基于跳擴(kuò)散過程的奇異期權(quán)定價(jià)

胡素敏,黎偉,武文娜

(1.河南城建學(xué)院數(shù)理系,河南 平頂山 467036; 2.中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

期權(quán)定價(jià)問題一直是金融數(shù)學(xué)和金融工程學(xué)研究的核心問題之一.在以往的期權(quán)定價(jià)中,人們普遍假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),它是一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)過程,而在金融市場(chǎng)上,一些重要信息的到達(dá)會(huì)刺激股票價(jià)格發(fā)生不連續(xù)的跳躍,因此股票價(jià)格應(yīng)包含連續(xù)擴(kuò)散過程和不連續(xù)的跳躍過程兩方面.關(guān)于股價(jià)服從跳擴(kuò)散過程的期權(quán)定價(jià)方面,周圣武研究了股價(jià)服從跳擴(kuò)散過程的標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)定價(jià)[1],劉宣會(huì)研究了基于跳擴(kuò)散過程的一類亞式期權(quán)定價(jià)[2].Zhang[3]和Freeman[4]等研究了跳擴(kuò)散模型下期權(quán)的定價(jià)和應(yīng)用問題.本文中將用跳擴(kuò)散過程研究股價(jià)的演化行為,即用Poisson過程描述股價(jià)的跳躍行為,在此基礎(chǔ)上應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性原理研究基于跳擴(kuò)散過程的上限型權(quán)證及局部支付型權(quán)證這兩種奇異期權(quán)的定價(jià)公式,并得出推論.

1 預(yù)備知識(shí)

研究跳擴(kuò)散過程下奇異期權(quán)的定價(jià)問題,需要如下假設(shè):

(H1) 股票價(jià)格ST遵循It過

(1.1)

其中r是無風(fēng)險(xiǎn)利率,Wt為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),σ為股票價(jià)格的波動(dòng)率,qt是一個(gè)強(qiáng)度為λ的Poisson計(jì)數(shù)過程,dqt是描述St發(fā)生跳躍的點(diǎn)過程,當(dāng)股票價(jià)格發(fā)生跳躍時(shí)dqt=1,否則dqt=0,U為股價(jià)的跳躍幅度,k=E(U). 應(yīng)用公式It解隨機(jī)微分方程(1.1)式,可得股票價(jià)格的對(duì)數(shù)過程lnSt所滿足的常系數(shù)隨機(jī)微分方程

(1.2)

(1.3)

其中τ=T-t,Un表示股票價(jià)格在第n個(gè)跳躍時(shí)刻tn的跳躍幅度,并假設(shè)U1,U2,…,Un,…是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量.

為表述方便,本文中沿用Merton[6]的假設(shè):

(1.4)

其中μ,σU為常數(shù).

(1.5)

而且由U,qt,Wt相互獨(dú)立可知Z1,Z2也相互獨(dú)立.

(1.6)

(H3) 權(quán)證存續(xù)期間內(nèi),標(biāo)的資產(chǎn)不支付紅利.

2 奇異期權(quán)的定價(jià)

定義2.1上限型權(quán)證或買權(quán) (capped calls)到期時(shí)的價(jià)值或現(xiàn)金流如下:

圖1 上限型權(quán)證之現(xiàn)金流

其中K1,K2給定,以圖1表示其現(xiàn)金流.

該權(quán)證的價(jià)值解釋如下：

(1) 在到期時(shí),標(biāo)的價(jià)格ST小于或等于履約價(jià)格K1,則該權(quán)證的價(jià)值為零(CT=0),與一般買權(quán)的到期價(jià)值相同.

(2) 在到期時(shí),若標(biāo)的價(jià)格介于K1和K2之間(K1

(3) 若ST≥K2,則權(quán)證的價(jià)值受到上限K2-K1的限制,這與一般買權(quán)價(jià)值的決定(ST-K2)不同.這是因?yàn)樵摍?quán)證的價(jià)值受到上限的約束,因此其權(quán)利金得以降低,若K2的設(shè)定越遠(yuǎn)離K1,則該權(quán)證越接近一般的買權(quán).因此,所節(jié)省的權(quán)利金越少.

