符號(hào)模式矩陣的冪等性質(zhì)

朱興文 王彭德

（大理學(xué)院，大理 671003）

符號(hào)模式矩陣的冪等性質(zhì)

朱興文 王彭德

（大理學(xué)院，大理 671003）

通過對符號(hào)模式矩陣的研究，給出了具有frobenius型的符號(hào)模式矩陣中上三角塊的形式，及一種構(gòu)造冪等的方法，研究符號(hào)模式矩陣的符號(hào)冪等與允許冪等的關(guān)系。

符號(hào)模式矩陣；符號(hào)冪等；允許冪等

符號(hào)模式矩陣是指矩陣中的元素取值于集合{0，+，－}的矩陣。給定實(shí)矩陣 B，sgn(B)表示與矩陣 B的符號(hào)相同的符號(hào)模式矩陣。所有n×n的符號(hào)模式矩陣構(gòu)成的集合用Qn表示。對于一個(gè)n×n符號(hào)模式矩陣A，有一個(gè)實(shí)矩陣的類，其中的矩陣的元素與A有相同的符號(hào)，這樣就有n×n符號(hào)模式矩陣A的一個(gè)定性矩陣類，記為

若A是一個(gè)實(shí)m×n矩陣，則A同樣可以決定一個(gè)定性矩陣類［1］，記為

單位符號(hào)模式矩陣是將單位數(shù)字矩陣中的1用+代替所得到的符號(hào)模式矩陣，用In表示n×n的單位符號(hào)模式矩陣。置換模式矩陣P是指一個(gè)n階符號(hào)模式矩陣P，若它的每一行和每一列上只有一個(gè)元素等于+，而其余元素都等于0，則稱P為置換模式矩陣［2］。矩陣A,B是置換相似是指存在置換模式矩陣P使得B=PAPT［2］。符號(hào)模式的強(qiáng)迫性是指如果P是實(shí)矩陣對應(yīng)的某一個(gè)性質(zhì)，一個(gè)符號(hào)模式矩陣A強(qiáng)迫性質(zhì)P是指對于任意的實(shí)矩陣B∈Q(A)都有這個(gè)性質(zhì)P。符號(hào)模式的允許性是指如果P是實(shí)矩陣對應(yīng)的某一個(gè)性質(zhì)，則稱一個(gè)符號(hào)模式矩陣A允許性質(zhì)P是指存在實(shí)矩陣B∈Q(A)有這個(gè)性質(zhì) P［4］。

符號(hào)冪等A是指一個(gè)n×n的符號(hào)模式矩陣，若對任意 B∈Q(A)，B2∈Q(A)，則稱 A是符號(hào)冪等的。符號(hào)模式矩陣的運(yùn)算，即A2=A，稱A是符號(hào)冪等的符號(hào)模式矩陣。允許冪等A是指一個(gè)n×n的符號(hào)模式矩陣，若存在B∈Q(A)，B2=B，則稱A是允許冪等的［4］。 例如：

通過計(jì)算可得B2=B，所以B是符號(hào)冪等的，即A∈SI。對于符號(hào)模式矩陣B，能找到一個(gè)與B符號(hào)相同的實(shí)矩陣C，如：

使得C2=C，所以符號(hào)模式矩陣C是允許冪等的，即B∈ID。

1 引 理

引理1［5］A是可約的n×n的符號(hào)模式矩陣，則A可置換相似為Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型，即

其中Aii是完全為零或正的方陣（包括一階零矩陣），i=1,2,…,k。

引理2［3］符號(hào)模式矩陣的符號(hào)冪等及允許冪等在以下變換下是封閉的：

（1）符號(hào)差相似；

（2）置換相似；

（3）轉(zhuǎn)置。

2 非負(fù)符號(hào)模式矩陣的冪等性

下面先來討論非負(fù)符號(hào)模式矩陣的冪等性，對于非負(fù)符號(hào)模式矩陣的冪等性，黃榮給出了允許冪等的刻劃［5-6］，非負(fù)符號(hào)模式矩陣是指元素取自{0,+}的符號(hào)模式矩陣，非負(fù)符號(hào)模式矩陣在矩陣的運(yùn)算過程中不會(huì)出現(xiàn)除非負(fù)元素外的其他元素。

定理1［6］設(shè)A是一個(gè)n階非負(fù)符號(hào)模式矩陣，則A是符號(hào)冪等的充分必要條件是A允許冪等。

根據(jù)定理1，可以知道在非負(fù)符號(hào)模式矩陣中，只要一個(gè)符號(hào)模式矩陣A是符號(hào)冪等的，那么它就是允許冪等的，所以下面只對非負(fù)符號(hào)模式矩陣的符號(hào)冪等性進(jìn)行研究。

