基于Matlab的小波去噪算法研究

齊 敏，黃世震

(福州大學(xué)福建省微電子集成電路重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州350002)

信號去噪［1-2］是信號分析中的一個重要組成部分。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具是短時傅里葉變換，是建立在傳統(tǒng)傅里葉變換上的濾波方法，這種方法在提高信噪比和提高空間分辨率這兩項(xiàng)信號分析的指標(biāo)上存在矛盾。而小波分析［3-12］在時頻分辨率特征、多分辨率分析、小波包、突變信號檢測、快速小波分析等方面有獨(dú)特的表現(xiàn)。

1 小波變換的定義及性質(zhì)

1.1 小波變換的定義

小波分析就是將原始信號展開成一族小波基函數(shù)的加權(quán)和，這族基函數(shù)由一個由帶通函數(shù)經(jīng)過平移和變化比例得到。

在連續(xù)的情況下，小波函數(shù)的定義為:

其中Ψ(t)稱為基小波，j為伸縮因子，k為平移因子。Ψa，b(t)為基小波有平移、縮放構(gòu)成的小波信號。

因此，對于連續(xù)信號f(t)的連續(xù)小波變換公式為:

其反變換的定義為:

在離散的情況下，小波函數(shù)的定義為:

設(shè)函數(shù) φj，k(k)∈L2(IR)，對于任意一個平方和積函數(shù)f∈L2(IR)，其二進(jìn)制小波變換定義成函數(shù)序列{W2jf(k)}k∈Z}，其中

小波變換系數(shù)W2j(k)給出了f(x)的尺度2j在位置k住的逼近。其反變換的定義為:

1.2 多分辨率分析與Mallat算法

在實(shí)際應(yīng)用中，為了提高小波變換的計算速度，經(jīng)常采用的方法是基于多分辨率分析的Mallat快速算法。多分辨率分析的實(shí)質(zhì)是將信號分解到一系列不同頻率的空間上，信號在不同的尺度上的多分辨分析，可以顯示信號不同頻率的特征。每次分解都將信號分解成低頻和高頻兩個部分。對低頻部分再進(jìn)行分解，得到更高尺度上的低頻和高頻部分。分解的尺度越高，分解得到信號的頻率就越低。以信號的3層分解為例，如圖1所示。由此得到信號S=ca3+cd3+cd2+cd1?？梢钥吹?，多分辨分析的實(shí)質(zhì)就是對低頻空間做進(jìn)一步分解，最終讓頻率的分辨率越來越高。

圖1 信號的三層小波分解示意圖

Mallat算法的小波分解公式為:

其中，n=0，1，2，…，N-1，N為輸入序列的長度，cmj是分解得到的低頻分量，是分解得到的高頻分量;j表示第j級小波分解，j=0，1，2，…，M，其中必須滿足2M＜N。特別，當(dāng)j=0時，cn0表示的就是輸入序列fn;m為每次小波分解后低頻與高頻分量的長度，m、n伴隨小波分解級數(shù)j的增加逐漸減小;hn-2m為多分辨率分析的尺度系數(shù)，gn-2m為多分辨分析的小波系數(shù)。

由式(7)、式(8)可得，輸入的離散序列cn0與固定系數(shù)hn-2m和gn-2m進(jìn)行m次乘積累加之后得到的是第1級分解的低頻分量cm1和高頻分量dm1，然后cm1作為第2級分解的輸入序列，經(jīng)過分解后得到cm2和，依此類推得到第M級分解后的cmM和dmM。小波重構(gòu)與小波分解在過程上正好是相反的。

2 基于閾值的小波去噪

由于在實(shí)際的工程應(yīng)用中，有用信號通常為低頻信號。噪聲信號通常為高頻信號。所以信號經(jīng)過小波分解之后，噪聲信號基本包含在 cd1、cd2、cd3中。因此，通過多分辨率分析得到的高頻率的小波系數(shù)，經(jīng)過門限閾值等新式進(jìn)行相應(yīng)處理，再重新構(gòu)造出輸入序列，就可以實(shí)現(xiàn)信號去噪的效果。

一般而言，一維信號的小波去噪可通過以下3個步驟實(shí)現(xiàn)。

(1)將一維信號進(jìn)行小波分解 選擇合適的小波分解層次N，對輸入信號s(i)進(jìn)行N層的小波分解;

(2)小波分解的高頻系數(shù)閾值量化 選擇一個適當(dāng)?shù)拈撝祵Φ?層至第N層的小波高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理;

(3)一維小波重構(gòu) 由得到第N層的低頻小波系數(shù)與量化之后的第1層至第N層高頻小波系數(shù)經(jīng)過小波重構(gòu)后得到去噪后的一維信號。

上述3個步驟中，直接對信號去噪有重大影響的，就是閾值的選擇以及如何進(jìn)行閾值的量化兩個方面。

2.1 傳統(tǒng)的閾值量化方法

傳統(tǒng)的閾值處理方法通常有兩種:

硬閾值法:

軟閾值法:

