結(jié)構(gòu)振動(dòng)的負(fù)剛度控制

汪志昊，楊亞彬

(華北水利水電學(xué)院，河南 鄭州450011)

自Yao［1］1972年系統(tǒng)地提出結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的概念以來，結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制在過去的近40年里得到了長足的發(fā)展.結(jié)構(gòu)主動(dòng)與半主動(dòng)振動(dòng)控制技術(shù)在結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域占有重要地位，相應(yīng)控制力的特性也是一個(gè)關(guān)注已久的問題.

歐進(jìn)萍［2］首次系統(tǒng)研究了建筑結(jié)構(gòu)層間主動(dòng)控制力的特征，取得了層間控制力主要體現(xiàn)為阻尼力的重大發(fā)現(xiàn). 在此基礎(chǔ)上，Li 等［3］深入研究了建筑結(jié)構(gòu)隔震系統(tǒng)的隔震層主動(dòng)控制力特征，解釋了基于智能阻尼器的半主動(dòng)控制完全可以達(dá)到主動(dòng)控制效果的原因.張春巍等［4］研究了建筑結(jié)構(gòu)主動(dòng)質(zhì)量阻尼器的主動(dòng)控制力特性，結(jié)果發(fā)現(xiàn)主動(dòng)控制力只有50% 的情況下體現(xiàn)為阻尼力，從而闡明了基于變阻尼系統(tǒng)的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器難以達(dá)到主動(dòng)控制的效果.汪志昊與陳政清［5］研究了隔震橋梁主動(dòng)控制裝置控制力的特性，結(jié)果發(fā)現(xiàn)主動(dòng)控制力主要表現(xiàn)為阻尼力，因此可以用半主動(dòng)變阻尼阻尼器，甚至用被動(dòng)粘滯阻尼器替代主動(dòng)控制器，這也在一定程度上解釋了已有研究者的一個(gè)困惑，即隔震橋梁的半主動(dòng)控制或主動(dòng)控制相對最優(yōu)被動(dòng)控制在很多情況下難以體現(xiàn)預(yù)期的顯著優(yōu)越性.

此外，在結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)與半主動(dòng)控制的研究中發(fā)現(xiàn)了主動(dòng)控制力的負(fù)剛度現(xiàn)象［6－12］. Iemura 與Pradono［7］最早明確提出了結(jié)構(gòu)振動(dòng)的負(fù)剛度控制策略.筆者系統(tǒng)回顧與研究了結(jié)構(gòu)振動(dòng)負(fù)剛度控制的來源、作用及實(shí)現(xiàn)方式，以便為負(fù)剛度控制的實(shí)際工程應(yīng)用打下基礎(chǔ).

1 阻尼器出力與位移關(guān)系

圖1給出了3 種典型的阻尼器力與位移滯回曲線，3 種滯回環(huán)的面積相等，分別對應(yīng)零剛度、正剛度與負(fù)剛度3 種情況.

圖1 具有不同剛度特性的阻尼器力－位移滯回曲線

圖1中，剛度由虛線斜率表征. 所謂負(fù)剛度控制，即控制裝置的出力與位移存在一個(gè)負(fù)斜率.理想的粘滯阻尼器在較低的振動(dòng)頻率(3 Hz 以內(nèi))工作時(shí)，一般認(rèn)為其具有零剛度.正剛度的典型代表是粘彈性阻尼器，而內(nèi)剛度為負(fù)的被動(dòng)阻尼器較少.

2 負(fù)剛度控制的作用

對結(jié)構(gòu)振動(dòng)被動(dòng)控制的實(shí)際阻尼器而言，不可避免地存在一定的內(nèi)剛度，一般認(rèn)為內(nèi)剛度對阻尼器的耗能起負(fù)面作用，因?yàn)閯偠葧?huì)使阻尼器兩端的實(shí)際相對位移減小. 下面分別以安裝阻尼器的單自由度結(jié)構(gòu)與拉索減振系統(tǒng)為例分析負(fù)剛度控制的作用，并著重考察負(fù)剛度控制對結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比的影響.

