幺正操作算符糾纏的可加性與可乘性

夏慧枝，楊 名，曹卓良

（1.安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039；2.合肥師范學(xué)院 電子信息工程學(xué)院,安徽 合肥 230061）

幺正操作算符糾纏的可加性與可乘性

夏慧枝1，楊 名1，曹卓良2

（1.安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039；2.合肥師范學(xué)院 電子信息工程學(xué)院,安徽 合肥 230061）

聯(lián)合幺正操作是產(chǎn)生量子糾纏的重要途徑。在利用線性熵度量幺正操作算符的算符糾纏，討論作用到同一量子體系上的多個(gè)幺正操作的算符糾纏的可加性和可乘性，并以一般幺正操作和X型幺正操作為例進(jìn)行具體分析。

聯(lián)合幺正操作；算符糾纏；可加性；可乘性

量子糾纏在量子信息處理中占據(jù)著重要的地位，在很多量子信息過程中，量子糾纏發(fā)揮著重要的作用。量子隱形傳態(tài)過程需要借助于量子糾纏通道傳輸未知粒子態(tài)信息[1]。而量子糾纏交換[2]和量子糾纏純化[3]過程主要也是利用糾纏粒子對之間的量子糾纏。此外，量子密碼學(xué)[4]等諸多過程中也都需要量子糾纏。產(chǎn)生量子糾纏的方法有很多。其中，最為常見的一種方法就是利用聯(lián)合幺正操作產(chǎn)生量子糾纏。目前，有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，當(dāng)光子在特定條件下進(jìn)入非中心對稱的非線性晶體時(shí)(例如BBO晶體)，將以一定的概率自發(fā)地分裂為兩個(gè)較低能量的光子，從而產(chǎn)生具有糾纏特性的量子糾纏光子對[5]。此處，晶體對入射光子的作用可視為幺正操作。通常，我們將滿足以下條件的操作稱之為幺正操作。

若操作算符U滿足：UU+＝U+U＝I (1)則此操作為幺正操作[6]。由此可以看出，幺正操作具有可逆性。

從宏觀角度看，當(dāng)一束光進(jìn)入光波分束器、棱鏡等光學(xué)器件，或是一束光由空氣入射到水里面時(shí)，我們可用幺正算符來描述光束所發(fā)生的變化。從微觀角度來說，當(dāng)粒子進(jìn)入到電磁場或是其他環(huán)境當(dāng)中時(shí)，我么也可用幺正算符來描述環(huán)境對粒子的作用。通常，我們所關(guān)注的系統(tǒng)（如粒子等）會(huì)受到多個(gè)環(huán)境或是場的作用。那么，在多個(gè)幺正操作同時(shí)對系統(tǒng)實(shí)施作用的情況下，系統(tǒng)的糾纏特性與僅僅受到單個(gè)幺正操作作用時(shí)有何差別和聯(lián)系呢？對這個(gè)問題的探討有助于我們弄清身處多個(gè)環(huán)境的實(shí)際物理系統(tǒng)的糾纏動(dòng)力學(xué)行為。故對幺正操作疊加性的研究具有重要的理論價(jià)值。這里，我們將探討幺正操作算符糾纏的疊加性，包括其可加性和可乘性。

度量幺正操作算符糾纏能力的算符糾纏有多種，例如馮諾依曼熵、線性熵等等。此處，我們以線性熵度量幺正操作算符的算符糾纏。任意量子態(tài)ρ的算符糾纏為 E(ρ)=1-Tr(ρ2)：[7]。 結(jié)合算符的施密特分解：任意作用于系統(tǒng)的算符O（幺正或非幺正）可以經(jīng)過算符施密特分解[8]寫為：，{An}和{Bn}分別是系統(tǒng)1和系統(tǒng)2的正交算符基。在此基礎(chǔ)上，幺正算符U的算符糾纏可由下式?jīng)Q定[9]：

