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    基于α截集法的生土窯居模糊隨機(jī)可靠度分析

    2012-12-03 01:23:26郭平功童麗萍
    關(guān)鍵詞:模糊性黏聚力摩擦角

    郭平功,童麗萍

    (1.鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院,河南 鄭州450001;2.河南城建學(xué)院土木工程系,河南平頂山467036)

    0 引言

    生土窯居是在原始黃土中挖鑿而形成的穴居居住形式,由挖鑿成型的純原狀土拱作為窯居的自支撐結(jié)構(gòu),沒有棟梁支撐,也沒有其它支護(hù).但卻能夠久而不衰、屹立百年甚至數(shù)百年而不坍塌.即使在地震多發(fā)區(qū)(中國在役窯居大多分布于地震多發(fā)地帶,45%的窯居區(qū)地震烈度在7度以上),建造年代百年以上的窯洞也很普遍,充分說明了生土窯居較高的可靠性.只有從可靠度角度對生土窯居進(jìn)行研究,才能揭示其可靠性較高的原因.

    目前還沒有關(guān)于生土窯居可靠度研究的文獻(xiàn).影響其可靠度的主要因素為土體的強(qiáng)度.土體力學(xué)性能參數(shù)主要的獲取方法是試驗,由于土體本身在空間上呈現(xiàn)很大的變異性,以及取樣的擾動、試驗方法的差異,使試驗結(jié)果具有不確定性,主要是隨機(jī)性和模糊性[1-2].由于土體力學(xué)參數(shù)的隨機(jī)性和模糊性,導(dǎo)致生土窯居的可靠度具有隨機(jī)性和模糊性.

    目前,考慮模糊不定性的研究方法仍處于探索階段,α截集法、凸集法、模糊集法、主觀概率法、混沌理論法等都被用來進(jìn)行模糊分析[3].由于α截集法能同時考慮模糊性和隨機(jī)性[4],筆者擬基于α截集法進(jìn)行生土窯居的模糊隨機(jī)可靠度分析.

    通過α截集法,將土體模糊的力學(xué)參數(shù)轉(zhuǎn)化為分布在一定區(qū)間上的離散數(shù),結(jié)合強(qiáng)度折減有限元法,構(gòu)建生土窯居的功能函數(shù),進(jìn)而求得模糊隨機(jī)可靠度,探索土體力學(xué)參數(shù)的模糊性對生土窯居可靠度的影響.

    1 基于α截集法的土體模糊參數(shù)[5]

    設(shè)生土窯居土體模糊參數(shù)的均值為對稱三角形模糊數(shù)[xB,xN,xT](圖1),取某一α 截集(0≤α≤1),則其離散結(jié)果為區(qū)間數(shù)圖中,xN為模糊數(shù)的均值分別為 α 截集上的模糊數(shù)的左右兩個端點值,α =0 時的可簡記為xB,xT.對于對稱三角形模糊數(shù),在α截集上有如下關(guān)系式:

    式中:σ為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差,反映參數(shù)隨機(jī)性的大小;f為模糊程度系數(shù),反映參數(shù)模糊性的大小.依據(jù)專家知識及工程經(jīng)驗,f∈[0.5,1.5][6].

    圖1 三角型模糊數(shù)及其隸屬度Fig.1 Triangular fuzzy number and its membership degree

    根據(jù)河南三門峽陜縣生土窯居所在的黃土土層分布,結(jié)合中國市政工程西北設(shè)計研究院有限公司進(jìn)行的土工試驗,取陜塬(歷史上對陜縣黃土塬的簡稱)的黃土力學(xué)參數(shù)平均值如表1所示.

    表1 黃土力學(xué)參數(shù)平均值Tab.1 Average mechanical parameters of loess

    參照文獻(xiàn)中有關(guān)土工參數(shù)的變異系數(shù)δ的資料[7],除容重的變異系數(shù)較小,約為0.03,其它參數(shù)的變異系數(shù)δ的取值范圍為δ∈[0.1,0.3],可將參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差記為σ=δ·xN,式(1)可寫為:

    以黏聚力X1、內(nèi)摩擦角X2兩個不相關(guān)的正態(tài)模糊隨機(jī)變量為例,模糊數(shù)的均值分別為51.8 kPa、28.1°,二者采用相同的變異系數(shù) δ,則在α截集上,X1的端點值分別為的端點值分別為28.1(1+(1- α)fδ).所以 α 截集上模糊隨機(jī)變量(X1,X2)的兩種極值組合為在兩種組合下進(jìn)行隨機(jī)可靠度分析,可求得α截集上可靠指標(biāo)的極小值和極大值,亦可求得對應(yīng)的設(shè)計驗算點可見通過α截集法這一橋梁,模糊隨機(jī)可靠度問題轉(zhuǎn)化為了隨機(jī)可靠度問題.

