數(shù)學(xué)建模素質(zhì)評估的定量分析

王浩華，羅 婷

（海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南?？?570228）

數(shù)學(xué)建模素質(zhì)評估的定量分析

王浩華，羅 婷

（海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南?？?570228）

針對海南大學(xué)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽的實際情況，應(yīng)用層次分析法和動態(tài)規(guī)劃的理論方法對數(shù)學(xué)建模隊員的選拔問題進行了建模和分析.在兼顧公平選拔原則的基礎(chǔ)上，對學(xué)生素質(zhì)進行了綜合評定，給出了最佳的分組原則.

層次分析法;動態(tài)規(guī)劃;權(quán)重;組隊原則

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽已在各個高校中展開，并成為影響最大、參賽人數(shù)最多的大學(xué)生課外科技活動.海南大學(xué)1992年參賽以來，每次均取得了傲人的成績.為了形成培訓(xùn)選拔機制，量化管理，優(yōu)化參賽學(xué)生的質(zhì)量以期取得更好的成績，放眼未來，有必要對以前的工作做一些整理.為此，對海南大學(xué)學(xué)生在實際培訓(xùn)和選拔中就參賽隊員各方面的素質(zhì)予以評定，選取了選修筆試、機試、數(shù)學(xué)競賽獲獎、思維敏捷度、知識面、聽課次數(shù)、其他情況等方面進行了考察（見表1），經(jīng)量化評定給出了得分表（見表2）.

1 模型假設(shè)

海南大學(xué)參賽學(xué)生主要來自于各個理工科學(xué)院，其教育背景和素質(zhì)起點大致相當，故此，在整個參賽培訓(xùn)過程中假設(shè)各個隊員遵循以下假設(shè):

1）參賽隊員的外部環(huán)境相同，且不受其他隨機因素影響.在正式比賽的過程中，隊員都能發(fā)揮正常水平.

表1 選拔學(xué)生信息

表2 量化評定得分表

2）競賽水平的發(fā)揮只取決于表中所給的各項條件，且認為表2中測量的數(shù)據(jù)都是客觀公正的.

3）數(shù)學(xué)建模選修成績、機試成績、數(shù)學(xué)競賽獲獎情況、思維敏捷程度、知識面寬廣程度、數(shù)學(xué)建模選修課聽課次數(shù)以及其他計算機應(yīng)用情況，這7項對學(xué)生數(shù)學(xué)建模綜合能力的影響占主要地位，且影響程度是依次遞減的.

4）在組隊后各隊的發(fā)揮是相互獨立的，不受其他組的影響.

5）組隊后的整體水平由該隊每項的最佳隊員的指標表征.

2 參賽隊員的選取

每個學(xué)生的基本條件由表1可知，該問題是半定量半定性、多因素的綜合選優(yōu)排序問題，是一個多目標決策問題.為了從15名隊員中選出9名參賽者，主要利用層次分析法，分別計算各指標對選擇隊員的權(quán)重，以及各隊員對各指標的權(quán)重，然后綜合考察每個隊員的權(quán)重并進行排名.

為了區(qū)分各項條件中的檔次差異，首先將各指標量化，確定量化原則如下:

選修筆試成績按照滿分10分計;思維敏捷、機試和知識面的A，B，C，D等級分別按4分、3分、2分、1分計算;數(shù)學(xué)競賽沒獲獎按1分來計算，獲三等獎1次為2分，獲三等獎2次為3分，獲二等獎2次為5分，獲一等獎1次為6分，獲一等獎2次為7分;聽課次數(shù)按一次1分計;其他情況如選修過MATLAB的加1分，通過計算機三級考試的加2分;班級排名情況由于統(tǒng)計數(shù)據(jù)不是很全面，所以不能進行量化，因此，這項指標可以不予考慮.

2.1 層次分析法 從15名學(xué)生中選拔9名優(yōu)秀隊員作為目標層，記為O;將刻畫隊員的7個指標作為準則層，記為C;將15名學(xué)生作為方案層，記為P;各隊員記為Si，i=1，2，3…，15，如圖1所示.

圖1 層次結(jié)構(gòu)圖

由假設(shè)可得，準則層的7項指標依次遞減，并認為相鄰2項的差距不大，且都假設(shè)是相等的，這里都認為相差為1，于是兩兩對比得如下比較矩陣A.

其計算步驟如下:

步驟1 將A的每一列向量歸一化得Vk（Tk，Xk）;

由以上步驟計算可得最大特征值λmax≈7.197 3，對應(yīng)特征向量

表3 隨機一致性指標RI的值

由于準則層C對目標層O的權(quán)重為ω1，方案層P對準則層C權(quán)重為ω2，則P對O的權(quán)重為

其組合一致性比率指標為

因此，組合權(quán)重ω可作為目標決策的依據(jù).根據(jù)權(quán)重，得到15人的排序結(jié)果如表5所示.

表4 P-C層的特征向量

表5 15人的最終排序結(jié)果

其權(quán)重見圖2.

圖2 15名隊員權(quán)重圖

故在15名學(xué)生中選取9名參賽隊員，即可認為是選取權(quán)重排前9名的學(xué)生.由表5和圖2可知，依次為:S1，S6，S7，S4，S2，S8，S11，S10，S14.