其中，ωj，k為小波系數(shù)，為量化后的小波系數(shù)，λ為閾值，一般的。圖2和圖3分別表示硬閾值方法和軟閾值方法。兩種方法在實(shí)際中雖然都得到較多的應(yīng)用，同時也取得了較好的去噪效果，但是依然存在許多問題。例如，在硬閾值法中，在λ處不是連續(xù)的，所以在信號重構(gòu)過程中可能使重構(gòu)信號產(chǎn)生振蕩;在軟閾值法中，雖然量化得到具有較好的連續(xù)性，但當(dāng)||＞λ時，與ωj，k存在一個恒定的偏差，這也使得重構(gòu)信號與真實(shí)信號的近似性有一定的影響。所以，就需要有一種新的閾值處理方法，既可以改正上述兩種方法的不足之處，又可以進(jìn)一步提高信號的去噪效果。

圖2 硬閾值法

圖3 軟閾值法

2.2 改進(jìn)的閾值去噪方法

要達(dá)到改進(jìn)上述兩種閾值方法，只需要在閾值函數(shù)中引入一個參數(shù)α即可:

上式即稱為軟硬閾值折衷法的閾值函數(shù)。特別當(dāng)α分別取0和1時，上述方法即分別變換成為硬閾值方法和軟閾值方法。所以，當(dāng)取0＜α＜1時，由該方法量化得到的的數(shù)值介于硬、軟兩種方法之間。此方法模型如圖4所示。

圖4 軟、硬閾值折衷法

該方法思路簡單，去噪效果好。通過分析圖4不難發(fā)現(xiàn)，單純使用軟閾值方法量化得到^ωj，k的絕對值比 ωj，k小 λ(|ωj，k|≥λ)。所以在實(shí)際應(yīng)用中就要減少這一偏差，如果這個偏差減小到0(即使用硬閾值方法處理)，也不能實(shí)現(xiàn)最好的去噪效果，因?yàn)棣豭，k本身由有用信號的高頻部分和噪聲信號組成，可能會由于噪聲信號的影響導(dǎo)致重構(gòu)信號產(chǎn)生更大的偏差。因此，在量化函數(shù)中引入一個參數(shù)α，使量化結(jié)果介于硬閾值量化和軟閾值量化之間，就可以讓重構(gòu)信號更接近真實(shí)信號。所以基于這一思想，只要適當(dāng)調(diào)整α的取值，就可以得到很好的去噪效果。

3 基于Matlab的實(shí)驗(yàn)仿真

為了更加直觀的比較不同閾值方法的去噪效果，引入信噪比定義:

其中，f(i)為真實(shí)信號，s(i)為含噪信號，L為信號長度。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，選用雷達(dá)回波信號［13-15］作為實(shí)驗(yàn)信號，噪聲采用的是高斯白噪聲與服從相關(guān)對數(shù)-正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)兩種組合，模擬實(shí)際中雷達(dá)測距的噪聲，選取db4小波作為小波基，小波分解尺度為4，α取0.65。通過對比不同閾值處理方法的信噪比來比較不同方法去噪的效果。

由于雷達(dá)信號的特殊性，即回波信號與噪聲信號大致相當(dāng)。因此在選擇噪聲時，使用服從相關(guān)對數(shù)-正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)模擬雷達(dá)信號噪聲中的地物噪聲，用高斯白噪聲模擬實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)中的熱噪聲。圖5是忽略系統(tǒng)內(nèi)部熱噪聲的去噪效果比較，圖6則是綜合考慮所有噪聲的去噪效果比較。從表1中可以看到，軟硬閾值折衷法進(jìn)行去噪后在信噪比上要明顯優(yōu)于單純使用軟閾值法或硬閾值法。

圖5 添加隨機(jī)數(shù)噪聲的去噪結(jié)果

圖6 添加白噪聲和隨機(jī)數(shù)噪聲的去噪結(jié)果

表1 各閾值去噪方法的信噪比的比較

本實(shí)驗(yàn)的λ選擇方式是采用極大值極小值原理選擇信號消噪的閾值，產(chǎn)生一個最小均方誤差的極值。這里λ的選取方式雖然不是最優(yōu)的，如果λ選取方式更加恰當(dāng)，就更加可以體現(xiàn)出改進(jìn)的方法的優(yōu)越性。

4 結(jié)束語

本文介紹了小波閾值降噪的基本原理和實(shí)現(xiàn)的具體步驟。討論了軟、硬閾值法以及改進(jìn)的閾值去噪方法，并且通過實(shí)驗(yàn)對上述三種方法的去噪效果進(jìn)行了比較?？梢钥吹皆诟倪M(jìn)的閾值去噪方法的去噪效果要好于傳統(tǒng)的去噪方法。同時，由于本文選取的λ值并非最佳，如λ選取得當(dāng)，即可得到更好的結(jié)果。不過，本文通過實(shí)驗(yàn)已經(jīng)可以發(fā)現(xiàn)，不論λ取值如何，折衷法的計算結(jié)果都要由于軟閾值與硬閾值各自獨(dú)立的方法。

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