基于Unitary ESPRIT的雙基地MIMO雷達(dá)目標(biāo)定位算法

閆金山，彭秀艷，王咸鵬

(哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

近年來，多輸入多輸出(multiple-input multipleoutput，MIMO)雷達(dá)是學(xué)術(shù)界提出的一種新體制雷達(dá)，目前已經(jīng)成為雷達(dá)的研究熱點(diǎn).MIMO雷達(dá)發(fā)射端的各個(gè)陣元發(fā)射相互正交的信號(hào)，在接收端通過匹配濾波分離出各個(gè)發(fā)射陣元的信號(hào).根據(jù)MIMO雷達(dá)發(fā)射陣列和接收陣列的陣元配置方式，可以將 MIMO雷達(dá)分為統(tǒng)計(jì) MIMO雷達(dá)［1-2］和共址MIMO雷達(dá)［3-4］.統(tǒng)計(jì)MIMO雷達(dá)的陣元距較大，滿足空間分集條件，通過合并不同方向的回波信號(hào)來抑制目標(biāo)的閃爍特性，獲得較大的空間分集增益，提高目標(biāo)的探測(cè)性能［1-2］.共址MIMO雷達(dá)陣元距離很小，通常為半個(gè)波長(zhǎng)，不具備空間分集特點(diǎn)，在接收端通過匹配濾波形成很大的虛擬陣列孔徑，提高了MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的自由度和目標(biāo)估計(jì)精度［3-4］.

目前MIMO雷達(dá)主要研究包括MIMO雷達(dá)波束合成［5］、波形設(shè)計(jì)［6］以及目標(biāo)定位［7］等方面，其中多目標(biāo)定位為最重要方向之一.由于MIMO雷達(dá)的回波信號(hào)同時(shí)包含了目標(biāo)相對(duì)于發(fā)射陣列和接收陣列的方位角信息，因此可以通過估計(jì)這些方位角實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的交叉定位.文獻(xiàn)［7］將Capon算法應(yīng)用到MIMO雷達(dá)中，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)目標(biāo)的波離方向(direction of departure，DOD)和波達(dá)方向(direction of arrival)聯(lián)合估計(jì)，但由于涉及二維空間譜搜索，運(yùn)算量大.文獻(xiàn)［8］將ESPRIT算法同時(shí)運(yùn)用在MIMO雷達(dá)的發(fā)射端和接收端，利用信號(hào)子空間的旋轉(zhuǎn)不變特性實(shí)現(xiàn)了多個(gè)目標(biāo)的DOD和DOA估計(jì)，但需要額外的配對(duì)運(yùn)算.文獻(xiàn)［9-10］是對(duì)文獻(xiàn)［8］的改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了DOD和DOA的自動(dòng)配對(duì)，且運(yùn)算復(fù)雜度得到降低.文獻(xiàn)［11］表明，ESPRIT具有良好的穩(wěn)健性，但估計(jì)精度偏低.

為了克服ESPRIT算法的缺點(diǎn)，本文提出一種基于Unitary ESPRIT的MIMO雷達(dá)多目標(biāo)定位方法.該算法通過利用MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣列和接收陣列的相位延遲特性對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，有效的增加了接收數(shù)據(jù)信息，且使協(xié)方差矩陣為Centro-Hermitian矩陣，然后通過酉變換將重構(gòu)接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣從復(fù)數(shù)域變換到實(shí)數(shù)域，使所有的運(yùn)算均在實(shí)數(shù)域進(jìn)行，最后利用Unitary ESPRIT算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)于目標(biāo)DOA和DOA估計(jì)，且估計(jì)參數(shù)自動(dòng)配對(duì).與文獻(xiàn)［8-9］中的方法相比，本文算法利用MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣列和接收陣列的相位延遲因子特性，獲得更多接收數(shù)據(jù)的有效信息，提高了目標(biāo)估計(jì)性能，同時(shí)所有的特征值分解和矩陣運(yùn)算均在實(shí)數(shù)域進(jìn)行，大大降低了運(yùn)算復(fù)雜度.

