一種粒子概率假設(shè)密度的模糊關(guān)聯(lián)方法＊

王 品，謝維信，劉宗香，高存臣

（1.深圳大學(xué)ATR國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 深圳518060；2.中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）

多目標(biāo)跟蹤技術(shù)一直是目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)研究問(wèn)題。目標(biāo)數(shù)目不定的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用中都是具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。傳統(tǒng)的多目標(biāo)跟蹤方法是先關(guān)聯(lián)后估計(jì)，關(guān)聯(lián)精度直接影響跟蹤效果，目標(biāo)數(shù)未知并且存在雜波和虛警時(shí)，關(guān)聯(lián)很難實(shí)現(xiàn)［1－4］。Mahler等從統(tǒng)計(jì)的角度提出了多目標(biāo)情況下“一階矩濾波器”的概念（也稱概率假設(shè)密度濾波器，PHDF）［4］，PHDF避免了觀測(cè)值和狀態(tài)值之間直接關(guān)聯(lián)，但迭代過(guò)程中存在集合積分運(yùn)算，計(jì)算上難以處理。所以 Vo等提出粒子 PHDF［5］（PF－PHDF），PFPHDF可以很好的估計(jì)出每個(gè)時(shí)刻多目標(biāo)的狀態(tài)值［6］，但PF－PHDF跟蹤結(jié)果不能確認(rèn)每個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)，進(jìn)而不能給出有效的跟蹤航跡。Panta提出多假設(shè)關(guān)聯(lián)算法和PF－PHD濾波結(jié)合的跟蹤方法［6］，但用多假設(shè)關(guān)聯(lián)算法過(guò)多地依賴目標(biāo)和雜波的先驗(yàn)知識(shí)并且計(jì)算復(fù)雜很難實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)［6－7］。近年來(lái)Vo等又提出了適用于線性高斯系統(tǒng)的高斯混合PHD濾波方法（GMPHD）［8］，推導(dǎo)了PHD的解析表達(dá)式，繼而又有大量改進(jìn)的 GM－PHD濾波方法［9－11］，對(duì)于系統(tǒng)噪聲和量測(cè)噪聲為非高斯噪聲的多目標(biāo)跟蹤環(huán)境GM－PHD就無(wú)法使用，但PF－PHD仍然適用。

針對(duì)以上問(wèn)題，提出1種新的基于PF－PHDF的多目標(biāo)模糊跟蹤方法，這種方法用粒子濾波預(yù)測(cè)和更新多目標(biāo)狀態(tài)集合的PHD，估計(jì)出目標(biāo)數(shù)并用模糊C－均值聚類算法給出多目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)，把得到的目標(biāo)狀態(tài)作為新的觀測(cè)集，然后用模糊關(guān)聯(lián)得到各個(gè)航跡的關(guān)聯(lián)結(jié)果，最后通過(guò)建立臨時(shí)航跡濾掉了雜波點(diǎn)并且有效的提高了目標(biāo)的跟蹤精度。

1 基于隨機(jī)有限集的多目標(biāo)跟蹤框架

1.1 多目標(biāo)跟蹤模型

在多目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，目標(biāo)的出現(xiàn)和消失都是隨機(jī)的。本文假設(shè)每一時(shí)刻出現(xiàn)的新目標(biāo)數(shù)服從均值為λa的柏松分布。一個(gè)k時(shí)刻的目標(biāo)下一時(shí)刻可能存在也可能消失，假設(shè)目標(biāo)從k－1時(shí)刻存活到k時(shí)刻的概率是ek｜k－1，則目標(biāo)在k時(shí)刻的死亡概率為1－ek｜k－1。目標(biāo)的檢測(cè)概率為PD。

目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)服從馬爾可夫動(dòng)態(tài)模型：

觀測(cè)表示為：

假設(shè)在k時(shí)刻，目標(biāo)數(shù)和觀測(cè)數(shù)分別為Nk和Mk，多目標(biāo)的狀態(tài)集與觀測(cè)集分別表示隨機(jī)有限集合的形式，即Xk＝｛xk，1，…xk，Nk｝Es為多目標(biāo)狀態(tài)，Zk＝｛zk，1，…zk，Mk｝Eo為多目標(biāo)觀測(cè)，其中Es，Eo分別表示狀態(tài)空間和觀測(cè)空間。若k－1時(shí)刻狀態(tài)集為Xk－1，則k時(shí)刻的狀態(tài)集可以表示為：

