基于近似模型管理的微小衛(wèi)星結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

鄭 侃 廖文和 張 翔

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

0 引言

微小衛(wèi)星結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)屬于復(fù)雜而龐大的系統(tǒng)工程，設(shè)計(jì)變量多，制約因素苛刻，通常存在多個(gè)相互沖突的目標(biāo)函數(shù)，并且由于在優(yōu)化過(guò)程中必須反復(fù)迭代分析模塊，造成優(yōu)化過(guò)程中的計(jì)算量較大且容易陷入僵局，嚴(yán)重影響了優(yōu)化效率和結(jié)果。為此，研究人員就多目標(biāo)優(yōu)化算法的實(shí)現(xiàn)、優(yōu)化模型的建立、近似技術(shù)的運(yùn)用、非劣解集的篩選等方面展開了細(xì)致而深入的研究，特別是在優(yōu)化算法的改進(jìn)和近似技術(shù)的運(yùn)用兩方面取得了較大的進(jìn)展，對(duì)于提升優(yōu)化效率起到了舉足輕重的作用。Coello等［1］和 Hu等［2］在粒子群優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上分別提出了一些具有較大影響力的研究成果，例如一類特別變異的算子、采用外部集合保存非支配粒子集的方法以及動(dòng)態(tài)鄰居的粒子群算法等。于廣濱［3］將改進(jìn)的雙群體差分多層文化粒子群融合算法應(yīng)用于微型減速裝置的多目標(biāo)優(yōu)化中，不僅實(shí)現(xiàn)了群體的多樣性還提高了算法的收斂速度；安治國(guó)等［4］比較了各種構(gòu)建近似模型方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并提出了用于板料成形的徑向基函數(shù)近似模型方法。

近似技術(shù)的應(yīng)用在很大程度上加快了演化算法的尋優(yōu)速度，但受到樣本數(shù)量以及工程問(wèn)題本身高維性的限制，近似模型的精度通常很難得到保障，特別是對(duì)于航空航天領(lǐng)域非線性程度較高的復(fù)雜問(wèn)題就更加棘手。為此，近似模型管理框架的概念應(yīng)運(yùn)而生，其中，一種方式是在演化過(guò)程中選取合適的修正點(diǎn)逐步對(duì)近似模型進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)對(duì)近似模型的管理；而另一種方式則是從搜索區(qū)域更新方向著手，根據(jù)信賴度的大小對(duì)搜索區(qū)域進(jìn)行縮放，從而確保能夠獲取足夠精度的非劣解。本文從優(yōu)化實(shí)例自身的特點(diǎn)出發(fā)，在基于信賴域的近似模型管理的基礎(chǔ)之上，通過(guò)最大最小距離策略從每一步迭代過(guò)程中選取合適的非劣解用于計(jì)算信賴度值，確保對(duì)信賴域更新的合理性，從而使得在多目標(biāo)優(yōu)化求解過(guò)程中得到較高精度的最優(yōu)解。

1 多目標(biāo)優(yōu)化中的近似技術(shù)

近似技術(shù)常用于處理幾個(gè)獨(dú)立變量影響一個(gè)或多個(gè)因變量且函數(shù)關(guān)系未知的較為復(fù)雜的工程問(wèn)題，主要是用顯式近似表達(dá)式來(lái)代替原問(wèn)題中隱式的約束和目標(biāo)函數(shù)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)和近似方法是近似技術(shù)的主要內(nèi)容，所有的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的近似技術(shù)均圍繞這兩個(gè)方面展開。合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)是近似技術(shù)的前提，它不僅可以獲得構(gòu)造模型的樣本點(diǎn)，同時(shí)可為近似方法提供充足的樣本空間，而近似方法則是近似技術(shù)的主體，是確保近似精度和計(jì)算效率的核心環(huán)節(jié)。

1.1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

由于該微小衛(wèi)星結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的因素很多，且每一因素都要選出好的試驗(yàn)條件，如果對(duì)這些因素采用其他試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，則需要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)是讓人難以接受的，另外，各因素的水平數(shù)相同且較小，故正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)為最佳選擇。

