懸鏈線的AH Bézier樣條表示

李亞娟

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310018)

0 引言

懸鏈線是在一條直線上滾動(dòng)的拋物線的焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)于300多年前;是微積分、微分方程、微分幾何、變分計(jì)算及數(shù)值分析中的一個(gè)重要課題［1－3］，被公認(rèn)為是真實(shí)反映實(shí)際懸掛鋼索的線形，為滑索工程設(shè)計(jì)提供了科學(xué)理論依據(jù)［4，5］。由于缺乏必要的精確表達(dá)工具，實(shí)際中關(guān)于懸鏈線的幾何參數(shù)與力學(xué)參數(shù)的相關(guān)計(jì)算，一般都是通過(guò)數(shù)值逼近得到的。若能用控制多邊形的方法來(lái)精確表示懸鏈線，則能在CAD中發(fā)揮其更強(qiáng)大的作用。鑒于懸鏈線的表達(dá)式中既包含一次多項(xiàng)式，又包含雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，因此精確表示懸鏈線，必須選擇多項(xiàng)式混合雙曲函數(shù)空間的基?？紤]利用多項(xiàng)式混合雙曲函數(shù)空間［6－8］Γn+1=span{1，t，…，tn－2，sinh t，cosh t}的 AH Bézier樣條基函數(shù)來(lái)精確表示懸鏈線，并給出反求的控制多邊形。文獻(xiàn)7用均勻代數(shù)雙曲B樣條對(duì)懸鏈線的表示進(jìn)行了研究，并直接給出4個(gè)控制頂點(diǎn)，可以表示一段特殊的懸鏈線，但是并沒(méi)有給出如何表示任意一段懸鏈線的方法。對(duì)于任意一段懸鏈線，本文給出AH Bézier樣條基的精確表達(dá)式，并給出反求的控制頂點(diǎn)。

1 AH Bézier基函數(shù)

先給出AH Bézier基函數(shù)的表達(dá)式［8］。首先在空間Γ2=span{1，cosh t，sinht}上給定2個(gè)初始函數(shù):B0，1(t)=sinh(α －t)/sinh α， B1，1(t)=sinh t/sinh α，t∈［0，α］，α ＞0，α 是形狀因子。當(dāng) n ＞1 時(shí)，空間Γn+1=span{1，t，…，tn－2，sinh t，cosh t}中的 n 階 AH Bézier基函數(shù) {B0，n，B1，n，…，Bn，n}可以遞推的定義為:

式中，δi，n=1/(t)dt，0＜i＜n，α是全局形狀參數(shù)。特別地，給定4個(gè)控制頂點(diǎn)pi(i=0，…，3)，一條4階AH Bézier曲線可以定義為:

2 懸鏈線的4階AH Bézier表示

考察任意一段無(wú)荷重懸鏈線如圖1所示。方便起見(jiàn)，選擇懸鏈線的最低點(diǎn)作為原點(diǎn)，重力反方向作為y軸正向，則此段懸鏈線表達(dá)式為:c(u)=(u，a(cosh(u/a)－1))，b＜u＜c。為了對(duì)該懸鏈線進(jìn)行精確表示，做線性變換u=(c－b)t/α+b，有:

圖1 一條懸鏈線

根據(jù)未知量的個(gè)數(shù)與基函數(shù)的性質(zhì)，可以斷定所求AH Bézier曲線的控制頂點(diǎn)必為唯一一組。由于AH Bézier曲線的首末端點(diǎn)值與切矢值易于計(jì)算，有:

對(duì)式5兩邊求導(dǎo)，有:

分別令t=0，t=α，得到:

至此，所求4階AH Bézier曲線的控制頂點(diǎn)均已經(jīng)求得。如圖2、3所示是兩段無(wú)荷重懸鏈線用控制多邊形表示的例子。以某大跨度懸索橋的參數(shù)作為計(jì)算資料，中跨跨度為600 m，主塔理論頂點(diǎn)高程均為196.24m，則所求控制多邊形如圖4所示。

圖2 4階AH Bézier曲線表示下的懸鏈線

圖3 4階AH Bézier曲線表示下的懸鏈線

圖4 4階AH Bézier曲線表示下的某大跨度懸索橋

3 結(jié)束語(yǔ)

如果不限定形狀因子α，可以得到一族懸鏈線，這族懸鏈線均具有與原懸鏈線相同的端點(diǎn)與端點(diǎn)切矢，但是其中只有一條與原懸鏈線完全重合。在工程設(shè)計(jì)上可以利用4階AH Bézier曲線的控制多邊形對(duì)懸鏈線進(jìn)行各種形狀控制與高效求值。

［1］Nedev S.The catenary-an ancient problem on the computer screen［J］.European Journal of Physics，2000，21(5):451－457.

［2］Juan B Gil.The catenary(almost)everywhere［J］.Boletin de la Asociacion Matematica Venezolana，2005，12(2):251－258.

［3］Paul Baginski，Chapman S T ，Ryan Rodriguez，etal.On the Delta set and catenary degree of Krull monoids with infinite cyclic divisor class group［J］.Journal of Pure and Applied Algebra，2010，214(8):1 334 －1 339.

［4］Mareno A，Q English L.The stability of the catenary shapes for a hanging cable of unspecified length［J］.European Journal of Physics，2009，30(1):97 －108.

［5］Ioannis K Chatjigeorgiou.Application of the WKB method to catenary-shaped slender structures［J］.Mathematical and Computer Modelling，2008，48(2):249－257.

［6］Koch P E，Lyche T.Construction of exponential tension B-splines of arbitrary order［C］.New York:Academic Press，1991:255－258.

［7］Lü Yonggang，Wang Guozhao，Yang Xunnian.Uniform hyperbolic polynomial B-spline curves［J］.Computer Aided Geometric Design，2002，19(6):379－393.

［8］Li Yajuan，Wang Guozhao.Two kinds of B-basis of the algebraic hyperbolic space［J］.Journal of Zhejiang University science，2005，6A(7):750－759.