    2 生土窯居響應(yīng)面函數(shù)的構(gòu)建

    筆者采用響應(yīng)面函數(shù)代表生土窯居的功能函數(shù),輸入為土體的力學(xué)性能參數(shù),“響應(yīng)”采用“富裕安全系數(shù)”,由生土窯居的有限元模型計算求得.

    2.1 有限元分析模型

    由文獻(xiàn)可知[8],生土窯居可按平面應(yīng)變問題研究.選取三聯(lián)孔模型,每孔窯室的尺寸相同,中間主窯兩側(cè)的窯腿寬度相同.根據(jù)在河南三門峽陜縣的調(diào)研,窯居的幾何參數(shù)取平均值,如圖2、表2所示.為減少計算量,取對稱的一半模型進(jìn)行有限元建模如圖3所示,根據(jù)圣維南原理,有限元分析模型的總尺寸取窯室尺寸的5倍以上.由于模型較大,圖3中截取的是有窯洞的部分.圖3(a)中窯洞未開挖,施加了重力荷載并平衡了初始地應(yīng)力.

    圖2 生土窯居各部位示意圖Fig.2 Sketch map of earth-sheltered dwelling

    表2 生土窯居幾何參數(shù)Tab.2 Geometry parameters of earth-sheltered dwellings

    圖3 有限元分析模型Fig.3 Model of Finite Element Analysis

    生土窯居的營造不同于一般建筑,它不是加荷,而是經(jīng)歷了卸荷——加荷的過程.窯室的開挖使初始的自重應(yīng)力場發(fā)生了應(yīng)力重分布,并且各窯室的開挖不是同時完成的,有的經(jīng)歷數(shù)年,窯室開挖完成后(如圖3(b)所示),施加地面均布荷載4 kN/m2×1.4=5.6 kN/m2,其中1.4為可變荷載分項系數(shù),標(biāo)準(zhǔn)值取4 kN/m2是考慮到地面經(jīng)常有車輛行駛或停留,參考《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》GB 50009—2001中關(guān)于樓面作為汽車通道及停車庫的荷載取值.

    靠近窯室的部分網(wǎng)格劃分的較密,離得越遠(yuǎn)網(wǎng)格劃分越粗.模型右側(cè)為對稱約束,底部固定豎向約束,左側(cè)固定水平約束.

    每輪有限元分析的輸入?yún)?shù)為土體的力學(xué)材料參數(shù).首先全部力學(xué)參數(shù)均作為隨機(jī)變量輸入,可求得各隨機(jī)變量的靈敏度系數(shù),從中選擇靈敏度系數(shù)較大的隨機(jī)變量,作為模糊隨機(jī)變量,再進(jìn)行生土窯居的模糊隨機(jī)可靠度分析.

    2.2 基于強(qiáng)度折減法的富裕安全系數(shù)

    采用“富裕安全系數(shù)”(以F'表示)作為響應(yīng)面函數(shù)的“響應(yīng)”,即代表功能函數(shù)在不同隨機(jī)變量組合情況下的值,規(guī)定F'與安全系數(shù)(F)的關(guān)系式為:[9]

    采用強(qiáng)度折減法確定結(jié)構(gòu)的安全系數(shù),其原理如式(4)所示.式中:w為強(qiáng)度折減系數(shù);c、φ和c'、φ'分別為折減前后的黏聚力和內(nèi)摩擦角;結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)時的折減系數(shù)即為安全系數(shù)F.極限狀態(tài)的判定以特征點的位移發(fā)生突變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn).

    對于圖3的有限元模型,選取主窯拱圈的中點A作為特征點,當(dāng)土體的力學(xué)參數(shù)均取表1所示的平均值時,特征點豎向位移與w的關(guān)系如圖4所示.圖中位移以向上為正.

    圖4 特征點豎向位移與強(qiáng)度折減系數(shù)關(guān)系圖Fig.4 Relation between vrtical dsplacement of caracteristic pint and srength reduction fctor

    由圖4可知,折減系數(shù)由1.58增大為1.59時,向下位移由48 mm增大為98 mm,發(fā)生突變,說明w為1.58時窯居處于極限狀態(tài),安全系數(shù)F為 1.58,F(xiàn)'為 0.48.

    2.3 響應(yīng)面函數(shù)

    本文的響應(yīng)面函數(shù)采用不含交叉項的二次多項式.當(dāng)只有黏聚力、內(nèi)摩擦角兩個模糊隨機(jī)變量時,其形式如式(5)所示.

