考慮基坑開挖寬度的桿系有限元算法及試驗研究

王洪新，孫玉永

（1.上海城建市政工程（集團）有限公司，上海 200065；2.銅陵學院 土木建筑系，安徽 銅陵 244000）

1 引 言

桿系有限元方法在基坑設(shè)計中處于重要的地位，是基坑設(shè)計中被廣泛應(yīng)用的計算工具。桿系有限元把基坑簡化成圍護結(jié)構(gòu)、結(jié)構(gòu)承受的荷載、支撐單元及被動區(qū)土體彈簧。這些假設(shè)造成該方法的諸多缺點，比如：圍護上承受的荷載不明確，被動區(qū)土體彈簧剛度難以準確確定等。但由于各地區(qū)的設(shè)計院長期采用桿系有限元方法計算基坑變形，結(jié)合現(xiàn)場的大量反饋數(shù)據(jù)，可以形成經(jīng)驗性的被動區(qū)土體彈簧剛度。目前，以桿系有限元為主要計算手段的啟明星和理正計算軟件已經(jīng)成為國內(nèi)基坑設(shè)計的主要工具，充分反映了桿系有限元方法在基坑設(shè)計中的強大生命力。

桿系有限元的支撐剛度采用 k=2 EA/l（E為支撐彈性模量，A為支撐橫截面積，l為支撐受壓計算長度）計算，在一定意義上可以考慮基坑寬度對支撐剛度的影響。但現(xiàn)場經(jīng)驗表明：基坑存在明顯的空間效應(yīng)，狹窄基坑不但具有良好的穩(wěn)定性[1]，而且變形也相對較小，而同樣挖深的寬基坑則變形更大，并且伴有明顯的“踢腳”現(xiàn)象。同樣是一級保護基坑，采用相同支撐剛度設(shè)計時，窄基坑的實際變形能夠滿足規(guī)范要求，而寬基坑的實際變形卻極有可能超出限制。目前采用的桿系有限元計算方法是不能反映基坑的這種二維空間效應(yīng)的。超寬基坑圍結(jié)構(gòu)變形一般比同樣挖深的窄基坑大很多，如果采用常規(guī)桿系有限元方法計算，除非把支撐和被動區(qū)土體剛度取得比經(jīng)驗值小得多，否則往往不能準確計算出超寬基坑的變形值。

目前，國內(nèi)基坑施工面積最大已經(jīng)達3×105m2，基坑施工面積和寬度越來越大；而一些地鐵車站風井、出入口及頂管工作井基坑寬度很窄，其數(shù)量占基坑工程很大比例。這些都迫切需要解決基坑寬度對變形的影響問題。

張雷等[2]通過二維平面有限元研究發(fā)現(xiàn)，相同條件下，基坑越寬對周圍環(huán)境的影響越大。曾慶義等[3]假設(shè)：基坑開挖時，如同在地表施加了一個負載。他采用弗拉曼解答推導了開挖引起的二次應(yīng)力場，為采用解析方法考慮基坑寬度影響提供了一個很好的思路。胡玉銀[4]針對曾慶義的文章進行了討論，并對基坑開挖的二次應(yīng)力場給出了建議。應(yīng)宏偉等[5]通過在基坑開挖面施加反向自重應(yīng)力模擬基坑的開挖卸荷，考慮不同卸荷比對土體水平抗力系數(shù)影響，對傳統(tǒng)的桿系有限元法進行改進。他的研究表明：當寬深比越大，樁底端位移即“踢腳”變形越明顯。本文采用另一種思路，不是調(diào)整被動區(qū)土體剛度，而只調(diào)整圍護上的土壓力荷載來反映基坑寬度對變形的影響。這種處理方法同樣能夠反映基坑二維尺寸效應(yīng)，而且操作起來更加簡單。

