類比思維在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

余 敏

（鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 450052）

高等數(shù)學(xué)中的主要部分是一元函數(shù)的微積分和多元函數(shù)的微積分這兩部分的學(xué)習(xí)，使用類比法非常重要[1]。

一、概念

一元函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)為一個(gè)，那么自變量為兩個(gè)或兩個(gè)以上的函數(shù)為多元函數(shù)。

1.極限的類比：一元函數(shù)中，當(dāng)x趨于x0，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）無(wú)限接近于某個(gè)確定常數(shù)A，就說(shuō)A是函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限；多元函數(shù)中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）無(wú)限接近于P0（x0，y0）時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A是二元函數(shù)f（x，y）的極限。 一元函數(shù)x→x0指的是x從x0的左右兩側(cè)趨近于x0。 二元函數(shù)中P（x，y），P0（x0，y0）是指P（x，y）從任意的方向趨近于P0（x0，y0）。

3.偏導(dǎo)數(shù)的類比：設(shè)二元函數(shù)z=f（x，y）在區(qū)域D上具有的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)一般情況下，它們?nèi)匀皇顷P(guān)于自變量x，y的函數(shù)。如果兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱它們?yōu)楹瘮?shù)z=f（x，y）的二階偏導(dǎo)數(shù)。類似地，可以定義三階、四階……n階偏導(dǎo)數(shù)。

4.定積分概念的類比：與定積分類似，二重積分的概念是定積分的推廣，其中的數(shù)學(xué)思想與定積分一樣，也是一種“和式的極限”，所不同的是，定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是一個(gè)區(qū)間；而二重積分的被積函數(shù)是二元函數(shù)，積分范圍是平面上的一個(gè)區(qū)域。但它們之間又存在著密切的聯(lián)系，二重積分可以通過(guò)定積分來(lái)計(jì)算[2]。

同樣，高等數(shù)學(xué)中的牛頓-萊布尼茲公式，格林公式，高斯公式和斯托克斯公式也是類比推理方法的產(chǎn)物[3]。學(xué)習(xí)這些概念時(shí)采用類比法，這些知識(shí)就變得更加淺顯易懂。

二、性質(zhì)

1.一元函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有如下性質(zhì)。

a.在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值；

b.f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）可以取其最大值與最小值之間的一切值。

同樣，利用類比法二元函數(shù)在閉區(qū)域上有類似的性質(zhì)：a.有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。b.設(shè)f（x，y）在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則f（x，y）可以取其最大值與最小值之間的一切值。

2.定積分與二重積分某些性質(zhì)上的類比，且由定義可知其證明也與定積分性質(zhì)的證明類似[4]。

定積分具有以下幾條性質(zhì)：

性質(zhì)1：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即

性質(zhì)2：兩個(gè)函數(shù)和（差）的定積分等于它們定積分的和（差），即

性質(zhì)3（積分區(qū)間的分割性質(zhì)）：不論a，b，c三點(diǎn)的相對(duì)位置如何，總有

其中無(wú)論c是的[a，b]內(nèi)分點(diǎn)還是外分點(diǎn)，該性質(zhì)都成立。

性質(zhì)4：如果在區(qū)間[a，b]上有

f（x）≤g（x）

那么

性質(zhì)5（積分估值定理）：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值為M，最小值為m，那么

性質(zhì)6（積分中值定理）：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，那么在區(qū)間[a，b]內(nèi)至少存在

一點(diǎn)ξ，使

二重積分具有與定積分類似的性質(zhì)：

性質(zhì)1：被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分符號(hào)外面去，即若k為常數(shù)，則

性質(zhì)2：函數(shù)和（或差）的二重積分，等于各個(gè)函數(shù)的二重積分的和（或差），即

性質(zhì)3：如果將積分區(qū)域D分為兩個(gè)閉區(qū)域D1和D2，則在D上的二重積分等于D1和D2上二重積分的和，即

性質(zhì)4：在積分區(qū)域D上，如果f（x，y）≤g（x，y），則有不等式

性質(zhì)5：設(shè)M和m分別是f（x，y）在區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D的面積，則有

性質(zhì)6（二重積分的中值定理）：設(shè)函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，σ是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)（ξ，η），使得

三、計(jì)算方法

在掌握好一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)有類似的方法，在多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義中，實(shí)際上只有一個(gè)自變量在變化，所以求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將一個(gè)自變量暫時(shí)看作常量，直接利用一元函數(shù)的求導(dǎo)方法，對(duì)另一個(gè)自變量進(jìn)行求導(dǎo)即可。 例如：求函數(shù)z=f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)fx（x，y），只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)x求導(dǎo)數(shù)即可，類似的，求fy（x，y）時(shí)，只要把x暫時(shí)看作常量而對(duì)y求導(dǎo)數(shù)。這樣一來(lái)多元函數(shù)求偏導(dǎo)也就容易了，在學(xué)完一元函數(shù)的定積分后，在計(jì)算二重積分和三重積分時(shí)，只是將二重積分和三重積分化為累次積分，并計(jì)算之即可。另外在定積分的應(yīng)用中從求平面曲線圍成圖形的面積的方法上可以類比到求平面曲線的弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)體的體積。不同的是，求平面曲線圍成圖形面積的時(shí)候我們主要求出面積微元，而在求平面曲線的弧長(zhǎng)時(shí)主要求出弧長(zhǎng)微元，在求旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)候我們先求出體積微元，歸結(jié)到微元法里就是：“以直代曲”“以不變代變”的方法[5]。

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的理論知識(shí)，尤其是對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行類比，不僅能使難理解的概念容易理解，難記憶的公式更容易記憶，而且可以使解題思路變得更加開(kāi)闊。但如果使用不當(dāng)，也會(huì)帶來(lái)一定的負(fù)面影響，造成學(xué)生消極的思維定勢(shì)，在問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征后，用類比法難以進(jìn)行模式識(shí)別時(shí)，要讓他們多角度聯(lián)想。

[1]張恒山.數(shù)學(xué)解題中類比能力的培養(yǎng)[J].南京師范學(xué)校學(xué)報(bào)，2000（3）.

[2]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]崔西玲，李宏平.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

[4]崔國(guó)生，程敬松.新編工程數(shù)學(xué)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2002.

[5]胡農(nóng).高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.