解排列組合應(yīng)用題的思維方法

李鳳霞

（鞍山師范學(xué)院附屬衛(wèi)生學(xué)校，遼寧 鞍山 114003）

解排列組合應(yīng)用題的思維方法

李鳳霞

（鞍山師范學(xué)院附屬衛(wèi)生學(xué)校，遼寧 鞍山 114003）

排列組合問題是歷年高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際、生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握。因此，掌握常見的排列組合應(yīng)用問題的解法是很有必要的。

元素；排列組合；應(yīng)用題；思維方法

1 相鄰問題捆綁法

有些排列組合問題中，要求某些元素必須相鄰，對(duì)這類問題解題的常用方法是：先將這些特殊元素捆綁成一個(gè)整體，即視為一個(gè)元素，與其他元素進(jìn)行排列或組合，再考慮捆綁的元素如何排列或組合，從而達(dá)到求解的目的。

例1：A、B、C、D、E 5個(gè)人并排站成一排，如果A、B兩人必須相鄰，且B在A的右邊，那么不同的排法有多少種？

分析：由于A、B兩人必須相鄰，所以將A、B兩元素捆綁在一起視為一個(gè)元素，則本題相當(dāng)于4人全排列，又因?yàn)锽在A的右邊，所以共有=24種不同的排法。

2 相離問題插空法

有些排列組合問題中，要求某些元素互不相鄰，對(duì)這類問題解題的常用方法是：先將其余元素進(jìn)行全排列，再把規(guī)定相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端。

例2：聯(lián)歡會(huì)上要演出4個(gè)歌唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，如果舞蹈節(jié)目不能連排，那么有幾種排節(jié)目的方法？

3 定序問題縮倍法

在排列組合問題中，若要求某些元素必須有一定的順序，對(duì)于這類問題求解的常用方法是縮倍法，即所有元素的全排列除以受限制條件元素的全排列。

例3：信號(hào)兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上來表示信號(hào)，現(xiàn)有3面紅旗，2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示多少種不同的信號(hào)？

4 標(biāo)號(hào)排位問題分步法

有些排列組合問題中，要求元素排列到指定號(hào)碼的位置上，對(duì)這類問題解題的常用方法是：先把這些元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可達(dá)到要求。

例4：同室4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿1張別人送來的賀卡，則4張賀卡有多少種不同的分配方式？

分析：此題可以看成是將數(shù)字 1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，且每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)不同的填法問題。所以先將1填入2至4的3個(gè)方格里有C13種填法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其他3個(gè)方格里，又有C13種填法，第三步將余下的兩個(gè)數(shù)字填入剩下的兩格里只有1種填法，則4張賀卡共有3×3×1=9種不同的分配方式。

5 有序分配問題逐分法

有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，分別分配到不同的位置上，對(duì)于這類問題的常用解法是：先將元素逐一分組，然后再進(jìn)行全排列，但在分組時(shí)要注意是否均勻分組。

例5：有3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，要求每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，共有多少種不同的分配方法？

6 多元問題分類法

有些排列組合問題元素多，取出的情況也有多種，對(duì)于這類問題常用的處理方法是：先按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計(jì)算，再計(jì)算總和。

例6：由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少個(gè)？

7 交叉問題集合法

有些排列組合問題中，符合各個(gè)條件的幾部分有交集，這類問題常用的解法是用集合元素個(gè)數(shù)的公式：n（AYB）=n（A）=n（B）-n（AIB）來求解。

例7：從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法？

8 定位問題優(yōu)選法

對(duì)于某些元素要排在指定位置上的問題求解方法是：先排這些特定的元素，再考慮其余元素。

例8：計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國(guó)畫，要求排成一行來陳列，其中同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，共有多少種不同的陳列方式？

分析：先把3個(gè)品種的畫看成整體，而水彩畫不放在兩端，故只能放在中間，所以油畫和國(guó)畫有種放法，再考慮油畫和國(guó)畫本身可以全排列，所以共有種不同的陳列方式。

9 至少（至多）問題間接法

有些排列組合問題中，常含有某些元素至少或至多問題，這類問題的常用解法是采取間接的方法，即先不考慮條件求出總數(shù)，再減去所求問題的反面所包含的數(shù)。

例9：從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，至少要有甲型和乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法有多少種？

分析：由于兩種型號(hào)電視機(jī)至少各一臺(tái)的反面是只取一種型號(hào)，故有C39-C34-C35=70種不同的取法。

10 選排問題先取后排法

有些排列組合問題，要求先分組后排列，對(duì)于這類問題求解的方法是先組合后排列。

例10：4個(gè)不同的球放入編號(hào)1，2，3，4的4個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？

11 部分符合條件問題排除法

有些排列組合問題中，只有一小部分符合條件，對(duì)于這類問題求解的方法是先求出總體的數(shù)，再排除不符合條件的數(shù)，即可達(dá)到求解。

例11：以正方體的頂點(diǎn)作為棱錐的頂點(diǎn)，可作多少個(gè)三棱錐？

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1671-1246（2012）10-0085-02