2 圍護結(jié)構(gòu)上土壓力計算

2.1 傳統(tǒng)的基坑桿系有限元方法土壓力取值

采用桿系有限元進行基坑計算時，一般采用增量法，相應(yīng)的土壓力取值也是增量荷載。圍護結(jié)構(gòu)上土壓力較為復雜，被動區(qū)土體彈簧剛度與土壓力荷載取值模式共同作用影響基坑變形的計算結(jié)果。如果同時調(diào)整圍護上土壓力荷載和被動區(qū)土體彈簧剛度，可能得到相近的計算結(jié)果。因此，不同地區(qū)提出了不同的土壓力荷載模式。目前，國內(nèi)基坑設(shè)計時最常用的是矩形分布荷載，每次開挖時圍護結(jié)構(gòu)上的荷載取值如圖 1所示，圖中γhi為卸載土層的自重應(yīng)力，其中，γ為土體重度，hi為每次開挖土體的深度，ξ為側(cè)壓力系數(shù)。實際上，坑底以下部分的矩形土壓力荷載是基坑開挖無限寬時的荷載取值。如果基坑寬度很小，坑底以下荷載形式會有很大差異，這一點會在下文詳細論述。不同地區(qū)的矩形分布荷載取值也存在較大差異，比如日本《建筑基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》規(guī)定：地下水位以上部分，按土體單位重度計算豎直向壓力，乘以側(cè)壓力系數(shù)0.5；地下水位以下部分，按土體單位浮重度計算豎向壓力，乘以側(cè)壓力系數(shù)0.5[6]，下文將說明這種計算模式的合理性。

圖1 基坑增量法計算的分步開挖荷載計算模型Fig.1 Calculation model of stepwise excavation load through incremental method

2.2 考慮基坑寬度的圍護結(jié)構(gòu)上土壓力取值

文獻[3]給出了一個考慮基坑開挖寬度影響的方法，計算時在地表施加與開挖荷載相等、方向相反的負載來模擬開挖，有一定意義。但由于沒有把負載施加于真正的開挖面，故與實際開挖工況差異較大。實際上，完全采用解析解計算基坑開挖問題較為困難，但如果適當簡化還是可以推導出與工程實際相近的結(jié)果的。

計算每次開挖所產(chǎn)生的增量荷載時，取圖2所示的開挖卸載模式計算，把豎向開挖荷載作用于開挖面處，并且在側(cè)面施加如圖所示的三角形荷載。由于荷載應(yīng)力作用于半空間以下，采用Melan解可以推導出開挖卸載引起的附加應(yīng)力。

圖2 基坑開挖卸載應(yīng)力計算圖Fig.2 Unloading stress calculation model induced by excavation

首先計算由于坑底豎向卸載引起的水平向附加應(yīng)力σXp。此時的Melan解如下[7]：

式中：μ為泊松比，由于土體為飽和軟弱黏土層，體積變形較小，因此取為0.45；X、z為Melan解坐標系下計算點的坐標值；；h為開挖面深度。

取如圖2所示的坐標系，開挖相當于在開挖面施加一個長為B的負載-p=-γhi，hi為分層開挖時第i次開挖的深度，則由于豎向卸載在圍護上產(chǎn)生的側(cè)向壓力 px(z)可采用下式計算：

式中：B為基坑寬度；x為側(cè)向壓力計算點的橫坐標，在圍護處x=-B/2。

積分后，整理可得豎向卸載引起的圍護墻體上側(cè)向壓力荷載為

根據(jù)Melan解，由于對稱性，圍護結(jié)構(gòu)處水平向卸荷在開挖面以下部分圍護上不引起側(cè)向荷載，這一點在分析基坑開挖時有一定的近似性，實際開挖時，這個附加荷載也很小。所以，可以直接采用式（3）計算開挖卸載在坑底下部分圍護上引起的荷載。由于圍護結(jié)構(gòu)在開挖面以下部分承受的荷載是坑內(nèi)開挖卸載后圍護結(jié)構(gòu)兩側(cè)土壓力差引起的，以往采用的荷載模式實際上是開挖無限寬基坑時圍護兩側(cè)的壓力差。對于狹窄基坑，傳統(tǒng)算法在坑底以下部分圍護上的土壓力計算值過大。式（3）是基于彈性力學的解析解推導出的，能夠考慮開挖寬度的影響，盡管是近似解，但有一定的科學性。

圖3 基坑圍護上土壓力計算模型Fig.3 Calculation model for earth pressure on enclosure structures

