計(jì)算機(jī)輔助三維公差分析技術(shù)的研究進(jìn)展*＊1

彭和平 劉曉軍

(①江漢大學(xué)機(jī)電與建筑工程學(xué)院，湖北武漢 430056;②華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北武漢 430074)

計(jì)算機(jī)輔助公差(Computer Aided Tolerancing，CAT)是實(shí)現(xiàn)CAD、CAPP和CAM集成的核心技術(shù)之一。由于計(jì)算機(jī)輔助公差技術(shù)的復(fù)雜性，使對(duì)公差設(shè)計(jì)技術(shù)特別是三維公差設(shè)計(jì)技術(shù)的研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于對(duì)CAD、CAPP和CAM的研究，使其難以與目前的CAD/CAPP/CAM集成?；谟?jì)量學(xué)的新一代產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范與認(rèn)證(Geometrical Product Specifications and Verification，簡(jiǎn)稱GPS)標(biāo)準(zhǔn)體系對(duì)公差定義的數(shù)學(xué)化便于計(jì)算機(jī)識(shí)別和公差信息在設(shè)計(jì)、制造和檢驗(yàn)各階段中的傳遞，為公差設(shè)計(jì)理論的研究提供了全新的思路和方法，為計(jì)算機(jī)輔助三維公差分析與綜合技術(shù)研究帶來(lái)了新的契機(jī)。同時(shí)，新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)ISO1101還增加了三維公差標(biāo)注規(guī)范，并且其規(guī)范、標(biāo)準(zhǔn)的表示法支持不同三維CAD軟件之間的數(shù)據(jù)交換。早期的公差設(shè)計(jì)技術(shù)主要集中于一維、二維尺寸的公差分析與綜合，隨著科技的發(fā)展，原來(lái)進(jìn)行一維、二維公差分析與綜合的尺寸鏈技術(shù)已經(jīng)不能滿足要求，三維CAD軟件逐漸成為產(chǎn)品設(shè)計(jì)的方向和主流。由三維模型直接指導(dǎo)生產(chǎn)時(shí)，必須在其上標(biāo)注公差，如何在三維CAD模型上進(jìn)行公差分析與綜合已成為一個(gè)必須解決的問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)三維公差設(shè)計(jì)技術(shù)特別是三維公差分析技術(shù)進(jìn)行了大量研究，取得一定的研究成果。本文對(duì)國(guó)內(nèi)外計(jì)算機(jī)輔助三維公差分析技術(shù)的最新研究進(jìn)展作全面介紹，并對(duì)今后的研究工作進(jìn)行展望。

1 三維公差分析

1.1 TTRS 模型

Desrochers 和 Clément［1］從研究建立獨(dú)立于 CAD/CAM三維造型系統(tǒng)的公差信息表示模型的角度出發(fā)，提出了工藝拓?fù)潢P(guān)聯(lián)表面(Technologically and Topologically Related Surface，TTRS)的公差信息表示模型，它是對(duì)漂移公差帶模型的擴(kuò)展。TTRS定義為屬于同一個(gè)實(shí)體由于功能原因而關(guān)聯(lián)在一起的一對(duì)表面。按照由Clément等提出的7個(gè)單元表面類和28個(gè)表面相關(guān)情形之間的關(guān)聯(lián)類型控制公差。它首先從三維CAD系統(tǒng)中提取必需的信息，將零件的各表面以二叉樹的形式組織，形成零件的TTRS二叉樹結(jié)構(gòu)，接著構(gòu)造此TTRS的最小幾何基準(zhǔn)元(Minimum Geometric Datum Element，MGDE)。根據(jù)MGDE及其相互之間的關(guān)系，可以確定公差類型，并且公差信息可以添加于MGDE上。該模型最大的特色之處在于提出了TTRS的概念及其組織方式，對(duì)三維CAD系統(tǒng)所提供的幾何信息進(jìn)行了重新的組織以便于實(shí)現(xiàn)公差信息的添加。但在其具體實(shí)現(xiàn)時(shí)主要是考慮了拓?fù)渖媳砻娴南嗦?lián)，而對(duì)于工藝上表面的關(guān)聯(lián)則未真正考慮。這種公差表示法在歐洲較通用，同時(shí)其影響在新的ISO標(biāo)準(zhǔn)中能夠體現(xiàn)。