1 MIMO雷達(dá)信號(hào)模型

如圖1所示為雙基地MIMO雷達(dá)結(jié)構(gòu)，發(fā)射陣列和接收陣列均為均勻等距線性陣列，所有的天線均為全向天線，有M個(gè)發(fā)射陣元和N個(gè)接收陣元，dt和dr分別為發(fā)射和接收陣元距.各個(gè)發(fā)射陣元同時(shí)發(fā)射同頻正交的周期相位編碼信號(hào)，其中發(fā)射信號(hào)滿足以下條件:

式中:si和sj分別為第i個(gè)和第j個(gè)發(fā)射陣元的信號(hào)，L為每個(gè)重復(fù)周期的相位編碼的個(gè)數(shù).假設(shè):多普勒頻移對(duì)于信號(hào)的正交性沒有影響;目標(biāo)和發(fā)射陣元、接收陣元的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于發(fā)射陣列孔徑和接收陣列孔徑，且目標(biāo)之間互不相關(guān).

圖1 雙基地M IMO雷達(dá)結(jié)構(gòu)Fig.1 Bistatic M IMO radar scenario

若在相同分辨距離單元上存在p個(gè)目標(biāo)，第i個(gè)目標(biāo)相對(duì)發(fā)射陣元的方位角為φi(i=1，2，…，p)，相對(duì)接收陣元的方位角為 θi(i=1，2，…，p)，其中(φi，θi)為第i個(gè)目標(biāo)的位置.接收陣列接收到得信號(hào)可表示為

式中:y(t)=［y1(t)y2(t) … yN(t)］T為接收陣列輸出矢量;A(θ)=［a(θ1)，a(θ2)，…，a(θp)］，其 中 a (θi)= ［1 e－j(2π/λ)drsinθi…

e－j(2π/λ)(N－1)drsinθi］T為 N ×1 維的接收陣列導(dǎo)向矢量，λ為載波的波長(zhǎng);diag(α)表示由矢量 α=［α1α2…

αp］構(gòu)成的 p×p對(duì)角矩陣，其中 αi(i=1，2，…，p)為第 i個(gè)目標(biāo)的散射系數(shù);B=(φ)=［b(φ1)b(φ2)… b(φp)］， 其 b(φ1)= ［1e－j(2π/λ)dr sinφi… e－j(2π/λ)(N－1)dr sinφi］T為 M × 1 維的發(fā)射導(dǎo)向矢量;s(t)=［ej2πf1dej2πf2d… ej2πfpd］T為散射信號(hào)，fi(i=1，2，…，p)為第 i個(gè)目標(biāo)的多普勒頻率.v(t)為陣列接收的零均值平穩(wěn)白噪聲，假設(shè)它與信號(hào)相互獨(dú)立.那么接收陣列在接收w個(gè)重復(fù)周期內(nèi)的輸出信號(hào)與發(fā)射信號(hào)相關(guān)(設(shè)相關(guān)長(zhǎng)度為L(zhǎng))，那么相關(guān)接收機(jī)組輸出［8］可表示為

式中:Yr=［y1，y2，…，yw］是維數(shù)為 MN × w 的數(shù)據(jù)矩陣，其中yp為接收陣列在第 p(p=1，2，…，w)個(gè)重復(fù)周期內(nèi)回波信號(hào)通過相關(guān)接收機(jī)組后得到的MN ×1的數(shù)據(jù)矢量.Kr(φ，θ)=Ar⊙At=［kr(φ1，θ1)kr(φ2，θ2) … kr(φp，θp)］為維數(shù) MN × p的導(dǎo)向矩陣，其中 kr(φi，θi)=a(φi)?a(θi)，(i=1，2，…，p)，其中⊙和?分別表示 Khatri-Rao乘積和Kronecker乘積.vr=［vr1vr2… vrw］為匹配濾波后的噪聲矢量，其中vri(i=1，2，…，w)為NM ×1的矢量，且 vri=Nc).由式(3)可知接收陣列等效于一個(gè)陣元數(shù)為MN的虛擬陣列，其輸出數(shù)據(jù)的采樣拍數(shù)為w.

2 基于Unitary ESPRIT的多目標(biāo)定位方法

2.1 MIMO雷達(dá)的相位延遲關(guān)系

將MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣列和接收陣列分為2個(gè)子陣，其中發(fā)射子陣1和發(fā)射子陣2分別由發(fā)射陣列前M－1和后M－1個(gè)陣元組成.接收子陣1和接收子陣2由接收陣列的前N－1和后N－1個(gè)陣元組成.若由發(fā)射子陣1和接收子陣1為MIMO雷達(dá)的一部分，且導(dǎo)向矢量記為Kr1(φ，θ).發(fā)射子陣2和接收子陣2為MIMO雷達(dá)的另一部分，且導(dǎo)向矢量記為Kr2(φ，θ).則有

