由多個(gè)高斯函數(shù)表征的發(fā)光二極管光譜模型

談 茜，饒 豐，張永林* ，徐何辰

(1.江蘇科技大學(xué)，江蘇 鎮(zhèn)江212003;2.江蘇檢驗(yàn)檢疫車輛燈具實(shí)驗(yàn)室，江蘇 丹陽(yáng)212300)

1 引 言

發(fā)光二極管( LED) 是半導(dǎo)體發(fā)光光源［1］，與傳統(tǒng)光源相比，具有體積小、壽命長(zhǎng)、光效高、光強(qiáng)穩(wěn)定［2］、可智能控制［3］以及產(chǎn)品豐富等優(yōu)點(diǎn)。LED 光譜是其光度色度特性研究的基礎(chǔ)，目前對(duì)于LED 光譜的研究主要有兩方面:一是研制先進(jìn)的LED 光譜測(cè)量?jī)x器;二是研究能準(zhǔn)確描述LED光譜及其隨條件變化的數(shù)學(xué)模型。LED 光譜模型對(duì)于光度色度測(cè)量?jī)x器的研制、智能化LED 產(chǎn)品的設(shè)計(jì)具有重要的意義，因此受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。

2005 年，沈海平等人提出了一種描述LED 平均光譜的改進(jìn)的高斯模型［4］，該模型將單色LED描述成對(duì)稱的分布，但實(shí)際的LED 光譜是不對(duì)稱的，同時(shí)該模型與實(shí)測(cè)光譜的誤差較大。2010年，何國(guó)興等人用分段函數(shù)建立不同驅(qū)動(dòng)電流下LED 的光譜模型［5］，該模型較好地描述了LED 光譜的不對(duì)稱性，但是精度不高，由于采用了分段函數(shù)，不便于應(yīng)用。同年，朱繼亦等人建立了修正的非對(duì)稱的高斯分布模型［6］，該模型與實(shí)際光譜的相關(guān)指數(shù)R2在0.94 以上［7］，但該模型要事先判斷光譜的不對(duì)稱性，并輸入一些參數(shù)，不利于自動(dòng)化建模。更重要的是，已報(bào)道的這些模型均不能描述熒光粉轉(zhuǎn)化LED 的光譜。

本文選用紅、黃、藍(lán)、綠和白色5 種LED 為研究對(duì)象，采用LED 光色電綜合分析儀，測(cè)量不同驅(qū)動(dòng)電流下LED 的光譜，提出了由多個(gè)高斯函數(shù)表征的一種新型LED 光譜模型。該模型對(duì)于n(n≥1) 個(gè)波峰的LED，選用3n個(gè)高斯函數(shù)來(lái)表示。采用額定電流下LED 的光譜計(jì)算模型系數(shù)，在求取其它電流下的光譜時(shí)，只需將峰值波長(zhǎng)和半波寬換成相應(yīng)電流下的值。為了驗(yàn)證該模型的準(zhǔn)確性，分析了該模型與實(shí)測(cè)光譜之間的誤差，并將該模型與已報(bào)道的模型進(jìn)行比較。結(jié)果表明，本研究提出的模型不但精度較高、便于數(shù)據(jù)處理，而且結(jié)果具有普適性，有利于LED 的研究和應(yīng)用。

2 實(shí) 驗(yàn)

采用的實(shí)驗(yàn)裝置是杭州遠(yuǎn)方公司的LED 光色電綜合測(cè)試系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)如圖1 所示。數(shù)控高精度恒流電源給待測(cè)LED 提供電源，積分球、光譜計(jì)能夠快速測(cè)量待測(cè)LED 的光譜分布并輸入計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和處理。

本實(shí)驗(yàn)選用驅(qū)動(dòng)電流為20 mA 的紅、黃、藍(lán)、綠、白5 種顏色LED 各10 只，驅(qū)動(dòng)電流為350 mA的紅、黃、藍(lán)、綠、白色LED 各10 只，共100 只作為研究對(duì)象。

圖1 LED 光色電綜合分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of LED photometric，chromatic and electric characteristic analyzer

