一個(gè)習(xí)題的注記

王穎俐，王慧群，王 鑫

（1.長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011；2.長治縣第一中學(xué)，山西 長治 047100）

秩為1的矩陣的結(jié)論看似很淺顯，其實(shí)它的應(yīng)用很廣泛。

習(xí)題［1］設(shè)A是一個(gè)n×n矩陣，r（A）=1。

這個(gè)習(xí)題是選自王萼芳、石生明所編寫的《高等代數(shù)》（第三版）中第四章補(bǔ)充題第1題。這個(gè)習(xí)題的結(jié)論形式很簡單，但是由該習(xí)題所引發(fā)的思考是源源不斷的。文章就從該習(xí)題出發(fā)，討論了該習(xí)題的兩個(gè)應(yīng)用：一個(gè)是一致矩陣；一個(gè)是二維離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性的矩陣刻劃。

1 一致矩陣

定義1：正互反矩陣［2］

對任意兩個(gè)因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj對目標(biāo)層的影響程度之比，按1～9的比例標(biāo)度來度量aij.于是，可得到兩兩成對比較矩陣A=（aij）n×n，又稱為判斷矩陣，顯然 aij＞0，aij=，aij=1（i，j=1，2，…，n）.

因此，又稱判斷矩陣為正互反矩陣.

定義 2：一致矩陣［2］

一般地，如果一個(gè)正互反矩陣A滿足aijakj=aij（i，j，k=1，2，…，n），則稱 A 為一致性矩陣，簡稱為一致陣.

一致矩陣具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)2矩陣A的各行成比例，且r（A）=1.

從而可得矩陣A的各行成比例，且r（A）=1

性質(zhì)3 矩陣A的轉(zhuǎn)置AT也是一致矩陣，且

性質(zhì)4 若矩陣A為一致矩陣，則：

性質(zhì)5 矩陣A的最大特征根為λ=n，其余n-1個(gè)特征根均等于0.

性質(zhì)6 矩陣A的任一列（行）都是對應(yīng)于特征根n的特征向量.

證明：（1）先證列成立

因此，矩陣A的任一行都是對應(yīng)于特征根n的特征向量.

（2）再證行成立

由于一致矩陣A還可以表示為：

因此，矩陣A的任一列都是對應(yīng)于特征根n的特征向量.

2 二維離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性的矩陣刻劃

設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量[4]，X 與 Y 相互獨(dú)立，（X，Y）的聯(lián)合分布律為

設(shè)X、Y的邊際分布律分別為：

由X與Y相互獨(dú)立，得

即：pij=pi.pji，j=1，2，…，n.

（X，Y）的聯(lián)合分布律為：

其對應(yīng)的矩陣A為：

因此，A的各列成比例，從而r（A）=1，且

這說明若二維隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則由（X，Y）的聯(lián)合分布列所構(gòu)成的矩陣A的秩為1，且其行列式為0.

反過來，若已知（X，Y）的聯(lián)合分布列所構(gòu)成的矩陣A的秩為1，則A的任意二階以上的子式都為零，從而：

從而得X與Y相互獨(dú)立.

因此我們可以得到二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）獨(dú)立的充要條件是（X，Y）的聯(lián)合分布列所構(gòu)成的矩陣A的秩為1.

［1］王萼芳，石生明.高等代數(shù)（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［3］吳文江.一致性正矩陣的一個(gè)性質(zhì)的另一證法［J］.山東建材學(xué)院學(xué)報(bào)，1995，9，10（3）:65-66.

［4］韓旭里，謝永欽.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（修訂版）［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2006.