單調(diào)算子的不動點(diǎn)定理研究

金朝鈞

(雞西大學(xué)，黑龍江 雞西 158100)

單調(diào)算子的不動點(diǎn)定理研究

金朝鈞

(雞西大學(xué)，黑龍江 雞西 158100)

單調(diào)算子廣泛存在于非線性微分方程和積分方程的研究中，擬給出非緊非連續(xù)的單調(diào)算子的一條不動點(diǎn)定理。

單調(diào)算子；不動點(diǎn)

1引言和預(yù)備

單調(diào)算子廣泛存在于非線性微分方程和積分方程的研究中，本文給出非緊非連續(xù)的不動點(diǎn)定理。

以下均設(shè)E是實(shí)Banach空間，θ是E中的零元，P是E的錐，≤是由P定義的半序，即?x，y ∈E ，若y-x ∈P，則x≤y. 錐P稱為正規(guī)錐，若果存在常數(shù)M0，使得θ≤x≤y(x，y ∈E)蘊(yùn)含‖x‖≤M，‖y‖，其中M為正規(guī)常數(shù)。錐稱為體錐，如果P中含有內(nèi)點(diǎn)A()→∠φψ.

設(shè)D?E.A:D×D→稱為混合單調(diào)算子，如果A(x，y)關(guān)于x單調(diào)遞增，關(guān)于y單調(diào)遞減，x*∈D稱為不動點(diǎn)。如果A滿足A(x*，x*)=x*.設(shè)hθ,記hθ={x∈E:?λ，μ0，λh≤μh}. 顯然，若P是體錐設(shè)eθ成A：P→E為e-凹算子，若：

(i) AA(P-{?})?Pe；

(ii)?x∈Pe?0t1,?η=η(t,x)0，使得

A(tx)≥(1+η)tAx

(1.1)

成立，η=η(t,x)稱為A的特征函數(shù)

A(tx+(1-ty))≤tAx+(1-t)Ay

(1.2)

A稱為凹算子，若-A是凸算子

A(tx)≥tαAx(A(tx)≤t-αAx),

?x∈D,t∈(01).

(1.3)

定義 設(shè)D?E,A:D×D→E,fg-凹凸算子，若存在f :(0,1]×D→(0,∞)以及

(1)A(tx,y)≥f (t,x)A(x,y),?t∈(0,1),(x,y)∈D×D;

2主要結(jié)果與證明

命題 設(shè)P是E中的正規(guī)錐，u0,v0∈E,u0≤v0,A:[u0,v0]×[u0,v0]→E是混合算子，若A是fg-凹凸算子，且滿足

(1)?r0u0u0≥r0v0;v0≤A(u0,v0),A(v0,u0)≤v0；

(2)?ω0∈[u0,v0]f (t,x)g(t,x)((tx)∈(0,1)×[u0,v0])關(guān)于x在ω0取得最小值，且f；g關(guān)于t下半連續(xù)，則A在[u0,v0]有唯一不動點(diǎn)。

定理 設(shè)P是E中的正規(guī)錐，A:P×P→E是混合算子，且滿足

(i)對固定y,A(·，y):P→E是α凹算子，對固定的x，是A(x,·)：→E凸子

A(u0,v0)≥εA(v0,θ)

(2.1)

則算子A在[u0,v0]中有不動點(diǎn)

證明 令uun=A(un-1,vn-1)，vn=A(vn-1,un-1),n=1,2,…,知

u1≤A(u1,v1),A(v1,u1)≤v1

以及

u0≤u1≤u2…≤un≤…≤vn…≤v2≤v1≤v0

由(2.1)得

u1≥εv1,

于是ε∈(0,1],往證A:[u1,v1]×[u1,v1]→E是fg-凹凸算子，只需證A:[u0,v0]×[u0,v0]→E 是fg-凹凸算子，其中

(2.2)

事實(shí)上，?x,y∈[u0,v0],t∈(0,1)，有

A(x,ty)=A(x,ty+(1-t)θ≤tA(x,y)+(1-t)A(x,θ)

A(tx,y)≥tαA(x,y)=f (t,x)A(x,y)

下證f與g滿足

(2.3)

(2.4)

知(2.3)等價(jià)于

(2.5)

再由

φ(t)=εtα-1=(1-ε)t-1

(2.6)

于是(2.5)式成立，得(2.3)式成立，故A:[u1,v1]×[u1,v1]→E是fg-凹凸算子。再由(2.4)式知關(guān)于x單調(diào)，關(guān)于t下半連續(xù)，由命題知A在[u1,v1]中有唯一不動點(diǎn)，從而A在[u0,v0]有唯一不動點(diǎn)。

[1]金朝鈞，等.非線性分析引論[M].哈爾濱；東北林業(yè)大學(xué)出版社,2004.

[2]金朝鈞.序集原理與不動點(diǎn)定理[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2004(4).

[3]金朝鈞.增集值映象不動點(diǎn)定理[J].雞西大學(xué)學(xué)報(bào),2006(5).

[4]姜麗娟,金朝鈞.集值映象不動點(diǎn)定理[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2006(4).

[5]孫經(jīng)先.非線性泛函分析序集一般原理的推廣[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),1990(3).

[6]張金清,等.一個(gè)非線性連續(xù)增算子不動點(diǎn)定理及應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2001(1).

[7]孫經(jīng)先.凸冪 凝聚算子的不動點(diǎn)定理及其對抽象半線性發(fā)展方程的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005.

[8]周英告.多值增算5一個(gè)子的不動點(diǎn)定理[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2006(6).

[9]楊云蘇.Banach 空間中定點(diǎn)非擴(kuò)張隨機(jī)半閉1- 集壓縮映象的隨機(jī)不動點(diǎn)定理[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2006(8).

ClassNo.:O177DocumentMark：A

(責(zé)任編輯：鄭英玲)

StudyofFixedPointTheoremofMonotoneOperator

Jin Chaojun

There are many monotone operators in the nonlinear differential and integral equations. This paper presents a fixed point theorem of the non-compact and non-continuous monotone operators.

fixed points；monotone operators

金朝鈞，教授，雞西大學(xué)。

黑龍江省教育廳科研項(xiàng)目(項(xiàng)目編號12515249)。

1672-6758(2012)12-0135-2

O177

A