根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)［8］，日常LED 燈具在額定電壓和額定頻率下穩(wěn)定工作時(shí)，其實(shí)際消耗的功率與額定功率之差應(yīng)不大于15%，因此，本研究測(cè)量了驅(qū)動(dòng)電流為20 mA 的LED 在12 ～24 mA 下的光譜，測(cè)量間隔為2 mA，約為額定功率的60% ～120%;同時(shí)測(cè)量了驅(qū)動(dòng)電流為350 mA 的LED 在300 ～400 mA 下的光譜，間隔為10 mA，約為額定功率的84% ～116%。測(cè)試環(huán)境溫度為10 ℃。測(cè)試時(shí)采用脈沖點(diǎn)燈，并采用恒溫器，以防止結(jié)溫的影響［9］。

3 LED 光譜模型及誤差分析

3.1 模型的提出

表1 給出了各單峰LED 由1 ～4 個(gè)高斯函數(shù)擬合的光譜曲線與實(shí)測(cè)光譜之間的誤差平方和。從表中可以看出，1 個(gè)高斯函數(shù)擬合時(shí)，誤差平方和較大，約為20%; 2 個(gè)高斯函數(shù)擬合時(shí)，藍(lán)色LED 誤差平方和超過(guò)5%;3 個(gè)高斯函數(shù)擬合時(shí)，誤差平方和均在1%左右，而實(shí)驗(yàn)中使用的光譜儀重復(fù)測(cè)量的誤差平方和為4%，測(cè)量誤差占主導(dǎo)，擬合誤差可以忽略;4 個(gè)高斯函數(shù)擬合時(shí)，測(cè)量誤差仍是主要因素，降低擬合誤差意義不大，同時(shí)，4 個(gè)高斯函數(shù)擬合時(shí)的表達(dá)式比3 個(gè)高斯函數(shù)復(fù)雜。因此，本研究對(duì)于單峰LED，其光譜F( λ) 用3 個(gè)高斯函數(shù)表示，如式(1) :

式中:A1i(i=1，2，3) 為各高斯函數(shù)所占的權(quán)重，a1i(i=1，2，3) 為系數(shù)，λp為L(zhǎng)ED 峰值波長(zhǎng)，Δλ為半波光束角，m1i(i=1，2，3) 為光譜峰值波長(zhǎng)修正系數(shù)，m11=0。

表1 誤差平方和(SSE)Tab．1 Square sum of error(SSE)

熒光粉轉(zhuǎn)換式LED 的光譜為雙峰，經(jīng)研究，其光譜F( λ) 可以采用式(2) 表示:

式中:A2j(j=1，2，3) 為各高斯函數(shù)所占的權(quán)重，a2j(j=1，2，3) 為系數(shù)，m2j(j=1，2，3) 為熒光粉峰值波長(zhǎng)修正系數(shù)，λ＇p，Δλ＇為熒光粉峰值波長(zhǎng)與熒光粉半峰光束角，m21=0。

3.2 多高斯模型系數(shù)尋優(yōu)算法原理

對(duì)于n個(gè)峰值的LED 選擇3n個(gè)高斯函數(shù)進(jìn)行擬合，利用最小二乘原理［9］對(duì)系數(shù)求最優(yōu)解。具體過(guò)程如下，殘差f(xi) :

式中:F(xi，λ) 為光譜模型，xi為模型中的系數(shù)，即:xi=［A1i，A2j，a1i，a2j，m1i，m2j］(i=1，2，3;j=1，2，3) ，Sreal為實(shí)測(cè)光譜。殘差f(xi) 的2-范數(shù)達(dá)到最小值的解即為最小二乘解，它可使總體誤差較小。據(jù)此，將目標(biāo)函數(shù)確定為:

式中:n為波峰的個(gè)數(shù)，λ 為波長(zhǎng)。

計(jì)算該模型系數(shù)的最佳值實(shí)際上是一個(gè)多元函數(shù)無(wú)條件極值問(wèn)題，極值問(wèn)題的解通常是局部最優(yōu)解，尋找全局最優(yōu)解需要對(duì)局部最優(yōu)解進(jìn)行比較后得到［11］。求解優(yōu)化問(wèn)題的基本思想是用迭代法搜索最優(yōu)解。迭代的第1 步是確定n維空間中的一點(diǎn)x0i的步長(zhǎng)ε，以使到達(dá)下一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值f(xi) 下降，直至滿足迭代終止條件。流程圖如圖2 所示。

