耦合KdV方程組的格子Boltzmann模型

王慧敏, 劉艷紅

(1. 吉林財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130117; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

0 引 言

格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method, LBM)是一種起源于格子氣自動機(latlice gas automata, LGA)的數(shù)值計算方法, 目前已成為用于模擬流體流動的有效工具. 傳統(tǒng)的數(shù)值方法通常需要求解密度和速度等宏觀變量, 而LBM建立在粒子分布函數(shù)的細觀動力學(xué)方程上, 需要求解粒子的分布函數(shù)[1]. LBM廣泛應(yīng)用于多相多質(zhì)流、 粒子懸浮流、 多孔介質(zhì)流、 磁流體力學(xué)、 反應(yīng)擴散系統(tǒng)及偏微分方程等領(lǐng)域[2-5], 模擬了如波動方程[6-7]、 Korteweg-de Vries(KdV)方程[8-9]、 Burgers方程[10]和Poisson方程[11-12]等.

KdV方程用于描述等離子體物理、 諧晶體和氣液混合物中的波現(xiàn)象等, 具有孤波解. 本文使用LBM研究耦合KdV方程組, 該方程組具有如下形式:

(1)

(2)

其中λi和μi(i=1,2,…,5)是任意常數(shù). 當(dāng)λ1=λ3=0,μ2=μ5=0時, 方程組描述了具有不同色散關(guān)系兩種長波的相互作用, 并且當(dāng)μ1+μ3=0時, 兩種長波的色散關(guān)系在一定條件下, 方程組(1)-(2)有孤波解[13]. 本文為耦合KdV方程組(1)-(2)構(gòu)建一個格子Boltzmann模型, 并利用該模型對方程組(1)-(2)的孤波解進行數(shù)值模擬.

1 格子Boltzmann模型

(3)

(4)

定義Knudsen數(shù)ε如下:ε=l/L, 其中:l表示分子的平均自由程;L表示系統(tǒng)的特征尺度. 假設(shè)ε與時間步長Δt相等, 則格子Boltzmann方程(4)可以寫成：

(5)

將方程(5)左邊Taylor展開, 有

(6)

保留至O(ε7)項, 有

(7)

(8)

從而可得如下形式的不同時間尺度上的系列偏微分方程[10]：

(9)

(10)

方程(9)～(14)即為不同時間尺度上的系列偏微分方程, 它們對一維、 二維和三維情況均適用. 在方程(9)～(14)中, 關(guān)于弛豫時間因子τ的多項式為：

稱為Chapman多項式.

對于一維模型, 定義平衡態(tài)分布函數(shù)的矩為

其中:

(15)

式(15)中的參數(shù)分別為：

(16)

為簡便, 本文要求各方向上的源項表達式相同, 即

(17)

由式(9)+式(10)×ε+式(11)×ε2并對α求和, 可得

故

對于一維3-bit模型, 有

故

從而式(18)和(19)可化為二階計算公式：

2 數(shù)值模擬

例1

ut+αuxxx+6αuux-6vvx=0,

(27)

vt+βvxxx+3βuvx=0.

(28)

初始條件為

(29)

(30)

邊界條件為

參數(shù)α=β=0.1,λ=0.5,L=5.

數(shù)值模擬結(jié)果如圖1～圖6所示, 計算參數(shù)為

圖1 耦合KdV方程組LBM解與精確解的對比結(jié)果Fig.1 Comparison results of LBM solution and exact solution of coupled KdV equations

圖1為耦合KdV方程組的LBM解和精確解的對比結(jié)果. 圖2給出了t=1時LBM解的誤差(Er)曲線. 圖3為u和v從t=0到t=5的對比結(jié)果. 圖4為誤差Er的無窮模和Knudsen數(shù)ε的對數(shù)關(guān)系曲線. 本文還分別使用蛙跳格式和跳點格式對方程組進行數(shù)值計算, 圖5給出了幾種不同數(shù)值格式在t=2時的數(shù)值解比較結(jié)果. 圖6為幾種不同數(shù)值格式當(dāng)t=2時的誤差曲線.

