Hilbert空間中關(guān)于松弛協(xié)強制映射的廣義變分不等式組

張玉敏，張國春，劉英

（1.河北金融學(xué)院 管理系，河北 保定 071051；2.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，河北 保定 071002）

Hilbert空間中關(guān)于松弛協(xié)強制映射的廣義變分不等式組

張玉敏1，張國春2，劉英2

（1.河北金融學(xué)院 管理系，河北 保定 071051；2.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，河北 保定 071002）

引入了一類新的關(guān)于松馳協(xié)強制映射的廣義變分不等式組，通過用度量投影的方法證明了這類廣義變分不等式組解的存在性和唯一性，而且建立了一類新的算法來逼近這一不等式組的解，同時討論了該算法的收斂性，使得近期相關(guān)結(jié)果成為所得結(jié)果的特殊情況.

松馳協(xié)強制性映射；廣義變分不等式組；度量投影；Lipschitz連續(xù)；Mann-迭代

MSC 2010：47H09；47H17

1 預(yù)備知識

假定H是一個Hilbert空間，用〈·，·〉和‖·‖分別表示H中的內(nèi)積和范數(shù).

用度量投影的方法在Hilbert空間考慮了關(guān)于松馳協(xié)強制映射的廣義變分不等式組的逼近解，所得到的結(jié)果推廣和提高了文獻［1-2］相關(guān)結(jié)果.

設(shè)H1?H，H2?H是2個實 Hilbert空間，K1?H1，K2?H2是2個非空閉凸子集，T1：K1×K2→H1，T2：K1×K2→H2是2個雙變量映射，g1：K1→K1，g2：K2→K2是2個單變量映射，考慮下面的非線性廣義變分不等式組（SGVI），求（x＊，y＊）∈K1×K2，g1（x＊）∈K1，g2（y＊）∈K2使得

引理1 任意給定z∈H，那么u∈K滿足不等式

其中K?H為一非空閉凸子集，PK是從H到K上的度量投影映射，眾所周知，算子PK是非擴張的.

由引理1，容易看到SGVI問題（1）和（2）等價于下面的投影公式：

其中ρ＞0，λ＞0是2個常數(shù).

下面考慮SGVI問題（1）和（2）的一些特殊形式：

1）如果T1＝T2，g1＝g2，那么SGVI問題（1）和（2）成為下面的變分不等式問題：求（x＊，y＊）∈K1×K2，g1（x＊）∈K1使得

2）如果T1＝T2，g1＝g2，且T1為單變量映射，則SGVI問題（1）和（2）成為下面的變分不等式問題：求x＊∈K1，g1（x＊）∈K1使得

這一問題已被文獻［2］所研究.

3）如果g1＝g2＝I（恒等映射），則SGVI問題（1）和（2）成為下面的變分不等式組問題：求（x＊，y＊）∈K1×K2，使得

4）如果T1＝T2，g1＝g2＝I，且T1為單變量映射，則SGVI問題（1）和（2）成為下面的古典變分不等式問題：求x＊∈K1，使得

該問題已被許多學(xué)者所研究，可參見文獻［3-4］.

下面給出一些已知定義.

定義1 稱一映射S：K?H→K為非擴張的，如果?x，y∈K，有‖Sx-Sy‖≤‖x-y‖.

定義2 稱一映射T：H→H為r-強單調(diào)的，如果?x，y∈H，有〈Tx-Ty，x-y〉≥r‖x-y‖2，其中r＞0為一常數(shù).這就意味著‖Tx-Ty‖≥r‖x-y‖，也就是說，T為r-擴張的.

定義3 稱映射T：H→H為μ-協(xié)強制的［3，5］，如果?x，y∈H，有〈Tx-Ty，x-y〉≥μ‖Tx-Ty‖2，其中μ＞0為一常數(shù).

定義4 稱T：H→H為松馳γ-協(xié)強制的，如果存在一常數(shù)γ＞0，使得

定義5 稱T：H→H為松馳（γ，r）-協(xié)強制的，如果存在常數(shù)γ，r＞0，使得

定義6 稱T：H→H為關(guān)于g（其中g(shù)：K?H→H是一單值算子）是松馳（γ，r）-協(xié)強制的，如果存在常數(shù)γ，r＞0，使得

定義7 稱T：H→H為s-Lipschitz連續(xù)的，如果存在一個常數(shù)s＞0，使得

注1 顯然，一個r-強單調(diào)映射或一個μ-協(xié)強制映射一定是一松馳（γ，r）-協(xié)強制映射，但是反過來是不成立的，因此，松馳（γ，r）-協(xié)強制映射是一類更廣泛的映射，定義2和3作為特殊例子包含在定義5當中.

2 存在性和唯一性

在這一部分，證明SGVI問題（1）和（2）的解的存在性和唯一性，首先需要下面的一些定義：

定義8 稱一雙變量映射T：K×K→H在第1個變量上是松馳（γ，r）-協(xié)強制的，如果存在常數(shù)γ，r＞0，使得?x，y∈K，有

可類似定義T在第2個變量的松馳（γ，r）-協(xié)強制性.