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種常用的多因子試驗(yàn)方法，它利用正交表Ln（qp）選擇試驗(yàn)條件和安排試驗(yàn)計(jì)劃，并通過(guò)正交表的特點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析以合理地選擇試驗(yàn)次數(shù)，從而確定滿意的試驗(yàn)計(jì)劃組合。其中，p、q分別表示因素的水平數(shù)和個(gè)數(shù)，下標(biāo)n表示總共需要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)。正交試驗(yàn)的特點(diǎn)是使樣本點(diǎn)在設(shè)計(jì)范圍內(nèi)均勻分散，整齊可比，正交試驗(yàn)不僅滿足讓具有代表性的樣本點(diǎn)均勻分布在試驗(yàn)范圍內(nèi)，同時(shí)提高了試驗(yàn)效率，方便分析各因素對(duì)指標(biāo)的影響程度和變化規(guī)律。

1.2 Kriging代理模型［5－7］

從統(tǒng)計(jì)學(xué)的概念出發(fā)，Kriging模型是從變量相關(guān)性和變異性出發(fā)，在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域化變量的取值進(jìn)行無(wú)偏和最優(yōu)估計(jì)的一種方法。它利用對(duì)空間數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)插值的權(quán)值設(shè)計(jì)方法，通過(guò)引進(jìn)以距離為自變量的變異函數(shù)來(lái)計(jì)算權(quán)值，因此該模型不僅能反映變量的空間結(jié)構(gòu)特性，而且能體現(xiàn)變量的隨機(jī)分布特性。在Kriging模型中，系統(tǒng)的響應(yīng)值與自變量之間的相互關(guān)系可表示為

其中，f（x）是一個(gè)確定性部分，稱為參數(shù)項(xiàng)，一般用多項(xiàng)式或定值β表示；而z（x）則表示全局模型的局部偏差，通過(guò)樣本點(diǎn)插值獲得，主要包含以下特性：

其中，R為相關(guān)矩陣，是M×M階對(duì)稱正定對(duì)角矩陣；M為樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。R（xi，xj）為任意兩個(gè)樣本點(diǎn)之間的相關(guān)函數(shù)，以廣泛采用的高斯相關(guān)函數(shù)為例：

確定好相關(guān)函數(shù)后，在式（1）的基礎(chǔ)上用β替代f（x），即可得到未知設(shè)計(jì)點(diǎn)響應(yīng)的Kriging估計(jì)值：

式中，Ys為樣本點(diǎn)響應(yīng)矩陣；f、rT（x）均為M維列向量。

rT（x）為觀測(cè)點(diǎn)x與樣本點(diǎn)（x1，x2，…，xM）T之間的相關(guān)向量：

式（3）中的相關(guān)參數(shù)θk的最大似然估計(jì)可采用下式求得：

在相關(guān)函數(shù)的作用下，Kriging模型具有局部估計(jì)的特點(diǎn)，使其在處理非線性程度較高的問(wèn)題時(shí)較容易得到理想的擬合效果。另外，在相關(guān)函數(shù)中通過(guò)對(duì)不同參數(shù)的設(shè)定不僅能解決各向同性問(wèn)題而且可以處理各向異性問(wèn)題，因此Kriging模型在航空航天領(lǐng)域優(yōu)化設(shè)計(jì)分析中具有廣闊的應(yīng)用前景［8］。

