基于自動微分技術(shù)的多平衡機狀態(tài)估計算法

葉 芳，衛(wèi)志農(nóng)，孫國強，王 超

(1.河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，江蘇南京 210098;2.浙江電力調(diào)度通信中心，浙江杭州 310007)

EMS中許多高級應(yīng)用軟件都以可靠的電網(wǎng)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ).電力系統(tǒng)狀態(tài)估計[1-5]能夠基于電網(wǎng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及實時量測，為EMS提供精度高、完整而可靠的電網(wǎng)數(shù)據(jù)，因此，電力系統(tǒng)狀態(tài)估計的精度將影響EMS的實用化水平.電力系統(tǒng)傳統(tǒng)的狀態(tài)估計通常只選擇1臺具有較大調(diào)節(jié)余量的發(fā)電機作為平衡機，按照單平衡機的設(shè)置進行程序開發(fā)和計算分析.但是隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的逐步增大，單平衡機已經(jīng)難以滿足系統(tǒng)功率平衡的要求，因此目前各省電網(wǎng)大多數(shù)設(shè)置1組平衡機，這樣勢必給傳統(tǒng)的狀態(tài)估計程序帶來新的挑戰(zhàn).如果可以根據(jù)電力系統(tǒng)的實際情況引入多平衡機的思想，那么狀態(tài)估計的結(jié)果必然會更接近實際狀態(tài)，從而為EMS的后續(xù)分析.如靜態(tài)安全、電壓穩(wěn)定等分析，以及采用相應(yīng)的保護控制措施提供重要的數(shù)據(jù)支持.目前多平衡機在電力系統(tǒng)潮流計算中的應(yīng)用已得到了廣泛的關(guān)注[6-10]，但在電力系統(tǒng)狀態(tài)估計中的應(yīng)用還較鮮見.

自動微分(automatic differentiation，AD)技術(shù)[11-12]是計算機數(shù)值計算和分析領(lǐng)域內(nèi)一項嶄新的技術(shù)，與其他微分方法(如除法微分、符號微分)不同，它將微分定義為代數(shù)運算，基于鏈式法則自動計算函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)，且無論采用正模式還是逆模式[13]，均避免了截斷誤差.特別是在獲得雅可比矩陣上，AD技術(shù)具有很大的優(yōu)勢.文獻[14-17]分別將AD技術(shù)應(yīng)用于電力系統(tǒng)潮流計算、最優(yōu)潮流以及靈敏度分析，表明AD技術(shù)在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用是可行、優(yōu)越的.

筆者在經(jīng)典加權(quán)最小二乘法的基礎(chǔ)上，將多平衡機的影響計入狀態(tài)估計模型中，通過基于運算符重載的ADOL-C[18]工具獲得量測函數(shù)的雅可比矩陣，實現(xiàn)了求導(dǎo)的自動化.IEEE14，IEEE30，IEEE57，IEEE118節(jié)點測試系統(tǒng)的仿真結(jié)果驗證了所提算法的有效性.

1 計及多平衡機的狀態(tài)估計模型

計算機已經(jīng)成為現(xiàn)代電力系統(tǒng)調(diào)度中心很重要的部分，保證計算機在線應(yīng)用水平的關(guān)鍵是數(shù)據(jù)庫的質(zhì)量，而由遠動裝置傳送過來的實時數(shù)據(jù)，由于遠動裝置本身的誤差以及傳送過程中各個環(huán)節(jié)造成的誤差，導(dǎo)致存在不同程度的精度和可靠性問題.電力系統(tǒng)狀態(tài)估計的功能相當于濾波，利用實時量測系統(tǒng)的冗余度來提高數(shù)據(jù)精度，自動排除隨機干擾所引起的錯誤信息，估計系統(tǒng)的運行狀態(tài).

狀態(tài)估計的已知條件是電力系統(tǒng)的實時量測z，一般是節(jié)點電壓幅值、節(jié)點注入或支路的有功功率和無功功率.設(shè)系統(tǒng)有n個節(jié)點，有

式中:Ui——第 i個節(jié)點的電壓幅值;Pi，Qi——第 i個節(jié)點的注入有功功率、無功功率;Pij，Qij，Pji，Qji——支路i-j的首、末端有功功率和無功功率.

