連續(xù)波體積混響聲強(qiáng)仿真

崔劍鋒，安天思，馬忠成，朱練軍

(大連測(cè)控技術(shù)研究所，遼寧大連116013)

1 概述

連續(xù)波理論和技術(shù)最初應(yīng)用在雷達(dá)上。連續(xù)波雷達(dá)在短距離應(yīng)用中能夠提供較高精度的速度和距離信息，在工業(yè)領(lǐng)域發(fā)展出無(wú)接觸式測(cè)量技術(shù)，在交通領(lǐng)域里有防撞雷達(dá)的出現(xiàn)。連續(xù)波技術(shù)有著獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，例如測(cè)量精度高、簡(jiǎn)單小巧、帶寬大、平均發(fā)射功率低、被截獲的概率小。連續(xù)波技術(shù)在聲吶中的應(yīng)用正日益引起水聲領(lǐng)域科研人員的注意。

對(duì)于主動(dòng)聲吶而言，除了受到各種噪聲的影響，還受到混響信號(hào)的影響，而且很多情況下混響是主要的背景干擾，在連續(xù)波聲吶技術(shù)中這一問(wèn)題尤為突出。

按照傳統(tǒng)水聲學(xué)著作中給出的計(jì)算混響等效平面波混響級(jí)理論公式 (以體積混響為例)

能夠得出，混響聲強(qiáng)與入射波強(qiáng)度、發(fā)射信號(hào)的脈沖寬度 (式中τ表示脈寬)、發(fā)射－接收換能器的組合指向性束寬等量成正比［1］。

在發(fā)射連續(xù)波時(shí)，發(fā)射信號(hào)的脈沖寬度擴(kuò)大到無(wú)限長(zhǎng)，計(jì)算混響聲強(qiáng)的理論模型將不再適用，推導(dǎo)出的理論公式也不再成立，其結(jié)論無(wú)法對(duì)連續(xù)波的等效平面波混響級(jí)做出指導(dǎo)。

需要指出式(1)推導(dǎo)之前所做的5條假定［1－2］:

1)直線傳播，不考慮除球面衰減外的其余衰減。

2)任一瞬間位于某一面積或體積的散射體的分布是隨機(jī)均勻的。

3)散射體密度甚大，認(rèn)為任一面元或體元都有很多散射體。

4)忽略多次散射，即混響所產(chǎn)生的混響。

5)脈沖時(shí)間足夠短，以至于可以忽略面元或體元尺度范圍內(nèi)的傳播效應(yīng)。

由于存在第5條假設(shè)，式(1)得到的理論公式事實(shí)上只能適用于短脈沖波的混響聲強(qiáng)計(jì)算，針對(duì)連續(xù)波理論，須另作考慮。

應(yīng)連續(xù)波聲吶技術(shù)發(fā)展的需求，本文從體積混響入手，詳細(xì)推導(dǎo)了連續(xù)波混響聲強(qiáng)的計(jì)算，并借助計(jì)算機(jī)做了數(shù)值計(jì)算，為相關(guān)的連續(xù)波聲吶技術(shù)提供參考。

2 推導(dǎo)

海洋中大量的散射體按各自規(guī)律分布在海水中，其距離發(fā)射換能器與接收換能器的距離有近有遠(yuǎn)，產(chǎn)生的散射波不會(huì)同時(shí)到達(dá)接收器。理想情況下，考慮海水中均勻分布著大量散射體，設(shè)發(fā)射器與接收器的指向性函數(shù)分別為 b(θ，φ)和 b'(θ，φ)，S'V為距離產(chǎn)生散射的單位體積1 m處的反向散射聲強(qiáng)度Iscat與入射聲強(qiáng)度Iinc之比，即

S'V與散射強(qiáng)度SV的關(guān)系為

以半徑為r的球面的散射聲強(qiáng)作為被積函數(shù)，可以得到總的散射聲強(qiáng)為

在發(fā)射連續(xù)波的情況下，理想的無(wú)窮介質(zhì)中，理論上即可以認(rèn)為積分上限取無(wú)窮。式中，I0是距離為單位距離處的聲強(qiáng)，4πr2是距離為r處的球殼面積。

式(3)經(jīng)化簡(jiǎn)得到:

以上推導(dǎo)中，始終沒(méi)有將I0作為常數(shù)提出，其原因正是由于第5條假設(shè)。在發(fā)射連續(xù)波的情況下，I是一個(gè)關(guān)于時(shí)間與距離的函數(shù)，如前所述，I0是距離為單位距離處的聲強(qiáng)，即

設(shè)發(fā)射信號(hào)是振幅為A，頻率為f的余弦波，則有:

代入式(5)可得:

式(8)積分形式可簡(jiǎn)化為

此類積分的準(zhǔn)確計(jì)算本文不做討論，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，在已知被積函數(shù)振蕩收斂到0的情況下，在誤差允許時(shí)，做如下代換:

式中:T為發(fā)射信號(hào)的周期;λ為波長(zhǎng)。設(shè)水中波速為1 500 m/s，進(jìn)一步化簡(jiǎn)式 (8)，即可得到

此類積分無(wú)法得到解析值，需借助計(jì)算機(jī)做數(shù)值積分。

3 數(shù)值計(jì)算

在Matlab環(huán)境下進(jìn)行數(shù)值計(jì)算［4］。需要注意積分步長(zhǎng)的選擇，在某一確定半徑內(nèi)，積分點(diǎn)數(shù)應(yīng)滿足香農(nóng)采樣定律:

