四類典型域的Gromov辛寬度和Hofer-Zehnder辛容量

2012-12-13 02:04:52張巧,楊永

周口師范學院學報 2012年2期

張巧,楊永

(鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)理系,河南鄭州450015)

一個2n維辛流形指的是一個2n維的流形M與其上一個非退化的閉2-形式ω組成的對(M,ω)。在一篇值得慶賀的文獻[1]中,著名數(shù)學家Gromov引入了第一個非平凡的辛不變量——Gromov辛寬度WG。一個2n維辛流形(M,ω)的Gromov辛寬度定義為

這里B2n(r)={(x,y)∈R2n|x|2+|y|2

(單調(diào)性)若有辛嵌入φ:(M1,ω1)→(M2,ω2),則有WG(M1,ω1)≤WG(M2,ω2);

(共形性)WG(M,cω)=|c|WG(M,ω)(這里c≠0)。

Gromov辛寬度WG是第一個非平凡的不變量。記Z2n(r)={(x1,y1)∈R2n

并由此得出了辛拓撲中著名的Gromov非擠壓性定理。

Ekeland與Hofer受Gromov辛寬度WG性質(zhì)的推動,文獻[2]引入了辛容量的概念。一個辛容量是一個函子(funtor)c,它給每個辛流形(M,ω)指定了一個非負(可能無限)的數(shù)c(M,ω),并滿足下面條件:

(單調(diào)性)若有余維數(shù)為零的辛嵌入φ:(M1,ω1)→(M2,ω2),則c(M1,ω1)≤c(M2,ω2);

(共形性)c(M,λω)=|λ|c(M,ω)(?λ∈R{0});

(非平凡性)c(B2n(1),ω0)=π=c(Z2n(1),ω0)。

顯然c的單調(diào)性意味著c是一個辛不變量。容易驗證WG是第一個辛容量。

Hofer與Zehnder[3]引入了另一個重要的辛容量cHZ即Hofer-Zehnder辛容量。辛流形(M,ω)上一個光滑函數(shù)H被稱為容許的(admissible),如果存在一個非空開子集U和一個緊致子集K?M?M,使得:

(b)0≤H≤max H;

(c)M上哈密爾頓系統(tǒng)˙x=XH(x)沒有非常值的周期小于1的周期解。這里XH定義為ω(XH,v)=d H(v)(v∈TM)。記Had(M,ω)為(M,ω)上的容許函數(shù)集。定義(M,ω)上的Hofer-Zehnder辛容量為cHZ(M,ω)?sup {maxHH∈Had(M,ω)}。它與WG滿足如下關(guān)系:

另外還有許多辛容量,它們是研究辛拓撲和哈密爾頓動力系統(tǒng)的重要的不變量,然而對辛容量進行計算和估計通常是很困難的。在文獻[4]中,第一作者定義了擬辛容量的概念。特別的,他構(gòu)造了Hofer-Zehnder型的典型的擬辛容量,并用這種擬辛容量計算出了許多辛流形的Gromov辛寬度和Hofer-Zehnder辛容量,詳見文獻[4]與[5]。對辛容量理論的歷史與概況參見文獻[4,6,7]及它們的參考文獻。