2.1 單自由度振動(dòng)系統(tǒng)

對圖2所示的安裝阻尼器的單自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)而言，忽略結(jié)構(gòu)固有阻尼時(shí)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為

式中:m，k 分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與剛度;cd，kd分別為阻尼器的線性粘滯阻尼系數(shù)與剛度系數(shù).

圖2 單自由度振動(dòng)系統(tǒng)

據(jù)此得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比表達(dá)式為

式(2)表明，在m，k，cd一定的前提下，kd越小，阻尼器對系統(tǒng)附加模態(tài)阻尼比的提高就越大. 如果能夠使kd＜0，阻尼比的提高就會(huì)更加明顯，此時(shí)的負(fù)剛度直觀上體現(xiàn)為結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率的降低.

2.2 拉索減振系統(tǒng)

隨著斜拉橋的跨度逐漸增大，由于斜拉索的柔性、相對小的質(zhì)量及較低的結(jié)構(gòu)阻尼，拉索極易發(fā)生大幅的風(fēng)振、風(fēng)雨振和參數(shù)振動(dòng)等.外置機(jī)械阻尼措施是一種最為常見，也較為有效的拉索減振方式.考慮阻尼器內(nèi)剛度的影響，安裝線性粘滯阻尼器后斜拉索的模態(tài)阻尼比可以表示為［13］

式中:xd為阻尼器安裝位置與鄰近的拉索錨固端之間距離;L 為拉索的長度;ηi與分別為無量綱的阻尼參數(shù)與阻尼器內(nèi)剛度，

式中:T 為拉索的索力;ωi為拉索的第i 階模態(tài)頻率;cd為線性粘滯阻尼器的阻尼系數(shù). 不難看出，阻尼器的正剛度會(huì)降低拉索可以實(shí)現(xiàn)的最大模態(tài)阻尼比，這也正是內(nèi)剛度幾乎為零的液體粘滯阻尼器在拉索減振中應(yīng)用較為廣泛的原因. 若采用最優(yōu)被動(dòng)粘滯阻尼設(shè)計(jì)，即取ηi=1，根據(jù)式(3)就可以得到圖3所示的拉索約化模態(tài)阻尼比ζi/(xd/L)隨無量綱剛度的變化關(guān)系.從圖3可以清晰地看出，在一定范圍內(nèi)的負(fù)剛度可以顯著提高拉索所能達(dá)到的最大模態(tài)阻尼比，特別地當(dāng)=－1，拉索的模態(tài)阻尼比達(dá)到最大值，且為零剛度對應(yīng)值的2 倍.

圖3 ζi/(xd/L)隨的變化關(guān)系

3 負(fù)剛度控制實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的分析

由圖3聯(lián)想到開發(fā)內(nèi)剛度為負(fù)的阻尼器，從而提高結(jié)構(gòu)的減振效果. 實(shí)際的被動(dòng)阻尼器剛度均體現(xiàn)出正剛度或零剛度，一般來說只有主動(dòng)控制裝置才能實(shí)現(xiàn)控制力的負(fù)剛度特性.最近的研究表明，依托主動(dòng)控制的半主動(dòng)控制系統(tǒng)也具有實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度控制的能力［6－12］.

3.1 主動(dòng)變阻尼控制系統(tǒng)

Iemura 與Pradono［6］最先基于主動(dòng)變阻尼控制系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)了控制力的負(fù)剛度特性，并系統(tǒng)地提出了結(jié)構(gòu)振動(dòng)的負(fù)剛度控制算法，結(jié)合開發(fā)的主動(dòng)變阻尼裝置試驗(yàn)測試，得到了主動(dòng)變阻尼裝置的力學(xué)模型