對于非負(fù)符號(hào)模式矩陣的冪等性研究，先從不可約的非負(fù)符號(hào)模式矩陣開始研究。對于非負(fù)符號(hào)模式矩陣，如果n×n符號(hào)模式矩陣A的元素aij＞0，符號(hào)模式矩陣A必然是符號(hào)冪等的，同樣，A也是允許冪等的。

定理2［6］設(shè)符號(hào)模式矩陣A是一個(gè)不可約的n階非負(fù)符號(hào)模式矩陣，則A符號(hào)冪等的充分必要條件是 A＞0或A=0。

對于一個(gè)n階符號(hào)模式矩陣A，如果A是可約的，則存在n階置換符號(hào)模式矩陣A，使得

其中：B,D是非零方陣，則A是可約符號(hào)模式矩陣［1］。又根據(jù)引理1，可約符號(hào)模式矩陣可置換相似為Frobeniu 標(biāo)準(zhǔn)型為［5］：

由于Frobeniu標(biāo)準(zhǔn)型是上三角符號(hào)模式矩陣，根據(jù)引理 2，只要研究所有的 i＜j(i,j=1,2,…,k)的矩陣塊的冪等關(guān)系就能反映出原矩陣的冪等性。如果可約符號(hào)模式矩陣A是符號(hào)冪等的，那么A的Frobeniu標(biāo)準(zhǔn)型中的Aij也是符號(hào)冪等的，即A2ij=Aij，對于非負(fù)符號(hào)模式矩陣而言，由定理2可知Aij≥0。

定理3 設(shè)A是一個(gè)n階可約非負(fù)符號(hào)冪等模式矩陣，它的Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型為：

若 Aii＞0(i=1,2,…,k)，則對任意 i＜j，Aii＞0 或 Aii=0。

證明：（反證法）假設(shè)存在 Aii(i＜j)，且 Aii中既有零元又有非零元，同時(shí)，不妨設(shè)Aii的第i行第j列元素為零，因?yàn)锳2=A，矩陣A2也能置換相似為Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型，且其第i行第j列的方陣與Aii相等，則Aij可表示為

由于Aij的第i行第j列的元素aij為零，可知上式的任意兩項(xiàng)的和，都有第i行第j列的元素為零，不妨取 AiiAij+AijAjj， 可知 aij=aiiaij+ai，i+1ai+1，j+…+aijajj=0其中 aii,ai,i+1,…,aij為Aii中的非零元素，aij,ai+1,i,…,ajj為Aij的非零元素，且

其中：aii,ai,i+1,…,aij為Aij的非零元素，aij,ai+1，j,…,ajj為Ajj中的非零元素，由題設(shè)，Aii,Ajj＞0，可得Aij的第i行和第j列全為零。同理可知Aij=0，即Aij為零方陣，與假設(shè)矛盾，定理得證。

接下來，可以構(gòu)造一個(gè)n階可約非負(fù)符號(hào)冪等模式矩陣：

根據(jù)定理3，令k=n，Aij為一階矩陣，則當(dāng)aii＞0(i=1,2，…，n)，對任意 i＜j，aij＞0 或 aij=0。

反過來，若 aij≥0(i＜j)，可得 aii≥0，可以推導(dǎo)出符號(hào)冪等的充分必要條件如下：

定理4 設(shè)

是一個(gè)n階可約非負(fù)符號(hào)模式矩陣，則A符號(hào)冪等的充分必要條件為：

對任意 i＜j，有 aij＞0 或 aij=0，且滿足：

（1）若存在 1≤s＜t＜n，使得對任意 s≤i＜t，有 aii=0，則對任意 s≤i＜j≤t，有 aij=0；

（2）若存在 1≤s＜t≤n，使得 ast=0，則對任意 s≤p≤t，有 aspapt=0。

證明：充分性是顯然的，下面證明必要性。（1）由已知得：對任意 s≤i＜t，有 aii=0則(A2)i,i+1=aiiai,i+1+ai,i+1ai+1,i+1=0

因?yàn)锳2=A，所以對任意 s≤i＜t，有(A2)i,i+1=ai,i+1=0，又因?yàn)?/p>

(A2)i,i+2=aiiai,i+2+ai,i+1ai+1,i+2+ai,i+2ai+2,i+2=0， 同理由A2=A，對任意 s≤i＜t，有(A2)i,i+2=ai,i+2=0，類似可證，對任意s≤i＜j≤t，有 aij=0。

（2）因?yàn)锳2=A，由 ast=0，有(A2)st=0，即(A2)st=assast+as,s+1as+1,t+…+astatt=0，因?yàn)锳為非負(fù)符號(hào)模式矩陣，所以有

assast=as,s+1as+1,t=…=astatt=0，所以，對任意 s≤p≤t有aspapt=0。

根據(jù)以上結(jié)論，可以構(gòu)造一個(gè)符號(hào)冪等的符號(hào)模式矩陣，例：設(shè)n=5,s=2,t=4，可以構(gòu)造一個(gè)5階的符號(hào)模式矩陣A如下：易證A符號(hào)冪等的。