對式（3）取基坑寬度趨向無窮大時的極限，則無限寬時在開挖面以下部分圍護結(jié)構(gòu)上的側(cè)向荷載為

這個結(jié)果恰好與前文介紹的日本規(guī)范取值方法相一致，說明其具有一定合理性。如果利用式（6）結(jié)果，則無限寬基坑開挖時，開挖卸載引起的圍護結(jié)構(gòu)上水平荷載可以這樣設(shè)定：開挖面以上為底寬0.5γhi的三角形荷載，開挖面以下為大小為0.5γhi的矩形荷載。這種荷載模型中，ξ=0.5，具體如圖 3(a)所示。如果考慮開挖寬度對坑底以下部分圍護上的土壓力影響，當基坑為有限寬度時，開挖面以上荷載形式和大小保持不變，開挖面以下隨基坑寬度變化，如圖3(b)所示。這就是本文提出的考慮基坑寬度的圍護結(jié)構(gòu)上的荷載模式。

為分析寬度對圍護上荷載的影響，可假定某基坑一次挖深為10 m，土體為飽和黏性土，重度為18 kN/m3，由于土體體積應(yīng)變較小，泊松比取為0.45。根據(jù)上述方法，不同基坑寬度時圍護上承受的荷載見圖 4。由圖可以看出，開挖面以下圍護承受的土壓力隨基坑寬度的增大而增大，荷載形式越來越接近增量法的矩形荷載模式。另外，基坑寬度較小時，坑底附近的荷載明顯比墻底大。這將造成基坑寬度越大，墻底水平變形越大，“踢腳”變形更明顯，該結(jié)果與施工現(xiàn)場經(jīng)驗及文獻[5]結(jié)論一致。

圖4 不同寬度基坑圍護上的土壓力Fig.4 Earth pressure on enclosure structure of foundation pits with different excavation widths

3 考慮基坑寬度的桿系有限元計算

3.1 采用土壓力折減系數(shù)調(diào)整傳統(tǒng)算法圍護結(jié)構(gòu)上的荷載

盡管式（3）可以考慮基坑寬度對圍護結(jié)構(gòu)上荷載的影響，但在采用桿系有限元方法進行基坑計算時，直接采用圖3所示的荷載模式仍然存在一些問題。式（3）是在各向同性的彈性假設(shè)基礎(chǔ)上推導的結(jié)果，與實際土層情況存在一定差異。如果直接應(yīng)用，勢必造成土體重度相同時不同性質(zhì)土層在基坑形式相同時圍護上荷載也相同的結(jié)論，這顯然是不合理的。式（3）的科學性在于用解析方法得到了能夠考慮基坑寬度對圍護結(jié)構(gòu)上荷載影響的具體計算方法，比純粹的經(jīng)驗方法前進了一步。

目前，設(shè)計單位最常用的圍護結(jié)構(gòu)上荷載是開挖面以上由朗金主動土壓力理論計算，開挖面以下為矩形荷載。以此為基礎(chǔ)形成大量具有區(qū)域經(jīng)驗的被動區(qū)土體彈簧剛度，并且在規(guī)范中被廣泛推薦?；幼冃螘r，荷載采用朗金土壓力計算并不代表圍護結(jié)構(gòu)后土層全部進入了主動狀態(tài)，主要是因為主動區(qū)土體側(cè)壓力比靜止側(cè)壓力小，并且隨圍護結(jié)構(gòu)位移，土壓力不斷變化；如果圍護結(jié)構(gòu)變形一直發(fā)展，最終可能會達到主動土壓力。實際上，如果考慮這種過程會使算法過于復雜，反而不便于與現(xiàn)場反饋的經(jīng)驗比較。不過，由于采用主動土壓力可以考慮土體中能夠反映土層性質(zhì)的黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ，成為目前采用桿系有限元時最常用的取值模式。