其中：Sk｜k－1（Xk－1）表 示 k 時(shí) 刻 仍 存 活 的 目 標(biāo) 集；Bk｜k－1（Xk－1）表示由k－1時(shí)刻衍生的目標(biāo)集；Γk表示k時(shí)刻出現(xiàn)的新目標(biāo)集。一般用f（Xk｜Xk－1）表示多目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度。類似地，k時(shí)刻的觀測(cè)集可表示為：Zk＝Gk（Xk）∪Ck（Xk），其中Gk（Xk）表示由 Xk產(chǎn)生的觀測(cè)值隨機(jī)有限集；Ck（Xk）表示雜波或者虛警產(chǎn)生的隨機(jī)有限集。

1.2 隨機(jī)有限集的概率假設(shè)密度濾波

隨機(jī)有限集理論的引入為多目標(biāo)的Bayes濾波提供了與單目標(biāo)的Bayes濾波一致的完美形式，但需要建立相應(yīng)的概率分布和概率密度的概念。由于涉及到計(jì)算集導(dǎo)數(shù)和廣義積分問(wèn)題，在隨機(jī)有限集理論中概率分布一般采用信任函數(shù)的形式，即：對(duì)于隨機(jī)有限集Ξ的概率分布表示為［5］：

1.2.1 多目標(biāo)Bayes濾波 假設(shè)k－1時(shí)刻多目標(biāo)的全局后驗(yàn)密度為pk－1（Xk－1｜Z1∶k－1），則k時(shí)刻多目標(biāo)全局密度預(yù)測(cè)方程為［4］：

其中：μs表示一種合適的測(cè)度［5］。更新后得到k時(shí)刻多目標(biāo)的全局后驗(yàn)密度：

在目標(biāo)數(shù)目不定或數(shù)目較大的情況下全局密度的計(jì)算非常困難，使得基于全局密度的多目標(biāo)Bayes濾波在工程上難以實(shí)現(xiàn)。所以Mahler等從統(tǒng)計(jì)的角度提出了多目標(biāo)情況下“一階矩密度”的概念，即概率假設(shè)密度。

其中：δx表示中心為x 的 Dirac delta函數(shù)；DΞ（x0）是在x0點(diǎn)期望的目標(biāo)密度；∫SDΞ（x）dx時(shí)出現(xiàn)在S內(nèi)的期望的目標(biāo)數(shù)，而利用DΞ（x）的極值可以給出目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)。

PHD濾波器（PHDF）就是對(duì)多目標(biāo)后驗(yàn)密度的概率假設(shè)密度Dk｜k遞推過(guò)程，也是通過(guò)預(yù)測(cè)更新2個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)。假設(shè)k－1時(shí)刻后驗(yàn)密度為υk－1。

PHD預(yù)測(cè)方程：

PHD更新方程：

1.2.2 概率假設(shè)密度 隨機(jī)有限集Ξ的概率假設(shè)密度表示為：

其中：ek｜k－1，fk｜k－1，pD，gk｜k－1同前定義；βk｜k－1，βk分 別表示Bk｜－1，Bk的PHD；kk表示雜波的PHD。PHD濾波一般通過(guò)粒子濾波（SMC）來(lái)實(shí)現(xiàn)，粒子的更新權(quán)值之和等于估計(jì)的目標(biāo)數(shù)。

2 基于隨機(jī)有限集和模糊關(guān)聯(lián)的多目標(biāo)跟蹤

2.1 模糊關(guān)聯(lián)

模糊關(guān)聯(lián)（FDA）算法是以模糊均值聚類（FCM）算法為基礎(chǔ)的，F(xiàn)DA的目的就是把每條航跡的預(yù)測(cè)值vi（i＝1，2…c）作為聚類中心，然后利用FCM方法把每個(gè)觀測(cè)和可能航跡之一關(guān)聯(lián)起來(lái)。FCM是一種能自動(dòng)對(duì)數(shù)據(jù)樣本分類的方法。他通過(guò)優(yōu)化模糊目標(biāo)函數(shù)得到每個(gè)樣本點(diǎn)相對(duì)類中心的隸屬度，從而決定樣本點(diǎn)的歸屬。即：找出最佳隸屬度uik和最佳模糊聚類中