2 改進(jìn)后的基于信賴域近似模型管理框架

如引言所述，部分學(xué)者提出的近似模型管理方法主要是通過(guò)對(duì)近似模型本身進(jìn)行修正以達(dá)到較滿意的求解精度。其中，Yang等［9］提出了一種序列更新Kriging近似模型的方法，安偉剛［10］提出的管理模型框架中采用了單純形與多目標(biāo)粒子群優(yōu)化方法的混合算法，提高了優(yōu)化效率，增強(qiáng)了局部搜索能力，他同時(shí)運(yùn)用輪盤賭法對(duì)演化過(guò)程中的每一代選取多個(gè)個(gè)體進(jìn)行高精度分析計(jì)算并根據(jù)修正點(diǎn)逐步對(duì)近似模型進(jìn)行修正。上述兩種近似模型的更新方法主要是從修正模型精度的角度出發(fā)，而劉桂萍等［11］則另辟蹊徑，提出了一種基于信賴域的近似模型管理方法，通過(guò)對(duì)近似模型的搜索區(qū)域進(jìn)行限制并在優(yōu)化迭代的過(guò)程中對(duì)該限制區(qū)域進(jìn)行更新來(lái)保證求解精度。這種近似模型管理的主要優(yōu)點(diǎn)在于多目標(biāo)優(yōu)化求解過(guò)程中受近似模型精度的影響較小，主要是為了搜尋足夠精確的Pareto最優(yōu)解集，而并未要求構(gòu)建出較高精度的近似模型。在該方法中首先將設(shè)計(jì)空間中的搜索限制域定義為初始信賴域，隨后在優(yōu)化過(guò)程中，從上一步迭代所得到的Pareto解集中均勻選擇出一系列的解，并通過(guò)高精度分析模型對(duì)這些解進(jìn)行評(píng)價(jià)，從而確定當(dāng)前的近似模型與實(shí)際模型的Pareto最優(yōu)解集的一致程度。最后，通過(guò)對(duì)信賴度的計(jì)算將設(shè)計(jì)變量搜索空間中的信賴域按一定的規(guī)則進(jìn)行縮放和移動(dòng)等更新操作，并將已評(píng)價(jià)過(guò)的且在新的信賴域范圍內(nèi)的樣本點(diǎn)加入到下一代樣本點(diǎn)中，以保證在該區(qū)域內(nèi)構(gòu)建的近似模型能得到與實(shí)際模型一致的Pareto最優(yōu)解集。當(dāng)兩者的一致程度比較低時(shí)就縮小信賴域，反之則放大信賴域。因此在該方法中對(duì)于信賴度的計(jì)算尤為重要，因?yàn)樾刨嚩鹊拇笮Q定了信賴域空間的縮放程度，直接影響近似模型Pareto解集的精度。

與文獻(xiàn)［11］提出的近似模型管理方法相比，本文提出的近似模型管理框架除了選取構(gòu)建近似模型樣本點(diǎn)的方法和優(yōu)化的算法不同之外，更多的是體現(xiàn)在信賴度計(jì)算的準(zhǔn)確性與合理性上?；谛刨囉虻慕乒芾砟Ｐ涂蚣艿暮诵脑谟谌绾螠?zhǔn)確找到下一代的搜索限制域。文獻(xiàn)［11］在進(jìn)行信賴度計(jì)算時(shí)是從每一步的非支配解集中均勻選取一系列的解構(gòu)成新的解集P（t）a，然后利用高精度分析模型對(duì)其評(píng)價(jià)后確定所選解集中屬于高精度模型的解的集合P（t）o，根據(jù)式（9）得出兩個(gè)解集中的解的個(gè)數(shù)的比值，從而確定出信賴度的大?。?/p>

通過(guò)聯(lián)立式（9）～式（11）即可得出每一步迭代過(guò)程中新的搜索區(qū)域，因此信賴度值的確定直接決定了信賴域半徑的縮放程度，是確定新的搜索區(qū)域的關(guān)鍵因素。然而，信賴度值的計(jì)算依賴于每一步迭代過(guò)程中如何從非劣解集中選取合適的解構(gòu)成解集P（t）a。誠(chéng)然，均勻選取的方法確實(shí)能夠體現(xiàn)出非劣解集的整體性，但容易造成所選出的解過(guò)于接近樣本點(diǎn)導(dǎo)致信賴度值較高，從而不能真實(shí)反映非劣解集對(duì)當(dāng)前近似模型與實(shí)際模型的一致程度。而本文所采用的方法如下：首先計(jì)算從上一步得到的Pareto解集中的每個(gè)解到所有樣本點(diǎn)的距離，以最小的距離作為該解到樣本集的距離；然后從中選擇距離最大的N個(gè)解構(gòu)成解集P（t）a。由于構(gòu)建近似模型采用的樣本點(diǎn)即為初始樣本點(diǎn)，而通過(guò)該方法選出的解均與最初的樣本點(diǎn)保持一定的“距離”，因此信賴度的計(jì)算結(jié)果具備較高的可信度，對(duì)信賴域的縮放也更為合理。該近似模型管理框架的整體流程如圖1所示。

