指標(biāo)（如內(nèi)部收益率IRR、回報(bào)倍數(shù)等）和多個(gè)定性指標(biāo)（如管理團(tuán)隊(duì)的技能、管理團(tuán)隊(duì)的穩(wěn)定性、管理團(tuán)隊(duì)的動(dòng)機(jī)等）。Ljungqvist & Richardson（2003）定義了另一個(gè)業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)獲利指數(shù)PI。PI=投資者所獲得的現(xiàn)金流的現(xiàn)值/投資者所投資的資本現(xiàn)值。計(jì)算現(xiàn)值所用的貼現(xiàn)率的選擇有不同的標(biāo)準(zhǔn)。有人統(tǒng)一選擇某一個(gè)利率作為分子和分母的貼現(xiàn)率，如標(biāo)準(zhǔn)普爾500的市場(chǎng)收益率；也有人針對(duì)分子分母選擇不同的利率，如選擇資本成本率（市場(chǎng)期望收益率）作為分母的貼現(xiàn)率，選擇無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（國(guó)債利率）作為分子的貼現(xiàn)率。Kaplan and Schoar（2003）應(yīng)用PME作為一項(xiàng)衡量私募股權(quán)投資基金收益水平的新工具。按照他們的定義和解釋?zhuān)琍ME是所有現(xiàn)金流出與現(xiàn)金流入的貼現(xiàn)值之比。此處貼現(xiàn)率選自某個(gè)基準(zhǔn)市場(chǎng)的同期收益率。因此，若PME＞1，則說(shuō)明私募股權(quán)投資基金的業(yè)績(jī)是優(yōu)于所選的基準(zhǔn)市場(chǎng)的。
　　Mark Weisdorf（2005）（包括在Private Equity International（2005））討論了業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)存在的問(wèn)題，總結(jié)了業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)的一些指標(biāo)和方法。他認(rèn)為業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)必須采取定性和定量相結(jié)合的方法。對(duì)于短期評(píng)價(jià)應(yīng)主要采取定性的指標(biāo)進(jìn)行分析，而對(duì)于長(zhǎng)期評(píng)價(jià)則可以采用定量指標(biāo)為主的方法。
　　對(duì)于短期評(píng)價(jià)，他建議主要采用定性分析。他列舉了如下幾個(gè)方面：
　　·投資主體及戰(zhàn)略
　　·投資進(jìn)展
　　·投資成本
　　·被投資企業(yè)的經(jīng)營(yíng)情況和財(cái)務(wù)狀況
　　·為被投資企業(yè)提供的增值服務(wù)
　　·信息披露與投資者關(guān)系
　　·公司治理與激勵(lì)
　　·人事變動(dòng)
　　對(duì)于長(zhǎng)期評(píng)價(jià)，他建議主要采用定量分析并用內(nèi)部收益率IRR和資本回報(bào)倍數(shù)MOC作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。當(dāng)然，他也指出了建立業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)標(biāo)桿的困難和問(wèn)題。
　　本文借鑒前述文獻(xiàn)的研究成果，討論在業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)體系確立以后，如何針對(duì)這些指標(biāo)（包括定性指標(biāo)和定量指標(biāo)）通過(guò)打分的方法，將每項(xiàng)指標(biāo)的評(píng)價(jià)定量化；之后，再根據(jù)信度函數(shù)理論將這些評(píng)價(jià)綜合起來(lái)，得到衡量業(yè)績(jī)的一個(gè)綜合指標(biāo)。該綜合指標(biāo)可以用于基金排名，此排名比用單個(gè)指標(biāo)，比如IRR的排名更客觀、更綜合。另外，該指標(biāo)以及本文討論的方法對(duì)幫助機(jī)構(gòu)投資者選擇基金有很大的參考價(jià)值。在基金管理公司內(nèi)部，該指標(biāo)可作為基金經(jīng)理或者投資經(jīng)理業(yè)績(jī)考核的依據(jù)。最后，該指標(biāo)對(duì)政府或行業(yè)協(xié)會(huì)等監(jiān)管機(jī)構(gòu)了解基金也會(huì)有一定的幫助作用。
　　
　　三、信度函數(shù)簡(jiǎn)介
　　信度函數(shù)是證據(jù)理論或Dempster-Shafer理論中的重要概念。
　　證據(jù)理論是Dempster和Shafer于20世紀(jì)六七十年代創(chuàng)立的。文獻(xiàn)Shafer（1976）詳細(xì)討論了證據(jù)理論的基本概念和理論，提出了基本信度分配、信度函數(shù)的定義以及信度函數(shù)合成的Dempster法則。筆者（1996）將證據(jù)理論應(yīng)用于決策領(lǐng)域，提出了證據(jù)決策的概念并得到了應(yīng)用證據(jù)理論作決策的函數(shù)模型。