3 最佳組隊方案的確定

3.1 組隊原則

命題1［2］在最佳組隊決策方案中，每個隊對目標層O的權(quán)重一定不小于全體隊員（9名）對目標層權(quán)重的幾何平均值，否則其組隊方案就不可能是最佳的.

由模型假設(shè)可知，各隊員的組隊原則遵循:

1）3名隊員的技術(shù)水平指標可以互補，技術(shù)水平最高者為該隊的水平指標;

2）按上述命題求出9名隊員對目標層O權(quán)重的幾何平均值，由表4按

3）任取3名隊員組合，求出相應(yīng)的技術(shù)水平指標，取7個技術(shù)水平指標之和為最高組隊方案.

3.2 最佳組隊原則 設(shè)（x，y，z）三名隊員組成的一個隊，則mi（x）為隊員x的第i項水平指標;Mi（x，y，

z）為隊員x，y，z組隊（x，y，z）的第i項水平指標;v（x，y，z）為技術(shù)水平指標，則

最佳組隊是從15名隊員中選出x，y，z，使v（x，y，z）最大.

3.3 建立模型 分決策過程為3個階段，按組隊原則完成，每一階段確定一個隊，記:

決策變量:Xk=（x，y，z）k，k=1，2，3;

狀態(tài)變量:Tk，{k=1，2，3}，其中T1={x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9}，即T1={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9};

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:Tk+1=Tk－Xk，k=1，2，3;

允許決策集臺:Dk={（x，y，z）∶x，y，z，vk（x，y，z）≥，k=1，2，3};

指標函數(shù):Vk（Tk，Xk）表示決策（一個組隊）關(guān)于狀態(tài)的技術(shù)水平指標，即Vk（Tk，Xk）=M;

最優(yōu)值函數(shù):fk（Tk）表示在狀態(tài)Tk下確定的k（1≤k≤3）個組隊的技術(shù)水平指標之和的最大值，則有逆序解法的基本方程

其中，Tk+1=Tk－Xk，k=1，2，3，經(jīng)計算得出組隊結(jié)果，見表6所示.

表6 最佳組隊原則下組隊結(jié)果

結(jié)合考察分組各隊員專業(yè)情況，最終分組情況如表7所示.

表7 組隊結(jié)果與隊員專業(yè)對比

由表7可以看出，此模型選拔和排隊都達到了使每組有較好知識結(jié)構(gòu)的目標.

3.4 模型的評價 采用隨機挑選原則來組隊，在15名隊員中共有C315=455種不同的組合方式，目標函數(shù)為

用MATLAB編程統(tǒng)計可知，可能構(gòu)成組隊的方式有448種，分3個階段求解.

利用計算機將448種組合按權(quán)重的大小順序排序，然后通過模擬枚舉實驗，得到最優(yōu)決策方案和每一個隊的競賽水平，結(jié)果如表8所示.

表8 枚舉法確定組隊結(jié)果

從表6和表8可以看到，在所有的組隊結(jié)果中最佳組隊原則下的組隊結(jié)果是最優(yōu)的.

4 結(jié)束語

一年一度的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是高等院校的重要賽事，指導(dǎo)教師應(yīng)本著對全校學(xué)生負責的態(tài)度，公平公正地對參賽隊員進行選拔.學(xué)校要加大宣傳力度，進一步擴大選拔范圍，使更多的優(yōu)秀同學(xué)參賽，從而更好地優(yōu)化和完善參賽隊伍結(jié)構(gòu).同時也要加大投入力度，如師資和資金投入等.

學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，因此，教師要始終把數(shù)學(xué)建模意識貫穿于教學(xué)的全過程，尤其是要把數(shù)學(xué)建模思想和方法滲透到數(shù)學(xué)主干課程的教學(xué)中，只有這樣，才能更好地把數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動與數(shù)學(xué)教學(xué)改革融為一體，才能真正地提高教學(xué)質(zhì)量，并使廣大學(xué)生受益.

附錄程序1

［1］姜啟源.數(shù)學(xué)模型［M］.第3版.北京:高等教育出版社，2003.

［2］韓中庚.最佳組隊方案及模型［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，1997，27（2）:133－140.

［3］刁在筠.運籌學(xué)［M］.第3版.北京:高等教育出版社，2007.

［4］李志林，歐宜貴.數(shù)學(xué)建模及典型案例分析［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2008.

Quantitative Analysis of Quality Assessment about Mathematical Modeling

WANG Hao-hua，LUO Ting

（College of Information Science and Technology，Hainan University，Haikou 570228，China）

Based on the actual situation of mathematical modeling contest of Hainan University，Analytic Hierarchy Process（AHP）and the dynamic programming theory were used to construct the mathematical model for selecting the team member.Based on the principle of fairness，the students were evaluated and the best grouping principles were proposed.

AHP;dynamic programming;weight;grouping principle

O 221.3

A

1004－1729（2012）01－0009－07

2011－06－17

海南省教育廳高校科研資助項目（Hjsk2011-23）;海南大學(xué)教育教學(xué)科研資助項目（hdjy1005）

王浩華（1981－），男，湖北天門人，海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院講師，碩士.