基于TTRS模型進(jìn)行三維裝配公差分析時(shí)，首先為裝配體創(chuàng)建具有MGDE/MGRS表面識(shí)別信息的TTRS圖，并創(chuàng)建包含幾何公差信息的TTRS圖，然后，使用張量、非共面直線對(duì)、旋量等參數(shù)來(lái)表示公差，于是TTRS圖直接生成基于張量、非共面直線對(duì)、旋量等參數(shù)的公差模型;沿著裝配中公差累積路徑，結(jié)合這些參數(shù)的限制，識(shí)別限定參數(shù)的方向，最后將參數(shù)求和可以得到目標(biāo)特征的公差，實(shí)現(xiàn)三維裝配的公差分析［2］。

1.2 矩陣模型

基于矩陣的公差表示模型使用奇次矩陣變換進(jìn)行公差建模，它既能描述三維零件之間的名義幾何關(guān)系，又能描述由其幾何偏差引起的變動(dòng)［3］。例如，如圖 1 所示定義在圓柱體內(nèi)的公差區(qū)域的矩陣表示，坐標(biāo)系(O，x，y，z)建立以線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，y方向沿著圓柱軸線AB方向。于是描述公差帶的齊次變換矩陣為［4］。

式中:0≤γ≤π，0≤α≤π

此外，約束條件確保線段AB保持在圓柱公差帶邊界以內(nèi)

可見，一個(gè)完整公差矩陣模型是由描述軸線AB的偏差矩陣(1)和一組描述公差帶幾何形狀和尺寸的約束方程(2)構(gòu)成。

絕大多數(shù)的公差規(guī)范都與矩陣模型兼容，它也能很好地與三維CAD/CAM系統(tǒng)集成。采用矩陣形式建立公差語(yǔ)義，適合于公差信息的計(jì)算機(jī)表示，為進(jìn)行三維公差分析提供方便。Desrochers和Rivière在文獻(xiàn)［4］中給出了基于矩陣模型的三維公差分析實(shí)例。

1.3 矢量環(huán)模型

進(jìn)行三維裝配公差分析時(shí)，必須充分考慮裝配中的3種主要的變動(dòng)來(lái)源:尺寸變動(dòng)、幾何特征變動(dòng)和裝配運(yùn)動(dòng)學(xué)調(diào)整。前面2種變動(dòng)是由于制造過(guò)程中的加工條件及加工工藝的波動(dòng)、原材料性能差異等因素造成的。第3種變動(dòng)在產(chǎn)品裝配中出現(xiàn)，是由于零件尺寸或形狀變化引起的配合零件之間的微小調(diào)整?？紤]這3種變動(dòng)的影響，Gao等［5］研究了基于矢量環(huán)模型的三維公差分析技術(shù)。在該模型中，每個(gè)零件尺寸被看作有向矢量，零件尺寸公差表示該矢量的變動(dòng);零件的幾何公差看作具有一定公差的零長(zhǎng)度矢量，加到接觸表面的接觸處，一起參與公差分析。對(duì)于三維裝配公差分析所用的矢量環(huán)可用一種矩陣環(huán)方程描述，矩陣環(huán)由一系列變換矩陣乘積確定。

基于矢量環(huán)模型的封閉矢量方程式用矩陣形式表示為

式中:A為組成環(huán)尺寸偏導(dǎo)數(shù)矩陣;B為裝配封閉環(huán)偏導(dǎo)數(shù)矩陣;C為幾何特征變量的偏導(dǎo)數(shù)矩陣;［ΔX］為組成環(huán)尺寸的變動(dòng)矩陣;［ΔY］為裝配封閉環(huán)的變動(dòng)矩陣;［ΔZ］為幾何特征變量的變動(dòng)矩陣。

求解方程(3)，于是裝配封閉環(huán)的變動(dòng)矩陣為

式中:sX為尺寸變量的公差靈敏度矩陣;sZ為幾何特征變量的公差靈敏度矩陣。

公差靈敏度矩陣一經(jīng)確定，整個(gè)三維裝配變動(dòng)的累積(封閉環(huán)公差)可以用WC(Worst Case)模型、RSS(Root Sum Squares)模型或者平均漂移模型確定

WC模型

RSS模型

平均漂移模型

式中:T0表示封閉環(huán)公差和分別表示第i個(gè)尺寸變量和第j個(gè)幾何特征變量的公差和分別表示在各個(gè)組成環(huán)尺寸中尺寸變量和幾何特征變量的公差靈敏度;n和m分別表示尺寸變量和幾何特征變量的數(shù)目。