根據(jù)引理1，若n階可約符號(hào)模式矩陣

那么A能置換相似為Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型

根據(jù)定理4的結(jié)論，可推導(dǎo)出以下結(jié)論：

定理5 設(shè)A是n階可約非負(fù)符號(hào)模式矩陣，它的Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型為

則A符號(hào)冪等的充分必要條件為：

對任意 i＜j，有 Aij＞0 或 Aij=0，且滿足

（1）若存在 1≤s＜t≤n，使得對任意 s≤i≤t，有Aij=0，則對任意 s≤i＜j≤t有 Aij=0。

（2）若存在 1≤s＜t≤n，使得 Ast=0，則對任意 s≤p≤t，有 AspApt=0。

證明：略。

3 符號(hào)模式矩陣符號(hào)冪等與允許冪等的關(guān)系

在文獻(xiàn)［4］中，我們知道：若一個(gè)方的非負(fù)符號(hào)模式矩陣A是允許冪等的，則A是符號(hào)冪等的。然而，對一般的n×n允許冪等的符號(hào)模式矩陣A，我們卻不能得出A是符號(hào)冪等的。這是因?yàn)樵贏2的運(yùn)算中會(huì)出現(xiàn)#元素，所以我們得到的是A2與A是相容的，即 A2?cA。例如：有B=B2，所以A是允許冪等的，但A不是符號(hào)冪等的。

由于A2運(yùn)算中的#元素，文獻(xiàn)［3］中指出對一般符號(hào)模式矩陣是不成立的。

現(xiàn)在，我們來考慮這個(gè)問題的反面。很顯然，對一般情況而言，它也是不成立的。例如：是符號(hào)冪等的，但我們找不到任何的實(shí)矩陣B∈Q(A)使得B=B2，即：A是符號(hào)冪等的，但A是允許冪等的。在文獻(xiàn) ［3］、［4］ 和 ［6］中，已經(jīng)給出了一些關(guān)于符號(hào)冪等與允許冪等的結(jié)論，特別是在文獻(xiàn)［6］中，作者得出了一些關(guān)于非負(fù)符號(hào)模式矩陣冪等的等價(jià)命題。

定理6 如果符號(hào)模式矩陣A是允許冪等的,且在A2的運(yùn)算中沒有出現(xiàn)#元素，那么A是符號(hào)冪等的,且A的主對角線上的元素為非負(fù)元素。

證明：由于A是允許冪等的，所以A2?cA，又因?yàn)樵贏2的運(yùn)算中沒有出現(xiàn) #元素,故A是符號(hào)冪

等的。根據(jù)引理1，A可廣義置換相似于

其中Aii是方的全正或者全為零的符號(hào)模式矩陣，i=1,2,…,k。故存在置換符號(hào)模式矩陣P使得A=PTBP。由于在進(jìn)行廣義置換相似的過程中，A的主對角元素的符號(hào)并不會(huì)發(fā)生變化，只是位置順序發(fā)生變化。所以A的主對角元素的符號(hào)與B的主對角元素的符號(hào)相同，從而，根據(jù)B的主對角元素的符號(hào)，我們可以得出A的主對角線上的元素為非負(fù)元素。

定理7 設(shè)A是n×n可約符號(hào)模式矩陣，若存在n階置換符號(hào)模式矩陣S，使得B=STAS為非負(fù)符號(hào)冪等模式矩陣，則A是允許冪等的。

證明：因?yàn)锽=STAS為非負(fù)符號(hào)模式矩陣，且B是符號(hào)冪等的，由定理1知B是允許冪等的，所以，存在實(shí)矩陣C∈Q(B)，令C2=C。從而，存在實(shí)矩陣S′∈Q(S)，使得 S′CS′T∈Q(A)，有(S′CS′T)2=S′C2S′T=S′CS′T，所以，A允許冪等。

定理8 設(shè)A為n階可約符號(hào)冪等模式矩陣，它的Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型為

其對角塊不存在零元，若存在n階置換矩陣S，使得B=STAS為非負(fù)符號(hào)冪等模式矩陣，則A是允許冪等的。

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The Idempotent Properties of Sign Pattern Matrices

ZHU Xingwen WANG Pengde
(Dali University,Dali 671003)

We investigated the properties of sign pattern matrices,giving the form of upper triangular block matrices in sign pattern matrices with the form of frobenius,providing the method to construct the idempotence in sign pattern matrices,researching the relations between the sign idempotent and the allowance of idempotent.

sign pattern matrix；sign idempotent；allowance of idempotent

O157.5

A

1673-1980(2012)05-0172-04

2012-04-09

云南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2006A0089M)；云南省教育廳科研基金項(xiàng)目(2007C112006)；大理學(xué)院青年教師科研基金項(xiàng)目(KYQN2010-18)

朱興文（1985-），男，云南宣威人，碩士，助教，研究方向?yàn)榻M合數(shù)學(xué)與組合矩陣論。