　　基本信度分配是一個(gè)滿(mǎn)足一定條件的識(shí)別框架上的函數(shù)。
　　設(shè)?專(zhuān)是識(shí)別框架。如果集函數(shù)m：2?專(zhuān)→［0，1］滿(mǎn)足：
　　（1）m（?準(zhǔn)）=0
　?。?）∑A∈?專(zhuān)m（A）=1
　　則稱(chēng)m為框架?專(zhuān)上的基本信度分配；?坌A∈?專(zhuān)，m（A）稱(chēng)為A的基本信度值。
　　信度函數(shù)是在基本信度分配的基礎(chǔ)上定義的。
　　設(shè)?專(zhuān)是識(shí)別框架。如果m是一個(gè)框架?專(zhuān)上的基本信度分配，則稱(chēng)滿(mǎn)足條件?坌A∈?專(zhuān)，Bel（A）=∑B∈Am（B）的函數(shù)Bel為框架?專(zhuān)上的信度函數(shù)。
　　設(shè)?專(zhuān)是識(shí)別框架。如果m是一個(gè)框架?專(zhuān)上的基本信度分配，則稱(chēng)滿(mǎn)足條件?坌A∈?專(zhuān)，Com（A）=∑A∈Bm（B）的函數(shù)Com為框架?專(zhuān)上的眾信度函數(shù)。
　　可以證明：信度函數(shù)與眾信度函數(shù)可以相互定義。
　　?坌A∈?專(zhuān)，Bel（A）=∑B∈A（-1）|B|Com（B）
　　?坌A∈?專(zhuān)，Com（A）=∑B∈A（-1）|B|Bel（B）
　　因此，信度函數(shù)與眾信度函數(shù)所承載的信息是相同的。
　　本文用眾信度函數(shù)作為評(píng)價(jià)的依據(jù)。
　　
　　四、私募股權(quán)基金業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)的信度函數(shù)模型
　?。ㄒ唬I(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)得分
　　前已述及，私募股權(quán)基金業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)可從多個(gè)方面進(jìn)行，既有定性分析又有定量分析。對(duì)于定量指標(biāo)，如內(nèi)部收益率r，可以假設(shè)內(nèi)部收益率的某種標(biāo)桿，比如說(shuō)，行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)為B。對(duì)于此指標(biāo)，可以通過(guò)如下方法得到基金在該項(xiàng)指標(biāo)上的得分p。
　　對(duì)于其他定量指標(biāo)，都可以依據(jù)此方法定義基金在該項(xiàng)指標(biāo)上的得分。
　　對(duì)于定性指標(biāo)，可以咨詢(xún)有關(guān)專(zhuān)家得到一個(gè)該項(xiàng)指標(biāo)的評(píng)分。打分原則是：專(zhuān)家可以根據(jù)基金的具體情況，打出一個(gè)具體分?jǐn)?shù)，比如說(shuō)，85；或者給出一個(gè)分值的范圍，比如說(shuō)，85~95，75以上，或者65以下等。
　　顯而易見(jiàn)，這種打分的方法更加符合人類(lèi)專(zhuān)家的習(xí)慣，更容易，更科學(xué)。不一定非要專(zhuān)家說(shuō)出一個(gè)具體值。因此，對(duì)專(zhuān)家而言，他們也愿意合作，認(rèn)真思考，從而給出較客觀的結(jié)論。
　　經(jīng)過(guò)定性指標(biāo)的打分和定量指標(biāo)的標(biāo)桿分析，得到了每一個(gè)指標(biāo)的一個(gè)分值。不過(guò)，這些分值與傳統(tǒng)打分分值不同，不是單一絕對(duì)值，而是一個(gè)一個(gè)的分值范圍。
　　
　　假設(shè)，為了評(píng)價(jià)一個(gè)基金的業(yè)績(jī)，選取了10個(gè)指標(biāo)，所得到的每項(xiàng)指標(biāo)的分值情況如下所示：
　　指標(biāo)1：75分以上，可表示為75≤x≤100，其中x為得分變量（下同）。
　　指標(biāo)2：85到95之間，可表示為85≤x≤95。
　　指標(biāo)3：76分，可表示為x=76，或者76≤x≤76。
　　指標(biāo)4：50分以下，可表示為0≤x≤50。
　　指標(biāo)5：90分以上，可表示為90≤x≤100。
　　指標(biāo)6：75到85之間，可表示為75≤x≤85。
　　指標(biāo)7：85分，可表示為85≤x≤85。
　　指標(biāo)8：不到90分，可表示為0≤x≤90。
　　指標(biāo)9：差不多85分（上下5分），可表示為80≤x≤90。
　　指標(biāo)10：88分，可表示為88≤x≤88。
　　由此，可以得到一個(gè)得分矩陣
　　A=75 10085 9576 76 0 5090 10075 8585 85 0 9080 9088 88
　?。ǘ?quán)重分配
　　接下來(lái)，可以為每個(gè)指標(biāo)分配一個(gè)權(quán)重，以表示指標(biāo)之間的相對(duì)重要性。有很多方法可以用于權(quán)重的設(shè)置。筆者（2011）曾經(jīng)應(yīng)用層次分析法討論了指標(biāo)權(quán)重的確立。以下假設(shè)已經(jīng)根據(jù)某種方法得到了例中10個(gè)指標(biāo)的權(quán)重：B=（a1，a2，…，a10），其中a1，a2，…，a10滿(mǎn)足