目前集成于Pro－ENGINEER的三維公差分析軟件TI/TOL就是基于該理論。

1.4 基于VDT的三維公差分析

隨著工件檢驗(yàn)中三維坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的廣泛應(yīng)用，傳統(tǒng)的幾何公差定義及原理不能滿足離散測(cè)量數(shù)據(jù)的公差評(píng)定要求。為了解決這個(gè)問(wèn)題，在20世紀(jì)90年代初由Wirtz［6］提出矢量尺寸與公差(Vectorial Dimensioning and Tolerancing，VDT)的概念。1995年，Henzold［7］在其出版的《幾何公差的設(shè)計(jì)、制造及檢驗(yàn)手冊(cè)》中對(duì)比進(jìn)行了發(fā)展。相比基于傳統(tǒng)的幾何尺寸與公差(Geometrical Dimensioning and Tolerancing，GDT)，VDT的替代要素以一種更好的方式規(guī)范了工件的幾何特征。特別是三維CAD/CAM系統(tǒng)在工程實(shí)際中的廣泛應(yīng)用，VDT適合于描述三維模型的名義幾何特征以及這些特征的變動(dòng)，有利于三維公差分析問(wèn)題的解決。Humienny等［8］提出了基于VDT的計(jì)算機(jī)輔助三維公差分析的方法。Dantan等［9］還研究了基于VDT的圓錐齒輪的公差設(shè)計(jì)問(wèn)題。

1.5 基于GapSpace的三維公差分析

一維 GapSpace 模型較早由 Morse［10］提出，Gap-Space模型中有2個(gè)基本概念，其一是有向尺寸樹，其二是間隙。有向尺寸樹是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用來(lái)描述零件一個(gè)方向上尺寸的規(guī)劃，每個(gè)有向尺寸樹描述唯一的一組特征關(guān)系。間隙定義為不同零件的對(duì)應(yīng)特征的相鄰規(guī)范，即2個(gè)特征之間的距離。如圖2所示為鉸鏈裝配的GapSpace模型，圖中有4個(gè)間隙g1、g2、g3、g4，它們均為獨(dú)立變量，構(gòu)造一個(gè)四維線性矢量空間，基底矢量分別為［1 0 0 0］T、［0 1 0 0］T、［0 0 1 0］T、［0 0 0 1］T，這個(gè)線性矢量空間即所謂裝配的GapSpace。Zou和Morse［11］提出了基于GapSpace模型的統(tǒng)計(jì)公差分析方法。Zou［12］在博士論文中，對(duì)GapSpace模型進(jìn)行擴(kuò)展研究，探討了GapSpace模型進(jìn)行二維和三維裝配公差分析技術(shù)。

1.6 基于T－Map的三維公差分析

Mujezinovic 等［13］提 出了一個(gè)與ASME標(biāo)準(zhǔn)兼容的公差數(shù)學(xué)模型，其核心是T－Map的概念。T－Map是一個(gè)假想的歐氏點(diǎn)空間，其尺寸和形狀反映目標(biāo)特征的所有變動(dòng)可能性。這些變動(dòng)由控制特征的尺寸、位置、方向等公差確定。對(duì)于特征的三維變動(dòng)，相應(yīng)的T－Map由定義基本單形體(四面體)的4個(gè)基本點(diǎn)構(gòu)造而成，并用質(zhì)心坐標(biāo)進(jìn)行描述。如圖 3 所示，選擇 4 個(gè)基本點(diǎn) σ1、σ2、σ3、σ4，在這4 個(gè)點(diǎn)處分別放置 4 個(gè)集中質(zhì)量 λ1、λ2、λ3、λ4，只要λ1+λ2+λ3+λ4≠0，這些質(zhì)量的質(zhì)心 σ 的位置將由方程(8)唯一確定。并且可以通過(guò)改變 λ1、λ2、λ3和λ4，使質(zhì)心σ落在四面體空間的任意位置。

如圖4所示為矩形平面的T－Map，目前已經(jīng)開發(fā)了圓形平面、多邊形平面、圓柱面、圓柱形特征的軸線、槽形等的T－Map圖。在用T－Map圖進(jìn)行三維公差分析時(shí)，首先生成每個(gè)零件的T－Map圖;為了描述每個(gè)特征的變動(dòng)，再生成所謂的相似T－Maps;在所有相似T－Maps獲得后，需要生成一個(gè)累積T－Map圖，用于描述裝配體中所有零件的變動(dòng)累積。把所有零件的相似T－Maps進(jìn)行閔科夫斯基求和(每一個(gè)T－Map的所有點(diǎn)的矢量和)獲得裝配體的累積T－Map，實(shí)現(xiàn)裝配體的三維公差分析［14］。