定義9 設(shè)K→K為一單變量映射，稱T：K×K→H關(guān)于g在第1個變量上是松馳（γ，r）-協(xié)強制性的，如果存在常數(shù)γ，r＞0，使得?x，y∈K，有

可類似定義T關(guān)于g在第2個變量上的松馳（γ，r）-協(xié)強制性.

定義10 稱一雙變量映射T：K×K→H在第1個變量上是μ-Lipschitz連續(xù)的，如果存在常數(shù)μ＞0，使得?x，y∈K，有

可類似定義T在第2個變量上的Lipschitz-連續(xù)性.

定理1 設(shè)H1?H，H2?H是2個實Hilbert空間，K1?H1，K2?H2是2個非空閉凸子集，g1：K1→K1是松馳（γ1，r1）-協(xié)強制和μ1-Lipschitz連續(xù)映射，g2：K2→K2是松馳（γ2，r2）-協(xié)強制和μ2-Lipschitz連續(xù)映射，T1：K1×K2→H1關(guān)于g1在第1個變量上是松馳（t1，s1）-協(xié)強制的，且在第1個變量上是θ1-Lipschitz連續(xù)的，在第2個變量上是τ1-Lipschitz連續(xù)的，T2：K1×K2→H2關(guān)于g2在第1個變量上是松馳（t2，s2）-協(xié)強制的，且在第1個變量上是θ2-Lipschitz連續(xù)的，在第2個變量上是τ2-Lipschitz連續(xù)的，設(shè)存在常數(shù)ρ＞0，λ＞0，使得

證明對任意給定的λ＞0和ρ＞0，定義Tρ：K1×K2→H1，Sλ：K1×K2→H2，

對任意的（u1，v1），（u2，v2）∈K1×K2，由度量投影算子的非擴張性和式（10），（11），有

根據(jù)g1的松馳協(xié)強制性和Lipschitz連續(xù)性，有

又根據(jù)T1（·，·）關(guān)于g1在第1個變量上的松馳（t1，s1）-協(xié)強制性和在第1個變量上的θ1-Lipschitz連續(xù)性，有

3 迭代算法和收斂性

那么，當n→∞時，cn收斂到0.

算法1 設(shè)g1，g2，T1，T2是定理1中的算子，對任意給定的（x0，y0）∈K1×K2，定義 Mann迭代序列｛（xn，yn）｝為

在這一部分，將建立Mann迭代算法來逼近SGVI問題（1）和（2）的解，并且分析這一算法的收斂性.

引理2［6］設(shè)cn和kn是2個非負實數(shù)序列，滿足下面的條件：

定理2 設(shè)g1，g2，T1，T2是定理1中的算子，假定定理1中的條件（8）和（9）成立，那么，由算法1產(chǎn)生的序列｛（xn，yn）｝強收斂到SGVI問題（1）和（2）的唯一解（x＊，y＊），且存在0＜d＜1，使得.

證明根據(jù)定理1，SGVI問題（1）和（2）的唯一解（x＊，y＊），從式（3）和（4），有

因此，（xn，yn）強收斂到SGVI問題（1）和（2）的唯一解（x＊，y＊）.

［1］ ZHANG Shisheng，LEE H W J，CHAN C K.Generalized system for relaxed cocoercive variational inequalities in Hilbert spaces［J］.Appl Math Lett，2007，20：329-334.

［2］ NOOR M A.General variational inequalities and nonexpansive mappings［J］.J Math Anal Appl，2007，331：810-822.

［3］ VERMA R U.General convergence analysis for two-step projection methods and applications to variational problems［J］.Appl Math Lett，2005，18（11）：1286-1292.

［4］ NIE H，LIU Z，KIM K H，et al.A system of nonlinear variational inequalitiesinvolving strongly monotone and pseudocontractive mappings［J］.Adv Nonlinear Var Inequal，2003，6（2）：91-99.

［5］ VERMA R U.Generalized system for relaxed cocoercive variational inequalities anditsprojection methods［J］.J Optim Theory Appl，2004，121（1）：203-210.

［6］ FANG Yaping，HUANG Nanjing.A new system of variational inclusions with（H，η）-monotoneoperators in Hilbert spaces［J］.Computers Math Applic，2005，49：365-374.

System of generalized variational inequalities for relaxed cocoercive mappings in Hilbert spaces

ZHANG Yumin1，ZHANG Guochun2，LIU Ying2
（1.Department of Management，Hebei Finance University，Baoding 071001，China；
2.College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China）

A new system of generalized variational inequalities involving relaxed cocoercive mappings in Hilbert space are introduced.By using the projection method，the existence and uniqueness of solutions for this new system of generalized variational inequalities are proved.Furthermore，a new algorithm for approximating the solution of this system is constructed and the convergence of the iterative sequence generated by the algorithm is discussed.

relaxed cocoercive mapping；system of generalized variational inequalities；metric projection；Lipschitz-continuity；Mann-iteration

O177.91

A

1000-1565（2012）05-0453-05

2012-03-19

國家自然科學(xué)基金資助項目（11101115）；河北省自然科學(xué)基金資助項目（A2011201053）

張玉敏（1974-），女，河北保定人，河北金融學(xué)院副教授，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的研究.

E-mail：zhangyumin1974＠yahoo.com.cn

王蘭英）