Iemura 與Pradono［7］提出的負(fù)剛度控制算法為

式中:kneg與cs分別為預(yù)先確定的負(fù)剛度與阻尼系數(shù);fc與fDc分別為理論計(jì)算的主動(dòng)控制力與主動(dòng)變阻尼裝置可以實(shí)現(xiàn)的阻尼力;udev與分別為阻尼器的相對位移與速度.該控制策略的主要思想是:當(dāng)主動(dòng)控制力與阻尼器的速度反向，即主動(dòng)控制力表現(xiàn)為阻尼力時(shí)，通過式(5)反算阻尼器的開孔率，使此時(shí)的主動(dòng)變阻尼裝置產(chǎn)生與主動(dòng)控制力接近的阻尼力;當(dāng)主動(dòng)控制力與阻尼器的速度同向時(shí)，將開孔率調(diào)節(jié)到最大，即調(diào)節(jié)此時(shí)的阻尼力至最小.

圖4給出了按照這種控制策略，對一個(gè)鋼框架結(jié)構(gòu)減震試驗(yàn)測試得到的阻尼器出力與位移的關(guān)系曲線.

圖4 主動(dòng)變阻尼裝置體現(xiàn)的負(fù)剛度特性

從圖4中可以看出，主動(dòng)變阻尼裝置體現(xiàn)出預(yù)期的負(fù)剛度.采用這一方法，Iemura 等先后研究了斜拉橋的Benchmark 控制問題［6］與日本一座斜拉橋［7］的半主動(dòng)減震控制，均取得了較好的減震效果.從上面的分析可以看出，負(fù)剛度控制屬于分散控制，即只需要局部的阻尼器相對振動(dòng)信息反饋控制主動(dòng)變阻尼裝置的開孔率，從而簡化了結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制系統(tǒng)，體現(xiàn)出很強(qiáng)的實(shí)用性.

3.2 普通MR 阻尼器控制系統(tǒng)

Iemura 等［8－9］還首次研究了通過調(diào)節(jié)磁流變(MR)阻尼器的輸入電壓實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的負(fù)剛度控制，并先后用于智能隔震建筑結(jié)構(gòu)與高架橋Benchmark 問題的減震控制仿真分析.Iemura 等［9］提出的MR 阻尼器輸入電壓切換規(guī)則為

圖5進(jìn)一步給出了MR 阻尼器輸入電壓的示意圖.

圖5 MR 阻尼器的輸入電壓控制示意圖

結(jié)合式(8)與圖5可以看出:當(dāng)阻尼器從最大負(fù)位移逐漸向最大正位移運(yùn)動(dòng)，速度為正，此時(shí)MR 阻尼器輸入電壓逐漸線性降低;當(dāng)阻尼器從最大正位移逐漸向最大負(fù)位移運(yùn)動(dòng)，速度為負(fù)，此時(shí)MR 阻尼器輸入電壓也是逐漸線性降低;MR 阻尼器的控制電壓僅需阻尼器的速度方向與位移進(jìn)行反饋控制.圖6給出了試驗(yàn)得到的MR 阻尼器力與位移的關(guān)系曲線. 由圖可知，式(8)控制算法下的MR 阻尼器體現(xiàn)出了明顯的負(fù)剛度控制特性.

圖6 MR 阻尼器出力與位移的關(guān)系

此外，Li 等［10］、Ou 與Li［11］在研究斜拉索的半主動(dòng)振動(dòng)控制時(shí)，也發(fā)現(xiàn)了MR 阻尼器的負(fù)剛度現(xiàn)象.圖7給出了文獻(xiàn)［10］斜拉索風(fēng)致振動(dòng)控制的MR 阻尼器力與位移關(guān)系的典型曲線及MR 阻尼器跟蹤主動(dòng)控制力的情況.