化簡(jiǎn)得到:

在滿足式(14)的前提下，在Matlab中利用trapz函數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，由于S'VψA2為常數(shù)，此處主要計(jì)算積分式:

1)f=3 kHz時(shí)

在滿足式(14)的前提下，繪制頻率為3 kHz時(shí)I'的積分結(jié)果，如圖1所示。

圖1 f=3 kHz，積分半徑100 m，I'值Fig.1 Frequency=3 kHz，radius=100 m，the value of I'

積分半徑增加到500 m，點(diǎn)數(shù)不變，仍滿足式(14)，結(jié)果如圖2所示。

圖2 f=3 kHz，積分半徑500 m，I'積分結(jié)果Fig.2 Frequency=3 kHz，radius=500 m，the value of I'

對(duì)圖1作放大觀察，見(jiàn)圖3。

圖3 圖1的放大Fig.3 Enlarged drawing of figure 1

分析圖1～圖3，隨著積分半徑擴(kuò)大，I'迅速收斂到某一值并做微幅振蕩?？紤]到實(shí)際海水的積分體積有限，且考慮到積分半徑大幅增加時(shí)積分值的微幅變化，可以認(rèn)為積分半徑取到100時(shí)I'的積分值幾乎不再變化。即I'在工程意義上近似收斂。

結(jié)合圖1與圖2，可以看出發(fā)射頻率3 kHz時(shí)I'近似收斂于0.5。

2)f=10 kHz時(shí)

積分半徑取100 m，積分點(diǎn)數(shù)10 000，代入式(14)，得到:

100＞26.7，滿足條件。積分結(jié)果見(jiàn)圖4。

結(jié)果與頻率取3 kHz時(shí)較為一致，I'迅速收斂到某一值并做微幅振蕩。即能夠認(rèn)為頻率取10 kHz時(shí)，I'近似收斂。

3)f取其他值時(shí)

當(dāng)f取其他頻率時(shí)對(duì)I'做數(shù)值計(jì)算 (需要注意滿足式 (14))，結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 不同頻率下I'取值Fig.6 The value of I'in different frequency

分析圖6和圖7能夠印證前面得到的結(jié)論，即在給定的頻率下，連續(xù)波體積混響場(chǎng)的聲強(qiáng)近似收斂。由f=3 kHz和f=10 kHz的分析并結(jié)合圖能夠得出，在頻率高于大約3 kHz時(shí)的高頻頻段，簡(jiǎn)化系數(shù)后的混響場(chǎng)聲強(qiáng)幾乎都收斂至0.5，而在低頻頻段，需要依據(jù)式 (15)進(jìn)行計(jì)算。

表1給出部分頻率下I'的近似收斂值。

表1 不同頻率下I'的收斂值Tab.1 The value of I'in different frequency

4 誤差分析

上述分析與計(jì)算中不可避免地存在誤差，主要原因有以下幾方面:

1)時(shí)空域同時(shí)趨于無(wú)窮時(shí)的近似代換;

2)積分體積、水中波速等條件的理想化;

3)數(shù)值積分時(shí)取有限的積分半徑;

4)舍入誤差;

5)數(shù)值計(jì)算中步長(zhǎng)不能無(wú)限小引起的計(jì)算誤差。

5 結(jié)語(yǔ)

綜合以上推導(dǎo)及數(shù)值實(shí)驗(yàn)，能夠得到如下結(jié)論:

連續(xù)波體積混響的混響聲強(qiáng)是近似振蕩收斂的。收斂值

可見(jiàn)收斂值與散射強(qiáng)度、指向性束寬、發(fā)射源級(jí)、發(fā)射頻率有關(guān)。這一結(jié)論與相關(guān)論著［1－2］中給出的關(guān)于體積混響聲強(qiáng)的結(jié)論有明顯差別。

并且在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，在頻率大于3 kHz的情況下，簡(jiǎn)化系數(shù)后的積分式I'均近似收斂于0.5;而在小于幾千Hz的低頻頻段，各頻率下的收斂值具有一定的規(guī)律，但并不像高頻時(shí)的收斂值一樣具有較強(qiáng)的一致性，需要依據(jù)式 (15)進(jìn)行計(jì)算。

因此，高頻情況下，一定的誤差限內(nèi)可認(rèn)為

根據(jù)等效平面波混響級(jí)RL的定義，可以得到等效平面波混響級(jí)表達(dá)式為

本文結(jié)果能夠?yàn)檫B續(xù)波聲吶技術(shù)中混響級(jí)的計(jì)算及實(shí)驗(yàn)提供參考。本文的思路也適用于連續(xù)波的界面混響分析，能夠想見(jiàn)，連續(xù)波的界面混響級(jí)也應(yīng)符合振蕩收斂的規(guī)律，有待于進(jìn)一步分析論證。此外，本文中表1的研究仍有待進(jìn)一步完善，對(duì)其表現(xiàn)出的規(guī)律需作進(jìn)一步的探究和解釋。

［1］劉伯勝，雷家煜.水聲學(xué)原理［M］.哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)出版社，2006.

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［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2007.

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［5］何祚鏞，趙玉芳.聲學(xué)理論基礎(chǔ)［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1981.

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