圖1 近似模型管理框架流程圖

3 微小衛(wèi)星主承力結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

通過(guò)計(jì)算得到某型號(hào)微小衛(wèi)星整星在X、Y、Z三個(gè)方向的一階頻率f1、f2、f3分別為34.59Hz、37.23Hz和94.65Hz，主承力結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為17.162kg?？紤]各階模態(tài)所占比重不同，將整星的前三階模態(tài)作為一個(gè)整體，并對(duì)各階模態(tài)賦予相應(yīng)的權(quán)重組成一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。同時(shí)，微小衛(wèi)星結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)是目前小型衛(wèi)星結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)，因此將整星的加權(quán)頻率和結(jié)構(gòu)總質(zhì)量作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，即

式中，α1、α2、α3為整星X、Y、Z方向一階頻率所對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；m為整星主承力結(jié)構(gòu)總質(zhì)量。

優(yōu)化問(wèn)題通常是求解目標(biāo)函數(shù)的最小值，因此引入一個(gè)定值Q，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于整星頻率的減函數(shù)，從而使得在滿足目標(biāo)函數(shù)取得最小值的同時(shí)α1f21＋α2f22＋α3f23取得最大值。由于該微小衛(wèi)星的主承力結(jié)構(gòu)（圖2）除了6根鋁質(zhì)骨架外其余均為鋁蒙皮蜂窩夾層板，故重點(diǎn)考慮主承力結(jié)構(gòu)上的各塊蜂窩板對(duì)整星剛度和結(jié)構(gòu)質(zhì)量的影響。選取主結(jié)構(gòu)中的骨架厚度、所有蜂窩板的鋁面板厚度和蜂窩芯的高度為設(shè)計(jì)變量，如圖2、圖3所示。直接約束條件為：鋁面板厚度介于0.1～0.8mm 之 間， 蜂 窩 芯 子 高 度 介 于10～80mm之間。間接約束條件一般分為剛度條件和強(qiáng)度條件，主要包括優(yōu)化后的整星前三階頻率較原始頻率有相應(yīng)提高，且結(jié)構(gòu)應(yīng)力要小于規(guī)定的許用應(yīng)力。

圖2 整星主承力結(jié)構(gòu)圖

圖3 鋁蒙皮蜂窩夾層結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)上述描述可以建立如下數(shù)學(xué)優(yōu)化模型：

式中，σmax為整星最大輸出應(yīng)力；［σ］為許用應(yīng)力；d為骨架厚度；t1、t2、t3、t4、t5分別為底板、中層板、頂板、側(cè)板、隔板的面板厚度；h1、h2、h3、h4、h5分別為底板、中 層板、頂板、側(cè)板、隔板的蜂窩夾心層厚度。

Q為一定值，取值為500Hz；各階頻率的權(quán)重系數(shù)α1、α2、α3根據(jù)其重要程度分別取0.6、0.3和0.1。

3.2 近似模型的建立

根據(jù)該微小衛(wèi)星結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化的特點(diǎn)，采用上述近似模型管理框架中的正交試驗(yàn)和Kriging近似方法用于構(gòu)建近似模型。其中因素個(gè)數(shù)為11，均設(shè)定為5個(gè)水平，表示如下：

為了確定樣本點(diǎn)的分布，本文選用L50（511）進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)。通過(guò)正交試驗(yàn)和PATRAN／NASTRAN有限元分析軟件計(jì)算得到了50個(gè)樣本點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值。由于參數(shù)項(xiàng)f（x）的選取對(duì)于模型精度的影響較小，為了簡(jiǎn)化建模過(guò)程，采用線性回歸模型，設(shè)定回歸量為常數(shù)1。相關(guān)函數(shù)的核函數(shù)是決定模型精度的核心，因此采用計(jì)算效果最好的高斯函數(shù)（式（3））。通過(guò)上述函數(shù)和參數(shù)的設(shè)定，最優(yōu)的Kriging模型的構(gòu)建問(wèn)題被轉(zhuǎn)換成一個(gè)非線性的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，從而通過(guò)對(duì)相關(guān)參數(shù)θk的搜索即可建立一個(gè)無(wú)偏的Kriging模型。