狀態(tài)估計的未知條件即狀態(tài)量x一般為節(jié)點電壓的實部和虛部，假設(shè)系統(tǒng)有m+1個平衡節(jié)點(具有較大調(diào)節(jié)余量的發(fā)電機節(jié)點)，則 x=[e1，f1，…，en-m-1，fn-m-1]T.

由于量測量數(shù)l大于狀態(tài)量數(shù)2(n-m-1)，以及量測誤差的存在，不可能找到一個，使得殘差矢量r()=z-h()各分量均為0，但可以找到一個，使得加權(quán)殘差平方和為最小，為此，建立目標函數(shù)

式中:h——由基爾霍夫定律、功率平衡等基本電路定律所建立的量測函數(shù);R——以σ2i(i=1，2，…，l)為對角元素的量測誤差方差陣，R-1起權(quán)重的作用.

經(jīng)典加權(quán)最小二乘狀態(tài)估計就是求使目標函數(shù)達到最小時x的值，對 h進行線性化假設(shè)，即對h進行泰勒級數(shù)展開并忽略二次以上非線性項，可以得到

其中

2 AD技術(shù)

2.1 基本原理

運用計算機進行目標優(yōu)化、靈敏度分析、大規(guī)模數(shù)值模擬等已成為各領(lǐng)域?qū)W者廣泛關(guān)注的問題，微分運算是這些熱點課題的基本運算之一.目前利用計算機生成函數(shù)微分代碼的方法主要有4種[13]:常規(guī)方法、除法微分、符號微分和自動微分.常規(guī)方法就是先推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的解析表達式，然后再編制計算機程序.該方法很容易得到效率最高的代碼，在狀態(tài)估計中經(jīng)常被使用.除法微分可以得到函數(shù)在某個特殊點處的微分，但得到的是微分的近似，精度很難估計.符號微分具有操作代數(shù)表達式的功能，但通常不能處理如分支、循環(huán)或子程序這樣的計算機代碼，應(yīng)用中受到限制.

無論函數(shù)多么復(fù)雜，總是由一系列基本元函數(shù)(如sin，cos，exp等)和四則運算符(+，-，×，÷)經(jīng)過有限次組合而成.AD技術(shù)基于該事實，根據(jù)微分計算的鏈式法則，不需要推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)計算公式就可以自動計算函數(shù)的微分，且不含截斷誤差.

ADOL-C[18]是由Dresden技術(shù)大學(xué)科學(xué)計算學(xué)院開發(fā)的自動微分系統(tǒng)，利用C++高級語言中操作符重載的機理，通過重載每個操作以達到計算偏導(dǎo)數(shù)和根據(jù)鏈式法則傳遞導(dǎo)數(shù)的目的，而且能夠以正模式和逆模式計算任意階導(dǎo)數(shù).基于以量上優(yōu)點，筆者選擇ADOL-C工具進行微分計算

2.2 AD技術(shù)在多平衡機狀態(tài)估計中的應(yīng)用

由式(3)可知，在多平衡機狀態(tài)估計中，需要求取量測函數(shù)的雅可比矩陣H.常規(guī)方法在已知量測函數(shù)表達式的基礎(chǔ)上，先推導(dǎo)出H各元素的解析表達式，然后根據(jù)具體的表達式編寫計算機代碼.該方法繁瑣且容易出錯，且隨著電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，如果采用常規(guī)方法進行軟件更新，不僅需要修改量測函數(shù)的代碼，更繁雜的是要修改相應(yīng)的雅可比矩陣的代碼，這必然導(dǎo)致更新速度慢、難度大等問題.

AD技術(shù)能夠直接根據(jù)量測函數(shù)表達式，通過微分計算的鏈式法則，在正模式和逆模式下自動生成 H.在軟件更新的過程中只需要修改量測函數(shù)的代碼，因此可以大幅度降低工作量，提高更新速度.

以支路1-2上的始端有功功率量測P12為例，說明AD技術(shù)分別在正模式和逆模式下計算函數(shù)微分的原理.P12的解析表達式為

式中:g——支路電導(dǎo);b——支路電納.