3.3 自供電MR 阻尼器控制系統(tǒng)

圖7 主動(dòng)、半主動(dòng)控制力與位移的關(guān)系

為了解決MR 阻尼器對外部電源的依賴，陳政清與汪志昊［12，14］基于結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量回收原理研制了具有自供電特性的MR 阻尼器系統(tǒng)，其由能量回收電機(jī)與只需較小能量供給的MR 阻尼器集成. 基于自供電MR 阻尼器被動(dòng)控制的模型斜拉索減振試驗(yàn)平臺開展的一系列減振試驗(yàn)結(jié)果表明［12］:自供電MR 阻尼器對模型斜拉索(長21.6 m)的前5 階模態(tài)振動(dòng)均具有較好的控制效果，既能夠大幅提高拉索的模態(tài)阻尼比，又不會(huì)造成MR 阻尼器的嵌固，使得減振效果與拉索的振動(dòng)幅值水平幾乎無關(guān)，而外供電MR 阻尼器被動(dòng)控制只能在拉索振動(dòng)幅值較大時(shí)，才有較好的減振效果. 進(jìn)一步分析表明，自供電MR 阻尼器對拉索優(yōu)越的減振效果主要?dú)w功于減振系統(tǒng)同時(shí)具有的粘滯阻尼與負(fù)剛度控制特性. 圖8給出了典型工況下的自供電MR 阻尼器力－位移關(guān)系曲線.由圖8可知，自供電MR 阻尼器從第2 階模態(tài)開始體現(xiàn)出阻尼力的負(fù)剛度特性，且模態(tài)階數(shù)越高，負(fù)剛度特性越顯著.

圖8 拉索減振系統(tǒng)中自供電MR 阻尼器出力與位移的關(guān)系

4 結(jié) 語

目前，基于直接負(fù)剛度控制的結(jié)構(gòu)智能減振系統(tǒng)的研究還較少，下一步應(yīng)加大研究使得負(fù)剛度控制能夠直接應(yīng)用于實(shí)際工程，從而在保證減振效果的同時(shí)簡化現(xiàn)有的主動(dòng)與半主動(dòng)控制系統(tǒng).

［1］Yao J T P.Concept of structural control［J］.ASCE Journal of the Structural Division，1972，98:1113－1119.

［2］歐進(jìn)萍. 結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制—主動(dòng)、半主動(dòng)和智能控制［M］.北京:科學(xué)出版社，2003.

［3］Li H，Ou J P.A design approach for semi-active and smart base-isolated buildings［J］. Structural Control and Health Monitoring，2006，13:660－681.

［4］張春巍，歐進(jìn)萍. 結(jié)構(gòu)振動(dòng)AMD 控制系統(tǒng)主動(dòng)控制力特征指標(biāo)與分析［J］.工程力學(xué)，2007，24(5):1－9.

［5］汪志昊，陳政清.隔震橋梁地震反應(yīng)的最優(yōu)主動(dòng)控制力特性研究［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2011，24(2):175－180.

［6］Iemura H，Pradono M H. Application of pseudo negative stiffness control to the benchmark cable-stayed bridges［J］.Journal of Structural Control，2003，10(3):187－203.

［7］Iemura H，Pradono M H. Simple algorithm for semi-active seismic response control of cable-stayed bridges［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2005，34(4):10－25.

［8］Iemura H，Igarashi A，Pradono M H，et al. Negative stiffness friction damping for seismically isolated structures［J］.Structural Control and Health Monitoring，2006，13(2－3):775－791.

［9］Pradono M H，Iemura H，Igarashi A，et al. Passively controlled MR damper in the benchmark structural control problem for seismically excited highway bridge［J］. Structural Control and Health Monitoring，2009，16(6):626－638.

［10］Li H，Liu M，Ou J P. Negative stiffness characteristics of active and semi-active control systems for stay cables［J］.Structural Control and Health Monitoring，2008，15(2):120－142.

［11］Ou J P，Li H.Analysis of capability for semi-active or passive damping systems to achieve the performance of active control systems［J］.Structural Control and Health Monitoring，2010，17(7):778－794.

［12］Wang Z H，Chen Z Q.Feasibility study of a self-powered magnetorheological damper for vibration control of a stay cable［C］//Advances in Environmental Vibration. Beijing:Science Press，2011:875－882.

［13］周亞剛，孫利民.斜拉索－三單元Maxwell 阻尼器系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)分析［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，34(1):7－12.

［14］陳政清，汪志昊. 基于能量回收的土木工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制［J］.建筑科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2009，26(2):9－14.