為了既能夠利用以上提出的考慮基坑寬度影響的荷載計算理論，又能夠適應(yīng)目前基坑設(shè)計計算的現(xiàn)狀，可采用以下思路：采用上述考慮基坑寬度影響的荷載取值模式，首先計算圖3(b)所示的考慮基坑寬度影響的圍護結(jié)構(gòu)上荷載總值，再計算圖3(a)所示的無限寬基坑的圍護結(jié)構(gòu)上荷載總值，以兩者之比α(B)作為荷載折減系數(shù)對目前傳統(tǒng)的圍護荷載上荷載進行折減，如圖5所示。計算時，只要把折減系數(shù)乘到目前廣泛采用的矩形荷載模式上就能夠考慮基坑寬度對荷載的影響（因為目前廣泛采用的矩形荷載模式實際上是基坑無限寬時的荷載），則傳統(tǒng)增量法的分步開挖矩形荷載取值變?yōu)棣?B) pa=α(B)ξγhi。這樣，既不過多地改變目前的傳統(tǒng)算法，又能夠利用現(xiàn)有的基坑計算軟件。

下面，基于上面的思路推導考慮基坑寬度影響的荷載折減系數(shù)α(B)。

圖5 采用折減系數(shù)修正目前基坑土壓力計算模型Fig.5 Amendments to current earth pressure calculation model of foundation pit by adopting reduction coefficient

3.2 不同寬度基坑圍護上土壓力折減系數(shù)的計算方法

首先，計算圖3(b)中圖形CDEF的面積，求得開挖面以下部分圍護結(jié)構(gòu)上承受的總土壓力Pd(B)為

式中：p=γhi，為每層土體開挖產(chǎn)生的豎向荷載；D為圍護結(jié)構(gòu)入土深度。且有

然后，計算每次開挖卸載引起的坑底以上部分圍護上的總的土壓力 Pu(B )，即圖 3(b)中的三角形ΔA BE的面積：

基坑無限寬時，坑底以下部分圍護上承受的總土壓力 Pd∞(B)為圖3(a)中下部分矩形面積：

則土壓力折減系數(shù)α(B)為

這樣，不同寬度基坑的土壓力折減系數(shù)不同，同一個基坑開挖每層土體時的折減系數(shù)也不同。

仍然以前文所述基坑為例。如果基坑的插入深度D分別為10、15、20 m，開挖10 m深基坑的折減系數(shù)隨基坑寬度變化見圖 6?？梢钥闯?，圍護上土壓力折減系數(shù)隨基坑寬度增加而增大，漸漸趨近于 1。圍護插入深度越大，土壓力折減系數(shù)越小。這種效應(yīng)在基坑寬度較窄時尤為明顯，說明通過增加圍護結(jié)構(gòu)插入深度控制變形對窄基坑更為有效。

圖6 插入深度對土壓力折減系數(shù)的影響Fig.6 Influence of embedment depth on reduction coefficient of earth pressure

再考慮另一開挖深度為20 m的基坑，圍護結(jié)構(gòu)入土深度為20 m。如果每次開挖深度為5 m，共開挖4次。根據(jù)本文方法，每次開挖卸載的土壓力折減系數(shù)見圖 7?？梢钥闯?，同樣卸載量時，隨著挖深的增加，土壓力折減系數(shù)有所增加，但增加幅度不大。因此，計算時可以取各次開挖折減系數(shù)的平均值作為每次開挖的平均土壓力折減系數(shù)。這樣，計算方法會變得簡便，而且不會造成太大的誤差。

圖7 不同開挖步的土壓力折減系數(shù)Fig.7 Reduction coefficient of earth pressure for different excavation steps

3.3 考慮基坑寬度影響的基坑桿系有限元算法

得到了不同寬度基坑圍護上的土壓力折減系數(shù)，就可以建立考慮基坑寬度影響的桿系有限元算法。計算時，只要計算出不同寬度基坑的土壓力折減系數(shù)，作為因子乘以傳統(tǒng)桿系有限元算法的計算荷載后，再進行有限元計算即可。

如果已知某個地區(qū)某寬度基坑實際變形，經(jīng)過反分析確定被動區(qū)土體彈簧剛度后，再計算該地區(qū)同樣挖深、圍護深度的另一寬度基坑時，只要把這個基坑圍護的土壓力乘以相對土壓力調(diào)整系數(shù)，不需要再調(diào)整土層參數(shù)和被動區(qū)彈簧剛度就可以得到該地區(qū)同樣挖深、圍護深度但寬度不同的另一個基坑的變形。相對土壓力調(diào)整系數(shù)采用下式計算：