PF－PHDF雖然能給出在當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)的估計(jì)狀態(tài)，但是它沒(méi)有保留任何目標(biāo)航跡。然而有些數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法可以基于PF－PHDF給出目標(biāo)的跟蹤航跡，因此，需要結(jié)合數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法來(lái)獲得目標(biāo)的航跡，將模糊數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法引入到PHDF方法當(dāng)中對(duì)復(fù)雜情況下多目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。具體過(guò)程見(jiàn)圖1。

由圖1可已看出：由k時(shí)刻的觀測(cè)值通過(guò)PFPHD得到每個(gè)粒子的狀態(tài)、權(quán)值、和目標(biāo)數(shù)，并通過(guò)模糊聚類（FCM）得到每個(gè)目標(biāo)k時(shí)刻的估計(jì)狀態(tài)，然后根據(jù)模糊關(guān)聯(lián)（FAD）得到多目標(biāo)跟蹤航跡，最后通過(guò)建立臨時(shí)航跡的方法確定形成多目標(biāo)航跡。

圖1 PF－PHDF與模糊關(guān)聯(lián)跟蹤實(shí)現(xiàn)過(guò)程Fig.1 Tracking with the PF－PHDF and fuzzy associate

2.2 算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟一 初始化PHD，即：Dk｜k。在k＝0時(shí)刻，用帶權(quán)重的粒子初始化概率假設(shè)密度D0｜0，即：初始密度函數(shù)為初始的粒子個(gè)數(shù)。

PF－PHD的具體過(guò)程是：

步驟四 模糊關(guān)聯(lián)的具體實(shí)現(xiàn)步驟：

（2）利用FCM算法求分割矩陣U，分割矩陣中的元素uik代表航跡i和觀測(cè)k之間的關(guān)聯(lián)度量，分割矩陣包含了所有航跡和所有觀測(cè)的隸屬度。相似性度量由下式確定

（3）對(duì)最大隸屬度值uMik進(jìn)行搜索，將觀測(cè)kM賦給航跡iM，然后把uMik對(duì)應(yīng)的行和列上的值賦值為0。重復(fù)搜索一直到所有觀測(cè)或者所有航跡有關(guān)聯(lián)對(duì)象，或者當(dāng)時(shí)的最大隸屬度小于隸屬度初始閾值。

步驟五 判斷臨時(shí)航跡內(nèi)是否為空，如果臨時(shí)航跡內(nèi)有航跡，接下來(lái)就和臨時(shí)航跡內(nèi)的航跡關(guān)聯(lián)，轉(zhuǎn)到步驟四。然后分析關(guān)聯(lián)不上的航跡和觀測(cè)，即找出所有沒(méi)有關(guān)聯(lián)上的航跡和沒(méi)有關(guān)聯(lián)上的觀測(cè)，沒(méi)有關(guān)聯(lián)上的觀測(cè)形成新的航跡，沒(méi)有關(guān)聯(lián)上的航跡暫時(shí)保留在臨時(shí)航跡內(nèi)。

步驟六 確認(rèn)目標(biāo)，分離并剔除雜波。被保留的航跡連續(xù)3個(gè)時(shí)刻都沒(méi)有相應(yīng)的觀測(cè)與之關(guān)聯(lián)，認(rèn)為該目標(biāo)在第一次沒(méi)有關(guān)聯(lián)對(duì)象的時(shí)候已經(jīng)消失或離開(kāi)觀測(cè)區(qū)域。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證算法的性能，便于比較，仿真實(shí)驗(yàn)條件如同文獻(xiàn)［6］，實(shí)驗(yàn)步長(zhǎng)為50。傳感器的觀測(cè)空間為二維平面區(qū)域S＝［－400，400］×［－400，400］，時(shí)間間隔T＝1s，PD＝0.99，ek｜k－1＝0.95，λa＝3。

