Cole方程單邊界層的漸近解探討

盧西莊 (亳州師范高等?？茖W(xué)校理化系，安徽 亳州 236800)

Cole方程單邊界層的漸近解探討

盧西莊 (亳州師范高等專科學(xué)校理化系，安徽 亳州 236800)

利用邊界層函數(shù)法構(gòu)造了Cole方程單邊界層的漸近解。證明了解的存在唯一性,同時(shí)給出了關(guān)于小參數(shù)ε的n-階的余項(xiàng)估計(jì)。

Cole方程; 奇攝動(dòng); 漸近解; 邊界層函數(shù)法

Cole方程在不同條件下產(chǎn)生多種奇攝動(dòng)現(xiàn)象,引起一些學(xué)者的興趣。文獻(xiàn)[1-3]對(duì)其中的某些情況做出一些研究,采用了不同的方法。下面，筆者利用邊界層函數(shù)法對(duì)單邊界層情況進(jìn)行探討。

對(duì)于Cole方程：

假設(shè)Agt;B-1,Bgt;1。式 (1)可變?yōu)椋?/p>

1 構(gòu)造形式漸近解

設(shè)問題(3)的形式漸近解為：

(5)

(6)

Πx(τ)=Π0x(τ)+εΠ1x(τ)+ε2Π2x(τ)+…

(7)

其中x=(y,z)T,τ=t/ε。為敘述方便,令：

將式(5)～(7)代入式(3), 按2種尺度t、τ分開,并展成ε的冪級(jí)數(shù),比較ε的同次冪系數(shù),可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

筆者解決問題的方法是將邊值問題(3)轉(zhuǎn)化為初值問題加以解決。設(shè)：

x(0,ε)=x0+εx1+ε2x2+…xi(i=0,1,2,…)

(16)

1.1形式漸近解的零次近似

1.2形式漸近解的一次及n次近似

由式(9)和式(11)得：

與一次項(xiàng)的求法完全類似,利用式(9)、式(11)、式(13)、式(15)及相關(guān)定解條件,可逐步求出2次、3次直到n次的漸近解各項(xiàng)及xi(i=2,3,…,n)。所解方程都是一次方程,其中邊界項(xiàng)都隨τ→+∞指數(shù)式地趨于0。

2 主要結(jié)論

筆者研究的問題滿足以下條件:

令：

根據(jù)文獻(xiàn)[4]定理4.1 可得：

定理1存在常數(shù)ε0,δgt;0和cgt;0使得當(dāng)0lt;ε≤ε0時(shí),在曲線L0=L01∪L02的δ鄰域中,存在問題(2～4)的唯一解x(t,ε),且對(duì)0≤t≤1滿足不等式：

‖x(t,ε(-xn(t,ε)‖≤cεn+1

[1]Nayfeh A H. Introduction to Perturbed Techniques[M]. New York: John Wiley amp; Sons,1981.

[2]Robert L,Michel G. Nonstandard analysis: a practical guide with applications[M]. New York:Springer,1981.

[3]王愛峰.用微分不等式解Cole問題[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,5(1):1-3.

[4]瓦西里耶娃 A B,布圖索夫 В Ф.奇異攝動(dòng)方程解的漸近展開[M].北京:高等教育出版社,2008.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.04.002

O175.14

A

1673-1409(2012)04-N004-03

2012-01-26

安徽省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2010B124);亳州師專數(shù)學(xué)教育省級(jí)特色專業(yè)建設(shè)點(diǎn)資助項(xiàng)目。

盧西莊(1966-)，男，1989年大學(xué)畢業(yè)， 碩士,講師,現(xiàn)主要從事微分方程的奇攝動(dòng)理論方面的教學(xué)與研究工作。