式中：α (B1)為既有基坑的土壓力折減系數(shù)；α (Bi)為同樣挖深和圍護深度的另一寬度基坑的土壓力折減系數(shù)。

4 離心模型試驗

盡管施工現(xiàn)場有大量不同寬度基坑監(jiān)測數(shù)據(jù)可以參考，但由于現(xiàn)場施工時影響變形的因素眾多。即使同樣挖深、同樣寬度的基坑變形也會不同，難以確定開挖寬度對變形的影響。為此，保持基坑開挖深度、土層情況、圍護結(jié)構(gòu)、支撐體系及開挖方式一致，進行3組不同寬度基坑的離心模型試驗，以驗證本文算法的科學性。

4.1 基坑寬度對變形影響的離心模型試驗

試驗模擬上海地區(qū)的典型土層。試驗過程中，保持3組試驗的土層基本參數(shù)不變，土層物理力學指標見表1。試驗模型率N=140，開挖寬度分別選取24、32、42 m進行模擬試驗。試驗模型均采用半斷面形式，被模擬基坑的開挖深度為10 m，圍護結(jié)構(gòu)為深22 m、厚800 mm的地下連續(xù)墻，采用鋁板模擬；豎向共設(shè)置3道鋼支撐，各道支撐深度分別為0.5、4.0、7.0 m，模擬支撐情況見表2。因為本試驗的目的僅是研究不同開挖寬度對基坑變形的影響，開挖支撐次數(shù)越多，試驗次數(shù)越多，試驗結(jié)果的離散性就越大。為此，試驗時在沒有施加離心加速度時將土體一次開挖到底，然后施加豎向3道支撐，最后進行離心模型試驗。為了保證各次試驗結(jié)果的可比性，試驗用土取自同一地點，試驗土制備和土層固結(jié)都采用相同方法。

表1 土層主要物理力學參數(shù)表Table1 Main physico-mechanical parameters of soil layers

表2 各組試驗模型支撐參數(shù)Table2 Parameters of supporting structure in each model test

試驗時通過同步攝像系統(tǒng)對模型試驗的全過程進行監(jiān)控并拍攝試驗模型照片，每組離心模型試驗前后的照片見圖 8～10。通過圖片處理軟件分析試驗照片經(jīng)計算得到所需特征點的位移數(shù)據(jù)，最后得到的圍護結(jié)構(gòu)變形曲線見圖11。對應(yīng)寬度為24、32、42 m時的最大變形值分別為27.8、28.5、31.3 mm。可見，隨著基坑開挖寬度的增加，連續(xù)墻側(cè)向變形量逐漸增大。另外，從圖11還可以看出，基坑越寬，圍護結(jié)構(gòu)的踢腳變形越大，與施工現(xiàn)場經(jīng)驗相符。

4.2 離心模型試驗結(jié)果的理論分析

采用本文算法對離心模型試驗結(jié)果進行分析。首先對第1組試驗采用啟明星軟件進行反分析，調(diào)整被動區(qū)土體彈簧剛度，得到與第1組試驗結(jié)果相符的計算結(jié)果。然后，采用式（13）計算相對土壓力調(diào)整系數(shù)，對第2組、第3組試驗基坑計算時的土壓力荷載進行調(diào)整；之后，不改變?nèi)魏纹渌麉?shù)進行有限元計算，就可以得到考慮基坑寬度的桿系有限元計算成果。把應(yīng)用本文方法的有限元計算成果與離心模型試驗結(jié)果和傳統(tǒng)桿系有限元計算成果（傳統(tǒng)算法時只考慮寬度對支撐剛度影響，不考慮寬度對土壓力荷載取值的影響）進行對比，見圖12。從圖中可以看出，傳統(tǒng)桿系有限元在計算不同寬度的基坑變形時存在較大誤差，并且誤差量隨基坑寬度增加而增大；而本文方法由于考慮了開挖寬度對圍護上土壓力的影響，計算結(jié)果與試驗結(jié)果非常接近，說明本文算法有具有一定合理性。