引入獨立變量 x1～x4和中間變量 x5～x14，將P12分解成一系列基本運算:獨立變量 x1=e1，x2=f1，x3=e2，x4=f2;中間變量 x5=，x6=，x7=x1x3，x8=x2x4，x9=x1x4，x10=x3x2，x11=(x5+x6)g ，x12=(x7+x8)g，x13=(x9-x10)b，x14=x11-x12，P12=x14+x13.在已知獨立變量值之后，自頂而下就可以得到 P12的精確值.

2.2.1 運用正模式進行求解

通過微分計算的鏈式法則，自頂而下就可以求得d P12:

從而得到

2.2.2 運用逆模式進行求解

令 d xi=0(i=1 ，2，…，14)，有

此得到

算法的流程如圖1所示.

3 算例分析

分別對IEEE14節(jié)點、IEEE30節(jié)點、IEEE57節(jié)點和IEEE 118節(jié)點的標準算例進行仿真計算，算例數(shù)據(jù)見表1.仿真中，在潮流計算結(jié)果的基礎(chǔ)上疊加相應(yīng)的隨機量測誤差形成量測數(shù)據(jù)，以潮流計算得到的電壓模擬平衡節(jié)點電壓.

表1 IEEE算例數(shù)據(jù)Table 1 Data of IEEE test systems

圖1 運用AD技術(shù)的多平衡機狀態(tài)估計算法程序框圖Fig.1 Flowchart of state estimation algorithm for multi-balancing machines with AD technology

式中:l——量測量數(shù);si——量測量 i的真值.

據(jù)此通過算例仿真對結(jié)合AD技術(shù)的多平衡機狀態(tài)估計模型的性能進行驗證，結(jié)果如表2所示.從表2結(jié)果可見:相對于傳統(tǒng)的狀態(tài)估計，基于AD技術(shù)的多平衡機狀態(tài)估計的精度得到了提高，由此可見，在多平衡機下狀態(tài)估計的結(jié)果更符合實際狀態(tài).同時，J1基本都接近量測冗余，SM接近 1，SB小于 1，濾波效果明顯，進一步說明了本文算法是有效的.

表2 結(jié)合AD技術(shù)的多平衡機狀態(tài)估計的性能參數(shù)Table 2 Performance parameters in state estimation for multi-balancing machines with AD technology

4 結(jié) 語

本文引入多平衡機思想，在經(jīng)典加權(quán)最小二乘法的基礎(chǔ)上提出了計及多平衡機的狀態(tài)估計算法，它能完整地計及多平衡機對電力系統(tǒng)的影響;提出運用ADOL-C工具獲得量測函數(shù)的雅可比矩陣，減少了算法的計算量，提高了計算效率.通過對IEEE14節(jié)點等4個標準系統(tǒng)的仿真驗證了算法的有效性.結(jié)果表明，基于AD技術(shù)的多平衡機狀態(tài)估計算法在電力系統(tǒng)運行與控制中具有一定的應(yīng)用價值.

[1]于爾鏗.電力系統(tǒng)狀態(tài)估計[M].北京:水利電力出版社，1985:61-104.

[2]賈嶸，蔡振華，劉晶，等.基于主成分分析和最小二乘支持向量機的電力系統(tǒng)狀態(tài)估計[J].電網(wǎng)技術(shù)，2006，30(21):75-77，98.(JIA Rong，CAI Zhen-hua，LIU Jing，et al.Power system state estimation based on principle component analysis and least square support vector machines[J].Power System Technology，2006，30(21):75-77 ，98.(in Chinese)).