　　m（75≤x≤100）=a1
　　m（85≤x≤95）=a2
　　m（76≤x≤76）=a3
　　m（0≤x≤50）=a4
　　m（90≤x≤100）=a5
　　m（75≤x≤85）=a6
　　m（85≤x≤85）=a7
　　m（0≤x≤90）=a8
　　m（80≤x≤90）=a9
　　m（88≤x≤88）=a10
　　據(jù)此，可以計(jì)算框架?專(zhuān)上的每一個(gè)子集的眾信度。
　　如果計(jì)算框架?專(zhuān)上的所有子集的眾信度，不僅計(jì)算成指數(shù)增長(zhǎng)，而且對(duì)此特定問(wèn)題也沒(méi)有多大必要。為此，采取如下方法，只計(jì)算眾信度不為零的子集的眾信度值。
　　用MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)的程序如下：
　　function［MAX Com a b］=COMALLMAXADJ（A，W）
　　% COMALLMAX is used to find the interval with maximum commonality value.
　　% A is the interval matric of basic probability assignment
　　% W is the weight vector
　　% First output is the maximum commonality itself
　　% Second output is the combined score
　　% ［a，b］ is the minimum and maximum values with maximum commonality value
　　MAX=0；
　　for i=0：100
　　 for j=i：100
　　 C=COMCAL（A，W，i，j）；
　　 if C>=MAX
　　 MAX=C；
　　 end
　　 end
　　end
　　a=10000；
　　for i=0：100
　　 for j=i：100
　　 C=COMCAL（A，W，i，j）；
　　 if C==MAX
　　 if i==0
　　 a=0；
　　 else
　　 f（i，j）=i；
　　 g（i，j）=j；
　　 end
　　 end
　　 end
　　end
　　m=f（：）；
　　n=g（：）；
　　p=（m~=0）；
　　q=（n~=0）；
　　if a~=0
　　 a1=min（m（p~=0））；
　　 a2=min（n（q~=0））；
　　 a=min（a1，a2）；
　　end
　　b1=max（m）；b2=max（n）；
　　b=max（b1，b2）；
　　Com=（a+b）/2；
　?。ㄋ模┠Ｐ蜏y(cè)試
　　本系統(tǒng)綜合得分的計(jì)算用程序COMALLMAXADJ來(lái)完成。此程序的設(shè)計(jì)思想是：計(jì)算所有有關(guān)子集的眾信度并從中找出眾信度最大的子集作為決策結(jié)果。以下用具體例子來(lái)說(shuō)明：
　　1.測(cè)試?yán)?br/>　　假設(shè)得分矩陣A如下：
　　A=
　　 70 72
　　 72 73
　　 69 72
　　相應(yīng)的權(quán)重為w=
　　 0.2000 0.3000 0.5000
　　手工計(jì)算所有眾信度不為0的子集，結(jié)果為：
　　 69.0000 69.0000 0.5000
　　 69.0000 70.0000 0.5000
　　 69.0000 71.0000 0.5000
　　 69.0000 72.0000 0.5000
　　 70.0000 70.0000 0.7000
　　 70.0000 71.0000 0.7000
　　 70.0000 72.0000 0.7000
　　 71.0000 71.0000 0.7000
　　 71.0000 72.0000 0.7000
　　 72.0000 72.0000 1.0000
　　 72.0000 73.0000 0.3000
　　 73.0000 73.0000 0.3000
　　其中第三列為相應(yīng)的眾信度。從第三列中找出最大值為1，對(duì)應(yīng)的子集為{72}。因此，決策結(jié)果應(yīng)為72。
　　運(yùn)行程序COMALLMAXADJ，得到的結(jié)果也是72，因此，此例通過(guò)了測(cè)試，見(jiàn)下面的運(yùn)行結(jié)果。
　　>>［max com a b］=COMALLMAX（A，w）
　　
　　max=
　　 1
　　com=
　　 72
　　a=
　　 72
　　b=
　　 72
　　2.測(cè)試?yán)?br/>　　假設(shè)得分矩陣B和權(quán)重W如下：
　　B=
　　 70 71
　　 72 73
　　 69 72
　　W=
　　 0.2500 0.2500 0.5000
　　手工計(jì)算所有眾信度不為0的子集，結(jié)果為：
　　 69.0000 69.0000 0.5000
　　 69.0000 70.0000 0.5000
　　 69.0000 71.0000 0.5000
　　 69.0000 72.0000 0.5000
　　 70.0000 70.0000 0.7500