3.3 優(yōu)化結(jié)果

圖4 微小衛(wèi)星結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化非劣解前沿曲線

選取基于擁擠距離的多目標(biāo)粒子群算法作為優(yōu)化的核心算法，其中的參數(shù)選取為：種群規(guī)模200，最大迭代數(shù)100。圖4所示為樣本點(diǎn)計(jì)算次數(shù)為50時(shí)得到的Pareto最優(yōu)解集在目標(biāo)空間中的象點(diǎn)，其中點(diǎn)A和B為邊界點(diǎn)。采用該近似模型管理框架得到了較為滿意的優(yōu)化結(jié)果，非劣解前沿曲線分布較均勻。同時(shí)，近似技術(shù)的運(yùn)用大幅度提升了優(yōu)化效率，有限元仿真分析的計(jì)算次數(shù)為3400，耗時(shí)29 485.52s。由于設(shè)計(jì)變量較多，優(yōu)化過(guò)程中的計(jì)算時(shí)間主要耗費(fèi)在樣本點(diǎn)的有限元數(shù)值模擬計(jì)算中。優(yōu)化結(jié)果表明，該方法能夠在較短的時(shí)間內(nèi)得到多個(gè)可供選擇的Pareto最優(yōu)解，具有較高的求解效率和求解精度，同時(shí)不僅保證了解集未開裂而且得到的起皺區(qū)域較小。根據(jù)不同偏好從以上的非劣解前沿曲線中選擇了五組解作為最優(yōu)妥協(xié)解，目標(biāo)函數(shù)及設(shè)計(jì)變量的結(jié)果如表1所示。

表1 五組非劣解的優(yōu)化結(jié)果

從表1可以看出，優(yōu)化后各方案中整星在X、Y、Z三個(gè)方向上的一階頻率均有不同程度的提高，特別是方案3和方案5的整星基頻超出原設(shè)計(jì)方案20%以上，同時(shí)整星結(jié)構(gòu)質(zhì)量也有一定程度的減小。另外，值得注意的是，各設(shè)計(jì)變量隨目標(biāo)函數(shù)值的變化趨勢(shì)基本一致，均保持在同一數(shù)量級(jí)范圍內(nèi)。各方案除底板蜂窩夾層厚度較原設(shè)計(jì)方案略有增大之外，隔板、中層板、頂板和側(cè)板均有不同程度的減小，特別是6塊側(cè)板的蜂窩夾層厚度在優(yōu)化后減小了約50%。由于整星剛度提高，底板作為主承力板其面板厚度有較大幅度增大，5組方案的優(yōu)化結(jié)果均在0.43～0.54mm之間，較之前提高了42%左右?？傮w而言，各方案的優(yōu)化效果均較為明顯，達(dá)到了優(yōu)化的目的。

4 結(jié)語(yǔ)

由于基于信賴域的近似模型管理方法對(duì)構(gòu)建近似模型精度的要求不高，因此要保證在可能的非支配解區(qū)域內(nèi)近似模型與高精度模型的非支配解集的一致性必須重點(diǎn)控制對(duì)信賴域的更新。本文通過(guò)采用最大最小距離策略從每一步迭代過(guò)程中得到的Pareto解集中選取距離最大的若干個(gè)解用于高精度分析模型的評(píng)價(jià)，保證了計(jì)算信賴度的準(zhǔn)確性以及信賴域縮放的合理性，最終確保了在搜索區(qū)域內(nèi)近似模型與高精度模型具有一致的非支配解集。該近似模型管理框架在微小衛(wèi)星主承力結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的成功應(yīng)用驗(yàn)證了它解決多因素的復(fù)雜多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的較高工程應(yīng)用價(jià)值。

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