探討平面方程的解法

廖為鯤，吳申華

（1.泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)部，江蘇泰州225300；

2.興化市昌榮初級(jí)中學(xué)，江蘇興化225700）

平面方程有點(diǎn)法式、一般式、截距式等幾種類型，在求平面方程過程中，主要求點(diǎn)法式方程和一般式方程，本文將介紹向量積在求平面方程中的應(yīng)用，以及如何用待定系數(shù)法求平面方程。

1 用向量積求平面點(diǎn)法式方程

平面點(diǎn)法式方程的一般形式為A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中{A,B,C}為法向量，即垂直于平面的任一非零向量；(x0,y0,z0)為平面上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)[1]。從平面的點(diǎn)法式方程中可以看出，求平面的點(diǎn)法式方程關(guān)鍵要求得平面的法向量和平面上一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，由于平面上點(diǎn)的坐標(biāo)比較容易獲得，所以求平面的點(diǎn)法式方程可以歸結(jié)為求平面的法向量。因?yàn)橄蛄縜軆和向量 軋b的向量積a軆× b軋既垂直于向量a軆又垂直于向量軋b，若向量a軆和向量軋b為平面上或平行于平面的兩個(gè)不共線向量，根據(jù)立體幾何知識(shí)得到，向量積a軆× 軋b垂直于該平面，因此a軆× 軋b為該平面的法向量。于是，求平面法向量的方法：找兩個(gè)在平面上或平行于平面的不共線向量，它們的向量積即為法向量。

例1設(shè)平面π過點(diǎn)P(1,0,2)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3，求此平面方程。

分析：因?yàn)槠矫姒性趚軸和y軸上的截距分別為2和3，所以平面與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為M(2,0,0)和N(0,3,0)，顯然它們?cè)谄矫姒袃?nèi)，則向量}和}也都在平面π內(nèi)，且它們不共線，所以平面π法向量為

所以平面的點(diǎn)法式方程為-6(x-1)+4(y-0)+3(z-2)=0，即 -6x+4y+3z=0。

例2設(shè)平面π垂直于平面π1∶5x-y+3z-2=0且與它的交線在平面yoz上，求此平面方程。

分析：因?yàn)槠矫姒?的法向量軋n垂直于交線，又交線在平面yoz上，則基本單位向量也 垂直于交線，所以交線平行于故軆i也平行于平面π；由于平面π垂直于平面π1，則平面π1的法向量平行于平面π，且不共線，根據(jù)上述方法，則平面π的法向量為

因?yàn)槠矫姒泻推矫姒?的交線在平面yoz上，所以它們的交線也是平面π1與平面yoz的交線，則交線方程為，設(shè)z=0，得交線上的一點(diǎn)為(0,-2,0)，也是平面π上的一點(diǎn)，所以平面的點(diǎn)法式方程為10(x-0)+5(y+2)-15(z-0)=0即2x+y-3z+2=0。

同樣，根據(jù)上述方法，求出以下幾種情況平面的法向量：

（2）平面π經(jīng)過或平行兩條相交或異面直線L1,L2，則平面π的法向量為其中分別為直線L1,L2的方向向量；

（3）平面π過直線L及L外一點(diǎn)M0，則平面π的法向量為，其中軆l分別為直線L的方向向量，M1為直線L上的一點(diǎn)；

（4） 平面π過兩點(diǎn) M1,M2，且垂直于平面π1，則平面π的法向量為其中為平面π1的法向量。

2 利用待定系數(shù)法求平面方程

當(dāng)平面是一些特殊平面，例如經(jīng)過坐標(biāo)軸或者平行于坐標(biāo)面時(shí)，通常用待定系數(shù)法求平面的一般式方程。待定系數(shù)法為：根據(jù)平面的特征設(shè)平面方程，利用已知條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，解方程組求待定系數(shù)，從而求出平面方程。

下面列出當(dāng)平面一般式方程某些系數(shù)為零時(shí)，平面方程具有的特征：

平面的一般式方程為Ax+By+Cz+D=0[2]。

若D=0，平面方程為Ax+By+Cz=0，顯然，平面經(jīng)過原點(diǎn)(0,0,0)；

若A=0，平面方程為By+Cz+D=0，平面的法向量{0,B,C}，顯然，與基本單位向量={1,0,0}數(shù)量積為零，則平面的法向量和基本單位向量軆i垂直，所以平面平行于x軸；

利用上述兩個(gè)結(jié)論可以得到以下幾個(gè)事實(shí)：

若A=0，D=0，平面方程為By+Cz=0，A=0，平面平行于x軸；D=0，平面經(jīng)過原點(diǎn)；所以A=0和D=0，則平面既平行于x軸又經(jīng)過原點(diǎn)，故平面經(jīng)過x軸；

若A=0，B=0，平面方程為Cz+D=0，A=0，平面平行于x軸；B=0，平面平行于y軸；所以A=0和B=0，則平面既平行于x軸又平行于y軸，故平面平行于xoy坐標(biāo)面；

若A=0，B=0，D=0，平面方程為z=0，故平面為xoy坐標(biāo)面。

例求過點(diǎn)(2,1,3)和x軸的平面方程。

解：因?yàn)槠矫娼?jīng)過x軸，所以設(shè)平面方程為By+Cz=0，又因?yàn)槠矫娼?jīng)過點(diǎn)(2,1,3)，所以B+3C=0，即B=-3C，則-3Cy+Cz=0，所以平面方程為3y-z=0。

注：待定系數(shù)法一般用于求特殊的平面方程。

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2000.

[2]許艾珍.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用教程[M].北京:航空工業(yè)出版社,2010．