　　 70.0000 71.0000 0.7500
　　 70.0000 72.0000 0.5000
　　 71.0000 71.0000 0.7500
　　 71.0000 72.0000 0.5000
　　 72.0000 72.0000 0.7500
　　 72.0000 73.0000 0.2500
　　 73.0000 73.0000 0.2500
　　從第三列可以看出子集{70}，{70，71}，{71}，{72}的眾信度全為0.75。在這種情況下，決策集應(yīng)該如何選取呢？
　　運(yùn)行程序COMALLMAXADJ，得到如下結(jié)果：
　　>> ［max com a b］=COMALLMAXADJ（B，W）
　　
　　max=
　　 0.7500
　　com=
　　 71
　　a=
　　 70
　　b=
　　 72
　　可見(jiàn)，此程序找到了眾信度最大子集的并集的上、下限70和72，然后程序求其上、下限的平均值作為最后的決策結(jié)果。
　　
　　根據(jù)Dempster-Shafer證據(jù)理論，絕大多數(shù)情況下，眾信度最大的子集應(yīng)為單點(diǎn)集。因此，程序COMALLMAXADJ的運(yùn)行結(jié)果多數(shù)情況下是唯一的。第二個(gè)例子的情況并不多見(jiàn)。在這種情況下，求上下限的平價(jià)值作為決策結(jié)果是一種折中的辦法。
　　3.測(cè)試?yán)?br/>　　對(duì)于前文提到的得分矩陣A，在假設(shè)所有10個(gè)指標(biāo)權(quán)重全部相等的情況下運(yùn)行程序COMALLMAXADJ得到了如下結(jié)果：
　　此基金的綜合評(píng)價(jià)得分為85分。
　　
　　五、結(jié)論
　　本文探討了私募股權(quán)基金或者基金管理公司業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)的定量模型。應(yīng)用該模型可以將對(duì)基金的定性評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化為定量評(píng)價(jià)，而且可以將對(duì)基金的多方面評(píng)價(jià)綜合起來(lái)，得到衡量基金業(yè)績(jī)的一個(gè)綜合指標(biāo)。該指標(biāo)可以用于基金排名，此排名比用單個(gè)指標(biāo)，比如IRR的排名更客觀、更綜合。另外，該指標(biāo)以及本文討論的方法對(duì)幫助機(jī)構(gòu)投資者選擇基金有很大的參考價(jià)值。在基金管理公司內(nèi)部，該指標(biāo)可作為基金經(jīng)理或者投資經(jīng)理業(yè)績(jī)考核的依據(jù)。最后，該指標(biāo)對(duì)政府或行業(yè)協(xié)會(huì)等監(jiān)管機(jī)構(gòu)了解基金也會(huì)有一定的幫助作用。
　　
　　【參考文獻(xiàn)】
　?。?］ 段新生.證據(jù)理論［M］.經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，1996.
　?。?］ Duan Xinsheng.Weight the Indices to Measure Performance of PE Fund with the AHP Model，Proceedings of 2011 International Conference on Applied Social Science，2011.
　?。?］ Alexander Ljungqvist and Matthew Richardson，The Cash Flow，Return and Risk Characteristics of Private Equity［J］.NYU，F(xiàn)inance Working Paper No. 03-001，2003.
　?。?］ Thomas Meyer & Pierre-Yves Mathonet，Beyond the J-curve：Managing a Portfolio of Venture Capital and Private Equity Funds［M］.John Wiley &Sons，Ltd.，2005.
　?。?］ Shafer，G.，A Mathematical Theory of Evidence［M］.Princeton University Press，Princeton，NJ，1976.
　?。?］ Private Equity International，The Guide to Private Equity Fund Investment Due Diligence［M］.Research Guide，2005.
　　［7］ Pierre-Yves Mathonet & Thomas Meyer，J-curve Exposure：Managing a Portfolio of Venture Capital and Private Equity Funds ［M］.John Wiley &Sons，Ltd.，2007.
　?。?］ Steven Kaplan and Antoinette Schoar. Private Equity Performance：Returns，Persistence and Capital Flows，MIT Sloan Working Paper No. 4446-03，November，2003.