基于固體新單元模型分析理想彈塑性問題

柯 江

(陜西理工學院土建學院，陜西漢中 723001)

0 引言

固體力學是研究可變形固體在外界因素作用下所產生的應力、應變、位移和破壞等，彈性力學與塑性力學是固體力學的兩個重要分支［1］。目前，彈性力學與塑性力學問題的各種求解方法都非常復雜。筆者根據廣義虎克定律和疊加原理，提出了一種各向同性的線彈性固體的新單元模型［2］，然后推廣到特殊的正交各向異性線彈性材料［3］，即材料的工程彈性常數需要滿足一定的條件，而在文獻［4］將新單元模型進一步推廣到一般正交各向異性線彈性材料。此外，在文獻［2］～［4］中沒有說明根據新單元模型如何確定彈性體的應力、應變。

本文將新單元模型應用到各向同性的理想彈塑性材料用來求解塑性力學問題，并且將說明如何利用新單元求解固體受外力作用而發(fā)生的位移、應力和應變。

1 理想彈塑性問題的新單元模型

各向同性的塑性力學與彈性力學一樣包括三類問題:空間問題、平面應力問題、平面應變問題，因此下面分別說明這三類問題的新單元模型。各向同性的理想彈塑性固體的新單元模型與文獻［2］相似，只有兩個區(qū)別:1)新單元在各坐標軸方向的尺寸必須相等;2)新單元中的桿件增加了屈服應力。下面分別說明這三類問題的新單元模型中桿件的屈服應力的取值，設固體材料的單向拉伸(壓縮)屈服應力為σ0。

對于空間問題，新單元模型中與坐標軸平行的12個桿件的屈服應力為σ0，而另外12個交叉斜桿的屈服應力為3σ0/8，當新單元模型發(fā)生剪切屈服時所對應的材料剪切屈服應力為τ0=0.3σ0;對于平面應力問題，新單元模型中與坐標軸平行的4個桿件的屈服應力為σ0，而另外2個交叉斜桿的屈服應力為σ0/3，當新單元模型發(fā)生剪切屈服時所對應的材料剪切屈服應力為τ0=0.25σ0;對于平面應變問題，新單元模型中與坐標軸平行的4個桿件的屈服應力為 σ0，而另外2個交叉斜桿的屈服應力為5σ0/16，當新單元模型發(fā)生剪切屈服時所對應的材料剪切屈服應力為 τ0=0.25σ0。

2 基于新單元模型的應力及應變計算

通過計算由新單元組成的桁架結構，可以得到結點的位移，這些結點位移就作為固體內各點的位移，而怎么計算固體在外力作用下的應力、應變，下面筆者給出兩種簡單的方法。

方法一:材料處于彈性階段才適用。通過計算由新單元組成的桁架結構，可以得到各桿件的線應變，這些線應變就作為彈性體各點不同方向的線應變，彈性體的剪應變則根據與線應變的關系確定，為了提高應變解的精度，可采用繞結點平均法，即把環(huán)繞某一結點的各新單元在該結點處的正應變(或剪應變)加以平均，用來表示該結點處的正應變(或剪應變);或者彈性體在一結點處的應變由相鄰結點位移計算得出;最后根據廣義虎克定律由應變計算應力。一點處的剪應變與線應變的關系如下［1］。

對于平面問題為:

對于空間問題為:

其中，εPN為點 P 處沿 PN 方向的線應變;ε1，ε2，ε3，γ23，γ31，γ12分別為點P處的3個正應變及3個剪應變;l，m，n分別為線段PN與1，2，3坐標軸的夾角余弦。

方法二:材料處于彈性或塑性階段都適用。通過計算由新單元組成的桁架結構，可以得到各桿件的軸力，要得到固體內某一點在一個平面的正應力(或剪應力)，可以通過該平面一側相交于該點的各桿件軸力的合力在該平面法線方向(或切線方向)的分力除以該點的從屬面積，就可以得到該點的正應力(或剪應力);應變的確定與“方法一”相同，若處于彈性階段，還可以根據廣義虎克定律由應力計算應變。

3 計算實例

一個懸臂梁(見圖1)，長度L=320 mm，高度H=80 mm，厚度t=1 mm，在自由端承受向下的集中荷載F=10 000 N，彈性模量，泊松比v=1/3。新單元計算模型一共包含256個新單元(見圖2)，新單元在x，y方向的尺寸均為10 mm，三種桿件的截面面積分別為:A1=A2=3.75 mm2，A3=5.303 3 mm2。有限元計算模型采用平面應力單元，單元尺寸與新單元相同，由256個平面應力單元組成。

圖1 集中荷載作用下的懸臂梁

圖2 新單元計算模型

基于ABAQUS軟件分別采用新單元模型與平面應力單元模型計算該懸臂梁，而且還采用解析法計算，得到的三種方法的計算結果見表1～表5。

表1 三種方法的x方向位移對比 mm

表2 三種方法的y方向位移對比 mm

由表1～表5可知，在邊界點和荷載作用點，三種方法的計算結果偏差較大，而在離開邊界點和荷載作用點稍遠的地方，三種方法的計算結果吻合良好，新單元法求得的結果與解析解相比，x方向位移最大偏差為3.84%，y方向位移最大偏差為6.54%，正應力σx最大偏差為1.94%，正應力σy最大偏差為0.0%，剪應力τxy最大偏差為1.92%，而有限元法求得的結果與解析解相比，x方向位移最大偏差為5.20%，y方向位移最大偏差為7.78%，正應力σx最大偏差為0.78%，正應力σy最大偏差為0.0%，剪應力τxy最大偏差為3.91%。

表3 三種方法的正應力σx對比

表4 三種方法的正應力σy對比

表5 三種方法的剪應力τxy對比

若假定該懸臂梁材料的單向拉伸(壓縮)屈服應力為3 000 N/mm2(見圖1)，則采用新單元模型計算，取新單元的平行于x，y方向的桿件屈服應力為3 000 N/mm2，交叉斜桿的屈服應力為1 000 N/mm2，用ANSYS軟件則可求得該懸臂梁的屈服極限荷載為F=15 kN，與塑性力學精確解一致。

4 結語

目前，正交各向異性材料的彈性力學問題和各向同性的理想彈塑性問題的求解異常繁雜，而根據固體新單元模型可以很容易的分析固體在外力作用下的位移、應力及應變，而且計算精度良好。

［1］徐芝倫.彈性力學［M］.第4版.北京:高等教育出版社，2006.

［2］柯 江.實體結構求解的新方法［J］.山西建筑，2008，34(9):112-113.

［3］柯 江.彈性固體的新單元模型［J］.山西建筑，2012，38(19):58-59.

［4］KE Jiang.A New Model of Orthotropic Bodies［C］.Applied Mechanics and Materials，August，2012:204-208，4418-4421.