每個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型和觀測(cè)模型分別為：

w1k，w2k，vk都是均值為0的高斯白噪聲，標(biāo)準(zhǔn)差分別為1、0.1和0.5。初始粒子數(shù)為1 000，每個(gè)目標(biāo)分配的粒子數(shù)目為500。多目標(biāo)估計(jì)誤差用Wasserstein距離［5］。仿真結(jié)果見(jiàn)圖2～3。

圖2和3顯示了50s內(nèi)PF－PHD方法跟蹤真實(shí)軌跡的估計(jì)值，從圖中可以看出，PF－PHDF的跟蹤結(jié)果只是每個(gè)時(shí)刻目標(biāo)的狀態(tài)的估計(jì)值，沒(méi)有跟蹤軌跡，而且偶爾估計(jì)誤差比較大，有的雜波點(diǎn)沒(méi)有去掉，這是因?yàn)橹焕镁垲惣夹g(shù)估計(jì)的狀態(tài)值具有不可靠性［8］。

圖4是經(jīng)過(guò)PF－PHDF濾波后，然后利用多假設(shè)關(guān)聯(lián)的方法給出多個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡，但是無(wú)法分辨出雜波點(diǎn)，而且通常目標(biāo)的軌跡也不連續(xù)，這是由于漏檢或者是PHDF濾波過(guò)程中濾掉了真實(shí)目標(biāo)點(diǎn)。圖5是本文提出方法的跟蹤航跡，可以看出本文方法明確了給出了每個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡，由于保留臨時(shí)航跡思想的引入，濾除了雜波點(diǎn)并修復(fù)了漏檢等情況造成的目標(biāo)軌跡的中斷。圖6是2種方法跟蹤目標(biāo)數(shù)的比較，文獻(xiàn)［6］的估計(jì)目標(biāo)數(shù)中作者首先去掉了每個(gè)時(shí)刻的雜波點(diǎn)數(shù)，也就是2種發(fā)放估計(jì)的真實(shí)目標(biāo)數(shù)的比較，明顯看出本文方法能比較準(zhǔn)確的估計(jì)出目標(biāo)數(shù)。圖7是文獻(xiàn)［6］方法和本文方法的跟蹤誤差比較，從圖中可以看出，本文方法的狀態(tài)估計(jì)誤差明顯小于文獻(xiàn)［6］的方法，進(jìn)一步表明了本文方法的優(yōu)越性。

圖7 本文方法和文獻(xiàn)［6］方法的狀態(tài)估計(jì)誤差比較Fig.7 Wasserstein distance between point estimate outputs of MHT－PHD filter［6］and the proposed filter

表1給出了3種PHD濾波器的時(shí)間復(fù)雜度的對(duì)比結(jié)果，從表中看出，PF－PHD的實(shí)時(shí)性能最好，實(shí)時(shí)性能最差，而 FDA－PF－PHD 實(shí)時(shí)性能比 MHT－PFPHD要好。這是因?yàn)槊看侮P(guān)聯(lián)MHT的計(jì)算量比FDA的計(jì)算量大?？傮w看來(lái)本文提出的方法的跟蹤精度較高，跟蹤速度相對(duì)較快。

表1 CPU運(yùn)行時(shí)間對(duì)比Table 1 Comparison of CPU running time

4 結(jié)語(yǔ)

目標(biāo)數(shù)目不定的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用中都是具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。本文利用隨機(jī)集的概率假設(shè)密度濾波的方法確定目標(biāo)數(shù)目并估計(jì)出每個(gè)時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)，然后利用模糊數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的方法給出各個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)提出了建立臨時(shí)航跡的方法。通過(guò)大量的仿真實(shí)驗(yàn)與文獻(xiàn)算法的跟蹤性能進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新算法有效地避免漏檢造成的目標(biāo)丟失，得到每個(gè)目標(biāo)的航跡。特別對(duì)于目標(biāo)發(fā)生交叉的情況，能很好地區(qū)分每個(gè)目標(biāo)的航跡，并能很好的去除雜波點(diǎn)。CPU耗時(shí)比文獻(xiàn)［6］的方法減少了20℅。下一步將繼續(xù)研究?jī)?yōu)化算法，進(jìn)一步提高多目標(biāo)跟蹤的實(shí)時(shí)性，另外考慮研究PHDF的收斂性和穩(wěn)定性［13－15］，進(jìn)一步提高 PHD在多目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的實(shí)用性。

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