    式中:a、b1、b2、c1、c2為待定系數(shù).求解響應(yīng)面函數(shù),轉(zhuǎn)化為求(5)式中的待定系數(shù),需首先確定一系列試驗點,并按上文2.1和2.2節(jié)所述建立有限元模型,求得富裕安全系數(shù)F',即求得與試驗點對應(yīng)的功能函數(shù)值.本文的試驗點采用坐標(biāo)軸上的點的中心進(jìn)行復(fù)合設(shè)計.

    每輪有限元計算,響應(yīng)面函數(shù)的獲取按如下步驟進(jìn)行:①按照各試驗點的數(shù)據(jù)進(jìn)行有限元建模計算,求得對應(yīng)的F';②解線性方程組,獲取待定系數(shù) a、b1、b2、c1、c2,即求得該輪有限元計算的響應(yīng)面函數(shù).

    每輪得到響應(yīng)面函數(shù)后,即可按照改進(jìn)的一次二階矩法求得可靠指標(biāo)與驗算點,當(dāng)前后兩輪所得驗算點的模滿足(6)式時,迭代終止.

    3 生土窯居的模糊隨機(jī)可靠度

    3.1 土體參數(shù)中關(guān)鍵的模糊隨機(jī)變量

    土體的力學(xué)參數(shù)如表1所示共有5個,如果都作為模糊隨機(jī)變量,計算代價較高,可進(jìn)行常規(guī)隨機(jī)可靠度分析,求得各參數(shù)的靈敏度系數(shù),以靈敏度系數(shù)大者作為模糊隨機(jī)變量.

    各參數(shù)的均值取表1數(shù)據(jù),容重的變異系數(shù)取為0.03,其它參數(shù)的變異系數(shù)取為0.3[7],基于強(qiáng)度折減法建立響應(yīng)面函數(shù),進(jìn)而求得可靠指標(biāo)與靈敏度系數(shù),各參數(shù)的靈敏度系數(shù)如表3所示.

    表3 各參數(shù)的靈敏度系數(shù)Tab.3 Sensitivity coefficient of parameters

    由表3可以看出,黏聚力和內(nèi)摩擦角的靈敏度系數(shù)絕對值遠(yuǎn)大于其它參數(shù),二者可作為模糊隨機(jī)變量,進(jìn)行生土窯居的模糊隨機(jī)可靠度分析.其中靈敏度系數(shù)是負(fù)數(shù)的為抗力項,正數(shù)的為荷載項.

    3.2 生土窯居的模糊隨機(jī)可靠度

    模糊隨機(jī)變量表示為(X1,X2),其模糊均值為表1所示的黏聚力和內(nèi)摩擦角的取值,在不同的模糊系數(shù)f、變異系數(shù)δ情形下,可得(X1,X2)的兩種極值組合為,二者均對應(yīng)式(4)中未折減、初始的(c,φ),基于強(qiáng)度折減法建立響應(yīng)面函數(shù),可求得α截集上可靠指標(biāo)的極小值和極大值,亦可求得對應(yīng)的設(shè)計驗算點當(dāng)f、δ在其常見范圍內(nèi)變化,即取 f∈[0.5,1.5],δ∈[0.1,0.3]時,模糊可靠度的計算結(jié)果如圖5~6所示.

    由圖5、圖6可知,模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)不是一定值,而是分布在一個三角形的區(qū)域,這是因為在α截集上,模糊隨機(jī)參數(shù)是呈三角形分布的;當(dāng)隸屬度為1時,模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)退化為隨機(jī)可靠指標(biāo),成為一定值;在隸屬度小于1時,模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)在一閉區(qū)間上分布,且隸屬度越小,該閉區(qū)間的跨度越大,但閉區(qū)間的中點均為隸屬度為1時的模糊隨機(jī)可靠指標(biāo),這是因為模糊數(shù)是呈對稱三角形分布的.

    由圖5可知,當(dāng)δ由0.1增大為0.2時,模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)的中值(即隸屬度為1時的值)由3.86減小到1.93,相應(yīng)的失效概率由5.67e-5增大為2.68e-2,即失效概率增大了約470倍,說明土體黏聚力和內(nèi)摩擦角變異系數(shù)的增大,將導(dǎo)致生土窯居可靠度的急劇降低;δ為0.3時,生土窯居最小的失效概率約為1/250,是很大的.

    由圖6可知,模糊程度系數(shù)f的變化,不影響模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)的中值;隨著模糊程度系數(shù)f的減小,可靠指標(biāo)分布的閉區(qū)間跨度越來越小,并且可得出推論,當(dāng)f=0時,即模糊程度為0時,模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)退化為隨機(jī)可靠指標(biāo);當(dāng)f=0.5、δ=0.1時,模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)的最小值為3.20,生土窯居仍是可靠的,與模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)三角形分布對應(yīng)的土體黏聚力取值范圍是[49.21 kPa,54.39 kPa],內(nèi)摩擦角的取值范圍是[26.70°,29.51°].