若幺正操作算符U滿足：

則稱幺正操作算符滿足算符糾纏的可加性。若幺正操作算符U滿足：

則稱幺正操作算符滿足算符糾纏的可乘性。

我們將介紹一般控制幺正操作算符和X型幺正操作算符的算符糾纏以及其疊加后的糾纏特性。

1 一般控制幺正操作算符糾纏的疊加特性

對于兩粒子的一般控制幺正操作，我們可設(shè)其幺正算符為(這里為簡單起見，已設(shè)相位為零)：

設(shè)兩粒子所處的初始狀態(tài)為ρ，經(jīng)過以上所述的雙重幺正操作后，粒子所處的狀態(tài)為：

若以線性熵度量幺正算符的算符糾纏，則上述幺正操作算符的算符糾纏分別為：

為便于觀察幺正操作疊加前后算符糾纏的關(guān)系，我們設(shè)：

則可得雙重幺正操作算符的算符糾纏為：

以幺正算符的算符糾纏為坐標(biāo)，可畫出疊加前后算符糾纏關(guān)系圖，如下所示：

圖1 多重幺正操作疊加前后算符糾纏關(guān)系圖

從上圖可以看出，當(dāng)兩個(gè)分幺正操作算符的算符糾纏相等時(shí)，即m=n，雙重幺正操作的疊加為單位陣，則E(U)=E(I)=0。亦證明了幺正操作具有可逆性。另外，一般控制幺正操作算符疊加后，其算符糾纏不具備可加性和可乘性。但是，存在一系列特殊幺正操作算符符合可加性。例如在上圖中，以為Z軸，m和n分別代表X和Y軸，曲面分別與XZ和YZ平面交線上的所有幺正操作算符都滿足可加性，即E(U)=m+n。在這兩條交線上，有一個(gè)幺正操作算符為單位陣，其算符糾纏為最小值0，疊加后無影響。

2 X型幺正操作算符糾纏的疊加特性

一般X型（四維）幺正操作算符的矩陣表示為：

該幺正算符的算符糾纏為：

U1和U2為兩個(gè)一般X型幺正算符矩陣：

兩個(gè)一般X型幺正操作算符疊加為：

我們分別計(jì)算疊加前后幺正操作算符的算符糾纏：將上述兩個(gè)X型幺正操作算符疊加的理論推廣到n個(gè)X型幺正操作算符疊加的情況：

則n個(gè)X型幺正操作算符疊加后，其算符糾纏為：

由此，可以看出X型幺正操作算符的算符糾纏也不具備可加性，一些特例除外（例如幺正操作算符為單位陣的情況）。

本文以一般幺正操作和X型幺正操作為例討論了作用到同一系統(tǒng)上的多個(gè)幺正操作的算符糾纏的可加性和可乘性。結(jié)果表明，一般聯(lián)合幺正操作算符的算符糾纏不具備可加性和可乘性，一些特例除外（例如幺正操作算符為單位陣的情況）。

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Additivity and Multiplicativity of Unitary Operations’Operator Entanglement

Xia Huizhi1,Yang Ming1,Cao Zhuoliang2
(1.School of Physics and Material Science,Anhui University,Hefei Anhui 230039;2.School of Electronic information Engineering,Hefei Normal University,Hefei Anhui 230061)

Joint unitary operation is one of important methods to produce entanglement.This paper discusses the properties of multi-unitary operations’operator entanglement in the common quantum system,including the additivity and multiplicativity.Without loss of generality,it analyzes the special case of the general controlled unitary operations and X-type unitary operations.

Joint Unitary Operation;Operator Entanglement;Additivity;Multiplicativity

O413

A

1674-1103(2012)03-0033－03

2012-04-13

國家自然科學(xué)基金(10704001、61073048、11005029)；教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(210092)；安徽省人事廳學(xué)術(shù)和技術(shù)帶頭人后備人選擇優(yōu)資助項(xiàng)目。

夏慧枝(1988－),女，安徽廬江人，安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)榧す馕锢恚粭蠲?1979－),男，安徽潛山人，安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院教授，博士，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榧す馕锢?。

[責(zé)任編輯：桂傳友]