式中:Kr1(φ，θ)由 Kr(φ，θ)的第(i－1)M+j(i=1，2，…，N －1;j=1，2，…，M －1)行組成的(M －1)(N －1)×p矩陣;Kr2(φ，θ)由 Kr(φ，θ)的第(i－1)M+j+1(i=2，3，…，N;j=1，2，…，M －1)行組成的(M－1)(N－1)×p矩陣.Φ為一個(gè)p×p的對(duì)角矩陣，它代表了MIMO雷達(dá)發(fā)射陣列和接收陣列中存在的相位延遲關(guān)系.根據(jù)均勻線陣MIMO雷達(dá)導(dǎo)向矢量的特性，對(duì)角矩陣Φ的第k個(gè)對(duì)角元素為

從式中可知，對(duì)角矩陣Φ只與MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣列和接收陣列的陣元距、信號(hào)的波長(zhǎng)以及目標(biāo)的DOD和DOA有關(guān)系，和信號(hào)的形式無關(guān)，且該相位延遲因子為酉矩陣，即Φ－1=ΦH=Φ*.

定義一個(gè)MN×MN反對(duì)角矩陣J.

由MIMO雷達(dá)的導(dǎo)向矩陣Kr(φ，θ)的結(jié)構(gòu)特性和反對(duì)角置換矩陣J，得到MIMO雷達(dá)的導(dǎo)向矩陣與相位延遲關(guān)系對(duì)角矩陣的一種性質(zhì).若M=N，則

若M≠N，則有

2.2 多目標(biāo)定位方法

根據(jù)式(7)、(8)的性質(zhì)，對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，若 M=N，則

若M≠N，則

從式(10)、(11)可知，重構(gòu)后的噪聲矢量v(t)仍為高斯白噪聲，且利用了MIMO雷達(dá)相位延遲的性質(zhì)對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)的數(shù)據(jù)包含了接收數(shù)據(jù)的前后向均值.若采樣拍數(shù)為w，接收數(shù)據(jù)的維數(shù)MN×w，重構(gòu)的接收數(shù)據(jù)維數(shù)為MN×2w，因此有效的增加了接收數(shù)據(jù)信息，使得估計(jì)精度增加一倍，獲得更高的估計(jì)性能.

重構(gòu)的接收數(shù)據(jù)Z(t)的協(xié)方差矩陣為

由式(12)和反對(duì)角置換矩陣J可得

若MN為奇數(shù)，則

在式(14)中，I和J分別是維數(shù)為(MN/2)×(MN/2)的單位矩陣和反對(duì)角置換矩陣.

在式(15)中，I和J分別是維數(shù)為((MN－1)/2)×((MN－1)/2)的單位矩陣和反對(duì)角矩陣為維數(shù)1×((MN－1)/2)的全零行向量.且觀察酉變換矩陣

利用酉變換矩陣U對(duì)協(xié)方差矩陣RZ進(jìn)行處理:

由式(16)可知，通過酉變換后的實(shí)值導(dǎo)向矩陣和復(fù)值導(dǎo)向矩陣之間的關(guān)系為

對(duì)實(shí)數(shù)域的協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解:

式中:Es為非零特征值對(duì)應(yīng)的左特征向量組成的MN×p信號(hào)子空間，En為零特征值對(duì)應(yīng)的左特征向量組成的MN×(MN－p)噪聲子空間;Σ為非零特征值構(gòu)成的p×p對(duì)角矩陣，V為所有特征值對(duì)應(yīng)的右特征向量組成的MN×MN矩陣.

令 K1=［IN(M－1)0］，K2=［0 IN(M－1)］，且 K1和K2均為N(M－1)×MN維的矩陣.根據(jù)MIMO雷達(dá)的導(dǎo)向矩陣結(jié)構(gòu)可知，復(fù)值導(dǎo)向矩陣存在以下旋轉(zhuǎn)不變特性

式中 Φr=diag［e－j(2π/λ)drsinθ1，…，e－j(2π/λ)drsinθp］.