[3]李碧君，薛禹勝，顧景汶，等.電力系統(tǒng)狀態(tài)估計問題的研究現(xiàn)狀和展望[J].電力系統(tǒng)自動化，1998，22(11):53-60.(LI Bijun ，XUE Yu-sheng，GU Jing-wen ，et al.Status quo and prospect of power system state estimation[J].Automation of Electric Power System ，1998 ，22(11):53-60.(in Chinese))

[4]任江波，于爾鏗，郭志忠，等.基于靈敏度分析的逐次追蹤狀態(tài)估計[J].電網(wǎng)技術(shù)，2007，31(7):64-68.(REN Jiang-bo，YU Erkeng，GUO Zhi-zhong，et al.Sequential tracking state estimation based on sensitivity analysis[J].Power System Technology，2007，31(7):64-68.(in Chinese))

[5]龐博，衛(wèi)志農(nóng)，孫國強.基于風(fēng)力發(fā)電機簡化RX模型的電力系統(tǒng)狀態(tài)估計[J].電網(wǎng)技術(shù)，2009，33(19):159-163.(PANG Bo，WEI Zhi-nong，SUN Guo-qiang.Power system state estimation based on simplified RX model of wind power generator[J].Power System Technology，2009，33(19):159-163.(in Chinese))

[6]崔麗華，陳根軍.多平衡機潮流計算在調(diào)度員潮流中的應(yīng)用[J].廣東電力，2006，19(9):13-17.(CUI Li-hua，CHEN Gen-jun.Application of multi-slack load flow calculation in dispatcher power flow[J].Guangdong Electric Power，2006，19(9):13-17.(in Chinese))

[7]杭乃善，姚元璽，竇婷婷，等.基于直角坐標注入電流形式的多平衡節(jié)點潮流算法研究[J].繼電器，2005，33(4):9-16.(HANGNai-shan ，YAO Yuan-xi，DOU Ting-ting，et al.An algorithm of multi-balance bus based on rectangular coordinate current influx[J].Relay ，2005，33(4):9-16.(in Chinese))

[8]羅純堅.多調(diào)頻廠下的電力系統(tǒng)潮流計算[D].北京:華北電力大學(xué)，2007.

[9]許繼紅，陳亞寧，林莉，等.一種改進的配電網(wǎng)牛頓潮流算法[J].廣東電力，2008，21(5):15-18.(XU Ji-hong，CHEN Ya-ning，LIN Li，et al.An improved Newton power flow algorithm for distribution network[J].Guangdong Electric Power，2008 ，21(5):15-18.(in Chinese))

[10]姚元璽，杭乃善.基于聯(lián)絡(luò)線功率等值約束條件的潮流算法研究[J].繼電器，2006，34(1):31-33.(YAO Yuan-xi，HANG Naishan.Power flow studies of multi-swing bus based on tie-line power equivalence constraints[J].Relay，2006，34(1):31-33.(in Chinese))

[11]BARTHOLOMEW-BIGGSM C ，BROWNS ，CHRISTIANSON B，et al.Automatic differentiation of algorithms[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2000，124:171-190.

[12]張海斌，薛毅.自動微分的基本思想與實現(xiàn)[J].北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2005，31(3):332-336.(ZHANG Hai-bin，XUE Yi.On automatic differentiation[J].Journal of Beijing Polytechnic University，2005，31(3):332-336.(in Chinese))

[13]李萍.自動微分工具實現(xiàn)技術(shù)研究[D].長沙:中國人民解放軍國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2002.

[14]ORFANOGIANNIT，BACHER R.Using automatic code differentiation in power flow algorithms[J].IEEETrans on Power System，1999，14(1):138-144.

[15]耿光超，江全元.基于自動微分技術(shù)的內(nèi)點法最優(yōu)潮流算法[J].電力系統(tǒng)自動化，2008，32(23):41-45.GENG Guang-chao，JIANGQuan-yuan.An automatic differentiation based interior-point method for optimal power flow[J].Automation of Electric Power System ，2008 ，32(23):41-45.(in Chinese))

[16]IBSAISA，AJJARAPUV.The role of automatic differentiation in power systems analysis[J].IEEETrans on Power Systems，1997 ，12(2):592-597.

[17]JEROSOLIMSKI M，LEVACHER L.A new method for fast calculation of Jacobian matrices:automatic differentiation for power system simulation[J].IEEETrans on Power Systems，1994，9(2):700-706.

[18]WALTHERA，GRIEWANK A.A package for the automatic differentiation of algorithmswritten in C/C++[CP/OL].(2010-11-18).http://www.coin-or.org/projects/ADOL-C.xml.