在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里,上限型權(quán)證的評(píng)價(jià)模型可根據(jù)該權(quán)證 (或買權(quán))到期現(xiàn)金流量的期望值,以無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn),并可以用公式表示:Ct=e-r(T-t)E[(ST-K1)I{K1

其中IA代表示性函數(shù),定義為:

定理2.1標(biāo)的股票價(jià)格St服從跳擴(kuò)散過程(1.1)式,K的上限型權(quán)證在t時(shí)刻的價(jià)值為

(2.1)

定理2.1的證明Ct=e-rτE[(ST-K1)I{K1

e-rτE{{E[(ST-K1)I{K1

(2.2)

第一個(gè)數(shù)學(xué)期望為

E[(ST-K1)I{K1

(2.3)

第二個(gè)數(shù)學(xué)期望為

(2.4)

將(2.3)、(2.4)式代入(2.2)式

(2.5)

(2.6)

(2.7)

將(2.7)式代入(2.6)式得

推論2.1當(dāng)n=0時(shí),即股價(jià)不發(fā)生跳躍時(shí),

(2.8)

定義2.2局部支付型權(quán)證或買權(quán)在到期時(shí)的價(jià)值或現(xiàn)金流為:

圖2 局部支付型權(quán)證之現(xiàn)金流

該權(quán)證的期終價(jià)值解釋如下:

(1) 在到期T時(shí),標(biāo)的價(jià)格ST小于K1或大于K2時(shí),權(quán)證的價(jià)值為零(即若STK2,則CT=0).

(2) 在T時(shí),若標(biāo)的價(jià)格介于K1和K2之間(K1≤ST≤K2),該權(quán)證的價(jià)值為y+α(ST-K1),y為ST=K1時(shí)的權(quán)證價(jià)值.斜率α可調(diào)整為大于、小于或等于1,若α=1時(shí),權(quán)證的價(jià)值剛好等于y加上一般買權(quán)在K1及K2間的價(jià)值,即y+α(ST-K1).

在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里,局部支付型權(quán)證的評(píng)價(jià)模型可根據(jù)該權(quán)證到期現(xiàn)金流量的期望值,以無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn),并可以用下列公式表示:Ct=e-rτE{[y+α(ST-K1)]I{K1≤ST≤K2}}.

定理2.2標(biāo)的股票價(jià)格St服從跳擴(kuò)散過程(1.1)式的局部支付型權(quán)證在t時(shí)刻的價(jià)值為

(2.9)

各字母表示含義與定理2.1相同.

定理2.2的證明

(2.10)

第一個(gè)數(shù)學(xué)期望為

(2.11)

第二個(gè)數(shù)學(xué)期望為

(2.12)

將(2.11)～(2.12)式代入(2.10)式得：

(2.13)

(2.14)

(2.15)

將(2.15)式代入(2.14)式得

推論2.2當(dāng)n=0時(shí),即標(biāo)的股價(jià)不發(fā)生跳躍時(shí)

(2.16)

此處含義同推論2.1,此定價(jià)公式與文獻(xiàn)[7]中的結(jié)論相同.

3 數(shù)值算例

(1) 考慮一只股票價(jià)格服從跳擴(kuò)散過程的上限型權(quán)證,其定價(jià)公式為(2.1)式,各變量取值如下：

K1=35,K2=45,r=0.07,τ=T-t=0.5,σ=0.4,μ=0.1,σU=0.4,

考察在該權(quán)證有效期內(nèi),當(dāng)其它參數(shù)不變時(shí),該權(quán)證價(jià)值Ct隨信息平均跳躍強(qiáng)度λ和股票價(jià)格變化的情況.