    3.3 原始正態(tài)隨機(jī)空間中的模糊驗算點

    原始正態(tài)隨機(jī)空間是指正態(tài)隨機(jī)變量未經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理的空間.計算表明,無論f、δ及α如何取值,生土窯居的模糊驗算點均為(33.73±1.24 kPa,23.47 ±0.9°),驗算點的粘聚力和內(nèi)摩擦角僅在很小的范圍內(nèi)浮動,在驗算點的平均值處(33.73 kPa,23.47°),F(xiàn)'為 0,說明驗算點是準(zhǔn)確的,出現(xiàn)上下微小浮動是和(6)式的迭代收斂準(zhǔn)則對應(yīng)的,該精度已滿足工程要求.

    在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)空間中,不同的f、δ及α取值,驗算點的坐標(biāo)差異很大,而回歸到原始正態(tài)隨機(jī)空間中,其坐標(biāo)均非常接近(33.73 kPa,23.47°),可見在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)空間中呈現(xiàn)出的驗算點,更顯示出“模糊”的特點,而事實與此相反,在生土窯居的幾何參數(shù)等為定值的條件下,只考慮土體黏聚力和內(nèi)摩擦角的模糊隨機(jī)性,模糊驗算點為一定值.

    模糊驗算點為定值與事實相符,生土窯居在什么樣的土體材料參數(shù)下處于承載能力極限狀態(tài),不與所采用的土體模糊隨機(jī)參數(shù)相關(guān).

    而模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)之所以在一定區(qū)間上分布,呈現(xiàn)出“模糊”的特點,是因為驗算點在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)空間中的坐標(biāo)與土體模糊隨機(jī)參數(shù)相關(guān),而可靠指標(biāo)為驗算點在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)空間中到原點的距離.

    3.4 黏聚力和內(nèi)摩擦角的靈敏度系數(shù)

    計算表明,無論f、δ及α如何取值,如果保留到小數(shù)點后一位數(shù)字,黏聚力和內(nèi)摩擦角的靈敏度系數(shù)分別為-0.9和-0.4,二者均為抗力項,即隨著兩個參數(shù)的減小,生土窯居將接近承載能力極限狀態(tài),并且和3.1節(jié)的結(jié)果一致,可見模糊隨機(jī)可靠度分析并不改變二者對可靠指標(biāo)的影響程度.

    同時說明,黏聚力對可靠指標(biāo)的影響程度更大.在陜塬,經(jīng)??梢娊踔绷⒌狞S土峭壁,充分說明該種黃土材料的粘聚力較大,適宜建造生土窯居.

    4 結(jié)論

    通過α截集法,將黃土的力學(xué)參數(shù)的模糊分布離散在區(qū)間上,把模糊隨機(jī)可靠度問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)可靠度問題,經(jīng)過多輪有限元分析,結(jié)合強(qiáng)度折減法,構(gòu)造生土窯居的響應(yīng)面函數(shù),求得模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)與驗算點,所得結(jié)論如下:

    (1)α截集法是將模糊隨機(jī)可靠度問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)可靠度問題的橋梁,且其參數(shù)中包含模糊系數(shù)f、變異系數(shù)δ,即能同時考慮模糊性和隨機(jī)性的影響,用來描述黃土力學(xué)參數(shù)的模糊分布是合適的.

    (2)基于強(qiáng)度折減法的富裕安全系數(shù),從整體上描述了生土窯居的安全性,可認(rèn)為生土窯居是一構(gòu)件,避免了把生土窯居這一復(fù)雜系統(tǒng)劃分為串聯(lián)、并聯(lián)構(gòu)件的問題,使求其模糊隨機(jī)可靠度這一問題變?yōu)榭赡?

    (3)河南三門峽陜縣的生土窯居在營造過程中,十分注意選址,黃土材料力學(xué)參數(shù)的模糊性和變異性均較小,生土窯居的可靠性較高、選址合理.

    (4)模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)不是一定值,而是分布在某個區(qū)間,即生土窯居的失效概率在一定的范圍,更符合真實的情況.

    (5)土體材料參數(shù)變異系數(shù)的增大,將導(dǎo)致可靠指標(biāo)的迅速減小;模糊系數(shù)的增大,將導(dǎo)致模糊可靠指標(biāo)分布范圍變大.

    (6)在生土窯居的幾何參數(shù)和荷載條件為定值的情況下,關(guān)于土體參數(shù)的驗算點為定值(33.73kPa,23.47°),不呈現(xiàn)“模糊性”.

    (7)黏聚力比內(nèi)摩擦角對可靠指標(biāo)的影響更大,在生土窯居營造時,選址應(yīng)選擇黏聚力大的黃土區(qū)域.

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