根據(jù)式(17)是實(shí)值導(dǎo)向矩陣和復(fù)值導(dǎo)向矩陣之間的關(guān)系和式(19)可知，實(shí)值導(dǎo)向矩陣中存在以下旋轉(zhuǎn)不變特性［12］:

其中:

因此，對(duì)于實(shí)值信號(hào)子空間，則存在以下關(guān)系:

對(duì)實(shí)值信號(hào)子空間Es進(jìn)行以下變換:

令 K3=［IM(N－1)0］，K4=［0 IM(N－1)］，且K3和K4均為M(N－1)×MN維的矩陣.相似的，對(duì)于實(shí)值信號(hào)子空間，將存在一個(gè)對(duì)角矩陣滿足:

2.3 運(yùn)算復(fù)雜度分析

本文算法通過酉變換將協(xié)方差矩陣從復(fù)數(shù)域變換到實(shí)數(shù)域，在后續(xù)的運(yùn)算均在實(shí)數(shù)域進(jìn)行計(jì)算.在實(shí)數(shù)域進(jìn)行特征值分解和矩陣運(yùn)算的運(yùn)算量約為在復(fù)數(shù)域進(jìn)行運(yùn)算的1/4.文獻(xiàn)［8-9］的特征值分解和矩陣運(yùn)算均在復(fù)數(shù)域進(jìn)行，而本文算法在實(shí)數(shù)域里進(jìn)行特征值分解和矩陣運(yùn)算，因此本文算法的運(yùn)算量約為文獻(xiàn)［8-9］的1/4.

3 仿真結(jié)果與分析

下面通過Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文算法有效性和估計(jì)性能.雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖一所示，發(fā)射陣元距和接收陣元距均為半個(gè)波長(zhǎng);發(fā)射陣元和接收陣元分別為M=6和N=8;發(fā)射陣元發(fā)射相互正交的Gold碼波形;假設(shè)空間存在p=3個(gè)非相關(guān)目標(biāo)，分別位于(φ1，θ1)=(－ 20°，10°)，

圖2為本文算法對(duì)目標(biāo)二維方位角進(jìn)行定位所得的星座圖.仿真采用100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)，3個(gè)目標(biāo)的信噪比為10 dB，采樣拍數(shù)為200.從圖中可知，本文算法準(zhǔn)確的估計(jì)出多個(gè)目標(biāo)的二維角度，且所估計(jì)角度成功配對(duì)，即本文算法可以同時(shí)有效地對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行定位.

圖3為收發(fā)角度的均方根誤差與信噪比的變化關(guān)系圖，仿真采用1 000次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)，采樣拍數(shù)為200.從圖中可知，無論是對(duì)于 DOD還是DOA，本文算法的估計(jì)性能均比文獻(xiàn)［8-9］中的ESPRIT更加優(yōu)越，這是由于本文算法利用了MIMO雷達(dá)收發(fā)陣列的相位延遲特性有效的對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，增加了接收數(shù)據(jù)信息，獲得更高的估計(jì)性能.同時(shí)，本文算法所有的特征值分解以及矩陣計(jì)算均在實(shí)數(shù)域進(jìn)行，從而大大減少了計(jì)算復(fù)雜度.

圖2 本文方法目標(biāo)定位星座圖Fig.2 The estimation results of three targets

圖3 DOD和DOA均方根誤差與信噪比的變化關(guān)系Fig.3 The RMSE of DOD and DOA versus SNR

圖4 DOD和DOA均方根誤差與采樣拍數(shù)的變化關(guān)系Fig.4 The RMSE of DOD and DOA versus snapshots

圖4為收發(fā)角度的均方根誤差與的變化關(guān)系圖.仿真采用1 000次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)，3個(gè)目標(biāo)的信噪比均為0 dB.從圖中可知，本文算法在低采樣拍數(shù)的情況保持良好的估計(jì)性能，且在整個(gè)采樣拍數(shù)增大過程中，DOD和DOA的估計(jì)性能均比文獻(xiàn)［8-9］的ESPRIT優(yōu)越.

4 結(jié)束語

本文提出一種基于Unitary ESPRIT的雙基地MIMO雷達(dá)多目標(biāo)定位方法.該算法利用MIMO雷達(dá)發(fā)射陣列和接收陣列的相位延遲特性對(duì)接收進(jìn)行重構(gòu)，有效的增加了接收數(shù)據(jù)信息，提高了目標(biāo)的估計(jì)性能;通過酉變換將重構(gòu)數(shù)據(jù)的復(fù)值協(xié)方差矩變換到實(shí)數(shù)域，使所有特征值分解和矩陣計(jì)算均在實(shí)數(shù)域進(jìn)行，大大降低了計(jì)算復(fù)雜度.最后采用Unitary ESPRIT算法對(duì)DOD和DOA進(jìn)行估計(jì)，且估計(jì)的二維角度自動(dòng)配對(duì).仿真結(jié)果證明了該算法的有效性.

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