圖2 模型系數(shù)求解流程圖Fig.2 Flow chart of calculating model coefficients

利用大、小功率LED 分別在額定電流為350和20 mA 時(shí)的光譜計(jì)算各顏色LED 的光譜模型的擬合系數(shù)，結(jié)果如表2 所示，表中m1j(j=1，2)有正有負(fù)，可見(jiàn)光譜具有不對(duì)稱性，其值的大小可表示左右不對(duì)稱的程度。

表2 單色LED 模型系數(shù)Tab．2 Model coefficients of monochrome LED

3.3 LED 的光譜模型與真實(shí)光譜之間的誤差

研究中常用誤差函數(shù)E來(lái)表征模型光譜與真實(shí)光譜之間的誤差，如式(5) 所示:

式中:Sreal( λ) 為實(shí)測(cè)LED 光譜，Smodel( λ) 為由模型求得的光譜。

圖3 為各顏色大功率LED 光譜模型與實(shí)測(cè)光譜在300 ～400 mA 的平均誤差，圖中橫坐標(biāo)為電流，縱坐標(biāo)為平均誤差函數(shù)。由圖可知，綠光的平均誤差最大，約為4.65%，其它由大到小依次為紅色，白色、藍(lán)色和黃色，平均誤差分別為3.45%、2.49%、2.33%、1.01%，黃色最小。

同理，圖4 為各顏色小功率LED 光譜模型與實(shí)測(cè)光譜在12 ～24 mA 下的平均誤差，由此可知各顏色光譜模型與實(shí)測(cè)光譜之間的誤差由大到小依次為藍(lán)色、綠色、黃色、紅色和白色，其誤差平均值分 別 為 3.77%、2.87%、2.65%、2.61%、2.48%。

3.4 多高斯組合模型與其它模型的比較

圖3 大功率LED 模型與實(shí)測(cè)光譜之間的誤差Fig.3 Error between the model of high power LED＇s spectrum and the measured one

表3 小功率不同顏色LED 在各模型下的誤差Tab．3 Error between the model and the measured spectrum of small power LED with different colors(%)

為了驗(yàn)證本文中模型的精度，將本文提出的模型與已經(jīng)報(bào)道的3 個(gè)光譜模型進(jìn)行了比較。為了表述方便，將沈海平、何國(guó)興、朱繼亦等人建立的模型分別稱為模型一［4］、模型二［5］、模型三［6］，結(jié)果如表3 所示。由表3 可知，本文中提出的模型與實(shí)測(cè)光譜之間的誤差均小于3%，而其它模型與真實(shí)光譜的誤差一般在10%以上。因此，本文提出的模型較其它3 種模型的精度有了較大的提高。另外，模型一、二、三均未涉及白光光譜模型的研究，而本文給出了白光光譜模型，擴(kuò)大了LED 光譜研究的范圍，也說(shuō)明本模型具有較好的普適性。

圖4 小功率LED 模型與實(shí)測(cè)光譜之間的誤差Fig.4 Error between the model of small power LED＇s spectrum and the measured one

4 結(jié) 論

利用LED 光色電綜合測(cè)試系統(tǒng)測(cè)量了5 種顏色不同功率的LED 的光譜，并借助仿真軟件對(duì)光譜進(jìn)行了研究。提出了一種新型LED 光譜模型，并利用各顏色LED 在額定電流下的光譜計(jì)算模型中的系數(shù)，還將該模型與已報(bào)道的模型進(jìn)行了對(duì)比。研究發(fā)現(xiàn):對(duì)于n(n≥1) 個(gè)波峰的LED，可用3n個(gè)高斯函數(shù)形式的模型來(lái)表示，大功率紅、黃、藍(lán)、綠、白LED 的誤差分別為3.45%、1.01%、2.33%、4.65%、2.49%; 小功率LED 的誤差分別為2.61%、2.65%、3.77%、2.87%、2.48%。本模型可為光學(xué)儀器及智能化LED 產(chǎn)品的設(shè)計(jì)提供參考。

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