圖3給出了上限型權(quán)證買權(quán)價(jià)值隨股票價(jià)格和平均跳躍強(qiáng)度的變化情況圖,由圖可知,當(dāng)跳躍強(qiáng)度不變時(shí),上限型權(quán)證買權(quán)的價(jià)值隨股票價(jià)格呈S型的變化,這是由該權(quán)證的收益函數(shù)決定的;另一方面,當(dāng)股票價(jià)格較小時(shí),該權(quán)證的價(jià)值隨跳躍強(qiáng)度的增大而增大,當(dāng)股票價(jià)格較大時(shí),該權(quán)證的價(jià)值隨跳躍強(qiáng)度的增大而減小.特別地,圖4給出了跳擴(kuò)散過程下該權(quán)證的價(jià)值和連續(xù)擴(kuò)散過程下該權(quán)證的價(jià)值(2.8式)的比較關(guān)系,該關(guān)系與圖3的情形相吻合.

圖3 上限型權(quán)證價(jià)值隨股票價(jià)格和跳躍強(qiáng)度的變化

圖4 跳擴(kuò)散過程和連續(xù)擴(kuò)散過程的比較

(2) 考慮一只股票價(jià)格服從跳擴(kuò)散過程的局部支付型權(quán)證,其定價(jià)公式為(2.9)式,各變量取值為：K1=35,K2=45,α=0.5,y=20,r=0.07,τ=T-t=0.5,σ=0.4,μ=0.1,σu=0.4.

考察在該權(quán)證有效期內(nèi),當(dāng)其它參數(shù)不變時(shí),該權(quán)證價(jià)值Ct隨信息平均跳躍強(qiáng)度λ和股票價(jià)格變化的情況.

圖5給出了局部支付型權(quán)證買權(quán)價(jià)值隨股票價(jià)格和平均跳躍強(qiáng)度的變化情況圖,由圖可知,當(dāng)跳躍強(qiáng)度不變時(shí),該權(quán)證的價(jià)值隨股票價(jià)格的變化呈拱橋形狀,這是由于當(dāng)股票價(jià)格較小或較大時(shí),權(quán)證的價(jià)值均接近于零;另一方面,股票價(jià)格較小或較大時(shí),該權(quán)證的價(jià)值隨跳躍強(qiáng)度的增大而增大,而在兩個(gè)平衡點(diǎn)之間時(shí),權(quán)證的價(jià)值卻隨著跳躍強(qiáng)度的增大而減小,這也是由收益函數(shù)決定的.特別地,圖6給出了跳擴(kuò)散過程下局部支付型權(quán)證的價(jià)值和連續(xù)擴(kuò)散過程下該權(quán)證的價(jià)值(2.16式)的比較關(guān)系,該關(guān)系與圖5的情形相吻合.

圖5 局部支付型權(quán)證價(jià)值隨股票價(jià)格和跳躍強(qiáng)度的變化

圖6 跳擴(kuò)散過程和連續(xù)擴(kuò)散過程的比較

[1] 周圣武.基于跳擴(kuò)散過程的歐式股票期權(quán)定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)度量研究[D]. 徐州:中國礦業(yè)大學(xué),2009.

[2] 劉宣會(huì).基于跳擴(kuò)散過程的一類亞式期權(quán)定價(jià)[J]. 系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2008,23(2):142-147.

[3] Leland H E. Option pricing and replication with transaction costs[J]. Journal of Finance, 1985(40):1283-1301.

[4] Markowitz H M. Portfolio selection[J]. Journal of Finance, 1952(1):77-91.

[5] 黃志遠(yuǎn). 隨機(jī)分析學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京:科學(xué)出版社, 2001.

[6] Merton R G. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J]. Journal of Financial Economics, 1976(3):125-144.

[7] 陳松男. 金融工程學(xué)[M]. 上海:復(fù)旦大學(xué)出版社, 2002.