張瑜, 孫明哲, 何延生
(延邊大學理學院 數(shù)學系,吉林 延吉133002)
一類分數(shù)階差分方程解的吸引性
張瑜, 孫明哲, 何延生*
(延邊大學理學院 數(shù)學系,吉林 延吉133002)
研究了一類分數(shù)階差分方程解的吸引性.首先給出該問題的解的表達式,將該問題轉(zhuǎn)化為一個算子的不動點問題.其次利用Schauder不動點定理,證明了解的存在性,并建立了該差分方程具有吸引性的充分性條件.最后將主要結(jié)果推廣到中立型分數(shù)階差分方程上.
吸引性;分數(shù)階差分方程;初值問題;Schauder不動點定理
在過去的幾十年中,分數(shù)階微分方程已得到廣泛的研究和應(yīng)用,如在物理、動力學、化學、工程學等方面[1-2].分數(shù)階差分方程研究是較新的研究領(lǐng)域,近年來才逐漸取得一些成果,例如文獻[3]研究了分數(shù)階差分方程的初值問題,文獻[4-6]研究了分數(shù)階差分方程解的存在性問題,文獻[7-9]研究了帶有邊值條件的非線性分數(shù)階差分方程的問題.有關(guān)分數(shù)階差分方程解的吸引性少有報道,本文將對此進行研究.
考慮分數(shù)階差分方程初值問題(IVP)
其中Δα表示α階分數(shù)差分算子,0<α<1,t∈N0={0,1,2,…}.f(t+α-1,·)∶J×R→R是1個連續(xù)泛函,其中記C(J,R)表示J→R映射的全體.同時是1個巴拿赫空間,其范數(shù)定義為
定義1[10]設(shè)ν>0,函數(shù)f的ν階分數(shù)和定義為,同時定義函數(shù)f的ν階分數(shù)階差分為.其中t∈Na+N+ν,且N∈N,0≤N-1<ν≤N.
定義2[11]假設(shè)x(t)=0是初值問題的解,且對應(yīng)方程的任一解x(t),若則稱方程的零解是吸引的.
定義3[10]對于任意的t和α,有,且規(guī)定如果t+1-α是Γ函數(shù)的極點,同時t+1不是Γ函數(shù)的極點,那么
引理1[10]設(shè)t和ν是任意的數(shù),并且有定義,那么
引理2[4]設(shè)0≤N-1<ν≤N,對任意的ci∈R,1≤i≤N,那么
引理3[11](Schauder不動點定理)若X是巴拿赫空間,U是X的非空有界凸閉子集,并且T∶U→U是完全連續(xù)的,那么T在U中至少有1個不動點.
為方便設(shè)Lp(J,R)是Lp空間且滿足條件(H0)是連續(xù)的.
引理5 假設(shè)條件(H0)和如下條件(H1)成立,
(H1)存在1個常數(shù)γ1>0,有
那么初值問題(1)至少有1個解x∈C(J,R).
i)A是S1到S1的1個映射.對于t≥α-1,由條件(H1),有即
iii)AS1是等度連續(xù)的.設(shè)t1,t2≥α-1和t1>t2,t1,t2∈Nα-1.分3種情況證明:
① 如果t1,t2∈ [α-1,T]Nα-1,A是有限的和算子,因此A是1個平凡完全連續(xù)算子,AS1也是等度連續(xù)的.
② 如果t1,t2∈NT+1,那么
定理1 假設(shè)條件(H0)和(H1)成立,則初值問題(1)的零解是吸引的.
證明 由引理5知,初值問題(1)的解存在且在S1中,在S1中所有函數(shù)x(t)→0,t→∞.因此,當t→∞時,初值問題(1)的解趨近于0.
引理6 假設(shè)條件(H0)和如下條件(H2)成立,
(H2)存在1個常數(shù)γ2,使得
那么初值問題(1)至少有1個解x∈C(J,R).
那么AS2?S2.剩下部分與引理5類似,故省略.
定理2 設(shè)條件(H0)和(H2)成立,那么初值問題(1)的零解是吸引的.
證明與定理1的證明類似,故省略.
引理7 假設(shè)條件(H0)成立且存在常數(shù)γ3>0及y ∈C(J,R),使得如下條件成立,且y(t)滿足條件有1個常數(shù)α2∈(0,α),使得y∈L1/α2(J,R+),那么初值問題(1)至少有1個解x∈C(J,R).
所以AS3?S3.剩下部分與引理5的證明類似,故省略.
定理3 設(shè)條件(H0)和(H3)成立,那么初值問題(1)的零解是吸引的.
證明與定理1的證明類似,故省略.
考慮分數(shù)階中立型差分方程
其中0<α<1,t∈N0={0,1,2,…}.在條件(H0)下,類似于前面的證明有如下結(jié)論:
定理4 假設(shè)條件(H0)成立,且以下條件成立∶有1個常數(shù)使得是完全連續(xù)的,那么初值問題(2)至少有1個解x∈S′1,同時這個解具有吸引性,其中
定理5 假設(shè)條件(H0)成立,且以下2個條件成立:(H′3)存在1個常數(shù)γ′2>0使得是完全連續(xù)的,那么問題(2)至少有1個解x∈,同時這個解具有吸引性,其中
定理6 假設(shè)條件(H0)成立且存在y′∈C(J,R),對任意的t∈Nα-1,k1∈R并且x∈C(J,R),存在常數(shù)γ′3滿足如下條件滿足條件:①有常數(shù)l2>0使得有1個常數(shù)α2∈(0,α),使得是完全連續(xù)的,并
且存在常數(shù)l3>0,k2∈R使得那么問題(2)至少有1個解x∈S′3,并且這個解具有吸引性.其中k1+k2=1,l2+l3<1,
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Atrractivity of a class of fractional difference equations
ZHANG Yu, SUN Ming-zhe, HE Yan-sheng*
(Department of Mathematics,College of Science,Yanbian University,Yanji 133002,China)
We study attractivity of a class of fractional difference equations.Firstly we give a expression of the solution of fractional difference equations.And,this solution is converted into a discussion about fixed points for a operator.Secondly,we prove existence of solutions by using Schauder fixed point theorem.And we establish the suffi-cient conditions that proves attractivity of fractional order difference equations.Finally,the main results are extended to fractional neutral difference equtions.
attractivity;fractional difference equations;initial value problem;Schauder fixed point theorem
O175
A
1004-4353(2012)02-0095-05
2012-05-09 基金項目:國家自然科學基金資助項目(11161049)
*通信作者:何延生(1962—),男,副教授,研究方向為微分方程及其應(yīng)用.