若干非線性偏微分方程的守恒律

白玉梅

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

0 引言

構(gòu)造微分系統(tǒng)的守恒律是數(shù)學(xué)物理研究的重要課題.守恒律反映物理量不隨時間而改變的現(xiàn)象，在研究微分系統(tǒng)，尤其是可積系統(tǒng)和孤立子理論中發(fā)揮重要作用[1］.如利用守恒律獲得微分系統(tǒng)的精確解、分析解的各種特性和構(gòu)造Hamilton系統(tǒng)等.一般情況下，如果一個微分系統(tǒng)有孤立子解，則其存在無窮多個守恒律，擁有無窮多個守恒律的非線性微分系統(tǒng)可積；然而，沒有無窮多個守恒律的微分系統(tǒng)仍可能可積，如Burgers方程.除此之外，守恒律被廣泛應(yīng)用于一些數(shù)值方法的發(fā)展上，如有限元法和非連續(xù)Galerkin方法.由此可見，尋找物理背景明確的非線性系統(tǒng)的守恒律十分必要.

以（1＋1）維非線性彈性波動方程、Brusselator方程組和（2＋1）維廣義CBS方程作為研究對象，以符號計算軟件Maple為工具，采用第一同倫公式法，分別構(gòu)造這3個方程（組）的守恒律.

1 守恒律構(gòu)造方法

構(gòu)造微分系統(tǒng)守恒律的方法包括直接法[4］、標(biāo)量公式法、第一同倫公式法[2-3］、第二同倫公式法、利用對稱和共軛方程（組）法[5-7］、Lax對方法、跡恒等式法和B?cklund變換法[8］等，文中采用第一同倫公式法.

設(shè)自變量x＝（x1，x2，…，xn），因變量u＝（u1，u2，…，um）.

步驟1 計算系統(tǒng)相應(yīng)的n維歐拉算子

步驟2 計算n維拓?fù)渌阕?/p>

步驟3 由步驟2所得結(jié)果，得到通量進(jìn)而通過全導(dǎo)數(shù)算子作用，得到形如的微分系統(tǒng)的守恒律.

2 構(gòu)造非線性偏微分方程的守恒律

2.1 彈性波動方程

非線性彈性波動方程為

式中：γ為任意常數(shù).文獻(xiàn)[9］應(yīng)用Lie對稱法，在不同對稱的恒等條件下，變換方程（1）為常微分方程，進(jìn)而獲得若干不變解.

首先，假設(shè)其特征

得到關(guān)于特征Λ1的化簡后的確定方程組，即

經(jīng)計算，有特征

式中：c1，c2，c3為參數(shù).

選取參數(shù)并利用第一同倫公式計算通量，得出3種情形：

情形1 c1＝1，c2＝c3＝0，特征Λ1＝ux，通量

情形2 c2＝1，c1＝c3＝0，特征Λ1＝1，通量

情形3 c3＝1，c1＝c2＝0，特征Λ1＝t，通量

可得方程（1）的守恒律，即

2.2 Brusselator方程組

Brusselator方程組為

式中：c，d為擴(kuò)散系數(shù)；a，b為其他反應(yīng)物的固定濃度；λ為衡量容器大小的參數(shù).首先計算方程組（2）的特征，設(shè)a，b，c，d，λ均不為0，且c-d≠0，令

求解化簡的確定方程組，得

選取參數(shù)，并利用第一同倫公式計算通量，得出2種情形：

情形1 當(dāng)c1＝1，c2＝0時，特征

通量

情形2 當(dāng)c2＝1，c1＝0時，特征

通量

可得方程組（2）的守恒律，即

2.3 廣義CBS方程

廣義CBS方程為

式中：α，β，δ為任意常數(shù)，α≠1，β≠0，δ≠0.

Zhang Huan Ping等通過Painlevé檢驗(yàn)，得到方程（3）可積的條件，給出無窮多對稱并對其進(jìn)行對稱約化[10］.設(shè)特征

計算關(guān)于Λ4的確定方程組

式中：α，β，δ，c1為任意常數(shù)，α≠0，δ≠β；f（t），g（t）為可微的任意函數(shù).

選取參數(shù)并利用第一同倫公式計算通量，得出3種情形：

情形1 設(shè)c1＝1，f（t）＝0，g（t）＝0時，特征 Λ4＝ux通量

情形2 設(shè)c1＝0，f（t）為任意函數(shù)，g（t）＝0時，特征

通量

情形3 設(shè)c1＝0，f（t）＝0，g（t）為任意函數(shù)時，特征 Λ4＝g（t）通量

可得方程（3）的守恒律，即

3 結(jié)束語

將第一同倫公式法應(yīng)用到物理背景明確的（1＋1）維非線性彈性波動方程、Brusselator方程組和（2＋1）維廣義CBS方程守恒律的構(gòu)造中，在求得結(jié)果的同時，進(jìn)一步說明該方法的有效性.該方法還可以用于獲得其他非線性偏微分方程的守恒律.

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