圖2 耦合KdV方程組LBM解u(A)和v(B)當(dāng)t=1時的誤差曲線Fig.2 Error curves of LBM solution u(A) and v(B) for coupled KdV equations with t=1

圖3 耦合KdV方程組的u和v從t=0 到t=5的對比結(jié)果Fig.3 Comparison results of u and v from t=0 to t=5 of coupled KdV equations

圖4 耦合KdV方程組LBM解當(dāng)t=1時的 ‖Er‖∞和ε的對數(shù)關(guān)系曲線Fig.4 Logarithmic relationship curves of ‖Er‖∞ vs ε for LBM solution of coupled KdV equations with t=1

圖5 t=2時不同方法數(shù)值解u(A)和v(B)的比較結(jié)果Fig.5 Comparison results of numerical solution u(A) and v(B) by diffrent methods with t=2

圖6 t=2時不同方法的數(shù)值誤差曲線u(A)和v(B)Fig.6 Numerical error curves u(A) and v(B) by diffrent methods with t=2

由圖1～圖6可見, LBM的誤差介于另外兩種數(shù)值格式之間. 數(shù)值結(jié)果表明, 耦合KdV方程組的LBM解與精確解基本一致. 通過與其他傳統(tǒng)數(shù)值方法進行比較發(fā)現(xiàn), 格子Boltzmann方法與其他數(shù)值方法相比計算效果相同, 其模型精度可以接受. 由圖4可見, 本文模型的誤差對網(wǎng)格數(shù)有依賴關(guān)系, 網(wǎng)格越密, 模型的誤差越小. 數(shù)值實驗表明, LBM是用于模擬耦合KdV方程組的一種有效方法.

感謝吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院閆廣武教授的幫助和指導(dǎo).

[1] CHEN Shi-yi, Doolen G D. Lattice Boltzmann Method for Fluid Flows [J]. Annu Rev Fluid Mech, 1998, 30: 329-364.

[2] Premnath K N, Abraham J. Three-Dimensional Multi-relaxation Time (MRT) Lattice-Boltzmann Models for Multiphase Flows [J]. J Comput Phys, 2007, 224(2): 539-559.

[3] Holdych D J, Georgiadis J G, Buckius R O. Migration of a Van Der Waals Bubble: Lattice Boltzmann Formulation [J]. Phys Fluids, 2001, 13(4): 817-825.

[4] Mendoza M, Boghosian B M, Herrmann H J, et al. Fast Lattice Boltzmann Solver for Relativistic Hydrodynamics [J]. Phys Rev Lett, 2010, 105(1): 014502.

[5] LUO Li-shi. Theory of the Lattice Boltzmann Method: Lattice Boltzmann Models for Nonideal Gases [J]. Phys Rev E, 2000, 62(4): 4982-4996.

[6] YAN Guang-wu. A Lattice Boltzmann Equation for Waves [J]. J Comput Phys, 2000, 161(1): 61-69.

[7] ZHANG Jian-ying, YAN Guang-wu, SHI Xiu-bo. Lattice Boltzmann Model for Wave Propagation [J]. Phys Rev E, 2009, 80(2): 026706.

[8] YAN Guang-wu, ZHANG Jian-ying. A Higher-Order Moment Method of the Lattice Boltzmann Model for the Korteweg-de Vries Equation [J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2009, 79(5): 1554-1565.

[9] ZHANG Jian-ying, YAN Guang-wu. A Lattice Boltzmann Model for the Korteweg-de Vries Equation with Two Conservation Laws [J]. Comput Phys Commun, 2009, 180(7): 1054-1062.

[10] ZHANG Jian-ying, YAN Guang-wu. Lattice Boltzmann Method for One and Two-Dimensional Burgers Equation [J]. Physica A, 2008, 387(19/20): 4771-4786.

[11] WANG Hui-min, YAN Guang-wu, YAN Bo. Lattice Boltzmann Model Based on the Rebuilding-Divergency Method for the Laplace Equation and the Poisson Equation [J]. J Sci Comput, 2011, 46(3): 470-484.

[12] CHAI Zhen-hua, SHI Bao-chang. A Novel Lattice Boltzmann Model for the Poisson Equation [J]. Appl Math Modell, 2008, 32(10): 2050-2058.

[13] LIU Xi-qiang, BAI Cheng-lin. New Soliton Solutions of the Couple KdV Equations [J]. Chinese Journal of Quantum Electronics, 1999, 16(4): 360-364. (劉希強, 白成林. 耦合KdV方程的新孤子解 [J]. 量子電子學(xué)報, 1999, 16(4)： 360-364.)