圖8 24 m寬基坑的離心試驗結(jié)果Fig.8 Centrifuge test result of 24 m-wide foundation pit

圖9 32 m寬基坑的離心試驗結(jié)果Fig.9 Centrifuge test result of 32 m-wide foundation pit

圖10 42 m寬基坑的離心試驗結(jié)果Fig.10 Centrifuge test result of 42 m wide foundation pit

圖11 不同寬度基坑變形的離心模型試驗結(jié)果Fig.11 Centrifuge model test results of deformation of foundation pit with different widths

圖12 基坑離心試驗結(jié)果與理論分析成果的對比分析Fig.12 Comparative analysis of centrifuge test results with theoretical analysis results

5 基坑寬度對圍護結(jié)構(gòu)變形的影響

采用本文方法可以更科學地研究基坑寬度對變形的影響。保持支撐的布置形式不變，采用本文方法分別針對0.8、1.0、1.2這3個常用的插入比計算模型試驗基坑的變形，并與相應(yīng)的傳統(tǒng)桿系有限元計算成果對比，具體見圖13。可以看出，傳統(tǒng)桿系有限元算法由于沒有考慮基坑寬度對土壓力影響，在窄基坑時計算的變形過大，會造成偏于保守的設(shè)計，這在目前設(shè)計中非常常見，而在基坑寬度較大時傳統(tǒng)算法的計算結(jié)果又偏小，會造成寬基坑設(shè)計時偏于危險。以上結(jié)果說明，本文算法在狹窄基坑時可以節(jié)約資源，在超寬基坑時可以降低工程風險。

圖13 基坑寬度對圍護結(jié)構(gòu)水平變形的影響的對比分析Fig.13 Comparative analysis of influence of excavation width on horizontal deformation of enclosure structures

6 討 論

圖3、4顯示出狹窄基坑圍護結(jié)構(gòu)上荷載與寬基坑時的差異，這種差異會造成寬基坑變形的“踢腳”現(xiàn)象。盡管本文提出的算法能夠反映出寬基坑的“踢腳”趨勢，但還只是一種為了計算方便及利用現(xiàn)有基坑計算軟件的簡便算法，這種算法采用了統(tǒng)一的折減系數(shù)α(B)對圍護上的荷載進行調(diào)整，會過小地估計“踢腳”變形。實際上，折減系數(shù)α(B)與計算點深度z有關(guān)，更精確的計算方法應(yīng)為

這樣，基坑變形計算時，對圍護結(jié)構(gòu)上每個深度處土壓力分別采用式（14）計算荷載折減系數(shù)并進行調(diào)整，然后進行有限元計算，即可計算出更接近實際的“踢腳”變形。但這樣就無法利用既有的基坑計算軟件實現(xiàn)本文算法，需要編制專門的基坑計算軟件。

7 結(jié) 論

提出了一種能夠反映基坑寬度對圍護結(jié)構(gòu)上土壓力影響的桿系有限元算法，離心模型試驗表明該算法更接近工程實際。本文主要結(jié)論如下：

（1）傳統(tǒng)的桿系有限元基坑計算方法不能全面地考慮基坑寬度對變形的影響，應(yīng)根據(jù)開挖寬度不同對圍護結(jié)構(gòu)上的荷載取值進行折減。

（2）通過解析方法得到基坑圍護上土壓力的折減因子，對傳統(tǒng)的基坑圍護荷載取值進行調(diào)整，改進了傳統(tǒng)的基坑桿系有限元算法。

（3）針對不同寬度進行了離心模型試驗，試驗結(jié)果說明開挖條件相近時，基坑越寬圍護變形和“踢腳”越大。

（4）采用改進算法的計算結(jié)果與離心模型試驗結(jié)果更加相符，而傳統(tǒng)桿系有限元不能夠全面反映這種現(xiàn)象。

（5）分析說明采用傳統(tǒng)桿系有限元方法設(shè)計基坑時，存在著狹窄基坑設(shè)計偏于保守，超寬基坑設(shè)計偏于危險的問題，而本文算法可以避免該問題。

本文方法是對基坑設(shè)計常用的桿系有限元設(shè)計方法的修正，希望其他學者采用更多的試驗及現(xiàn)場數(shù)據(jù)對本文理論進行驗證，以便在今后基坑設(shè)計時推廣。

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