1.7 基于SDT的三維公差分析

小位移旋量(Small displacement torsor，SDT)表示帶有6個(gè)運(yùn)動(dòng)分量的剛體產(chǎn)生微小位移所構(gòu)成的矢量，在1996年由Bourdet等［15］引入到公差領(lǐng)域。與零件的名義尺寸相比其公差一般是相對(duì)微小的，零件每個(gè)特征的變動(dòng)量可以用兩組矢量精確地描述，即3個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量和3個(gè)平移矢量，這2組矢量即所謂的SDT矢量。

任何機(jī)械產(chǎn)品都是由零件裝配而成的，零件之間有直接接觸的，也有通過(guò)運(yùn)動(dòng)副連接的。不論是各個(gè)零件在加工制造過(guò)程中產(chǎn)生的幾何誤差，還是不同零件之間用運(yùn)動(dòng)副連接而形成的誤差，在進(jìn)行裝配公差分析時(shí)，都必須建立其定量描述。Desrochers等在文獻(xiàn)［16］中研究了這些誤差的SDT描述方法。基于SDT進(jìn)行機(jī)械裝配的三維公差分析要?jiǎng)?chuàng)建三維尺寸鏈，該尺寸鏈貫穿裝配體的每一個(gè)功能要素，這些功能要素對(duì)整個(gè)裝配功能均產(chǎn)生影響。基于SDT的三維公差分析模型為［16］

2 三維公差分析軟件

目前主要的三維公差分析軟件有:

(1)CATIA.3DFDT 這是由IBM公司發(fā)布的公差分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)是基于TTRS公差表示模型而開發(fā)的，它能協(xié)助設(shè)計(jì)者進(jìn)行三維公差分析，不過(guò)系統(tǒng)僅能處理基于WC模型的三維公差分析問(wèn)題。

(2)CE/TOL 6 Sigma 這是由美國(guó)Rand Worldwide和PTC公司專門發(fā)布，是集成于Pro－ENGINEER中的公差分析系統(tǒng)，該系統(tǒng)能進(jìn)行基于WC、RSS和6 Sigma模型的三維公差分析。

(3)eM－TolMate 該系統(tǒng)由Tecnomatix公司發(fā)布。該系統(tǒng)能嵌入大多數(shù) CAD軟件(CATIA、Unigraphics、I－deas、Pro－E 和 CADDS5 等)進(jìn)行三維公差分析，其公差分析是基于Monte Carlo模擬進(jìn)行。

(4)VSA－GDT/VSA－3D 這2個(gè)軟件由工程動(dòng)畫公司(EAI)發(fā)布，系統(tǒng)能與 CATIA、Unigraphics、I－deas、Pro－E及其它主要CAD系統(tǒng)集成。同eMTolMate一樣該系統(tǒng)基于Monte Carlo模擬進(jìn)行三維公差分析。

(5)3DCS 該軟件系統(tǒng)由DCS公司發(fā)布，能完全集成于CATIA和Unigraphics，進(jìn)行三維公差分析使用Monte Carlo模擬法。

上述為目前市場(chǎng)上的主要三維公差分析商業(yè)軟件，它們能進(jìn)行包括尺寸公差和幾何公差在內(nèi)的二維和三維公差分析，并且均能集成于主要的商業(yè)CAD系統(tǒng)中［18］。其中CATIA.3DFDT有一個(gè)好的理論基礎(chǔ)，缺點(diǎn)就是在三維裝配公差分析中不考慮形狀公差。同時(shí)，由于零件尺寸變化或形狀變化引起的配合零件之間的微小運(yùn)動(dòng)學(xué)調(diào)整而引起的變動(dòng)不能考慮。與CATIA.3DFDT相比，CE/TOL 6 Sigma功能更為完善，它不僅能執(zhí)行WC公差分析，也能執(zhí)行統(tǒng)計(jì)公差分析。其他的基于Monte Carlo模擬的公差分析系統(tǒng)需要大量的裝配樣本來(lái)獲得一個(gè)滿意的精確度。

3 三維公差分析技術(shù)的研究展望

雖然計(jì)算機(jī)輔助三維公差分析技術(shù)的研究已經(jīng)取得了較大的發(fā)展，但是現(xiàn)有技術(shù)處理的大多是某一特定類型的公差問(wèn)題，有較大的局限性，用來(lái)解決工程實(shí)際中一般的三維公差分析問(wèn)題的理論和方法還有待研究。目前，公差分析研究多集中于二維尺寸公差，對(duì)于三維公差分析以及與尺寸公差具有同等重要地位的幾何公差考慮甚少，迄今為止還沒(méi)有一種涉及三維幾何公差分析的常規(guī)方法，尤其是集成于三維CAD系統(tǒng)的尺寸公差和幾何公差分析技術(shù)更少有研究。新一代GPS已經(jīng)有較大發(fā)展，與新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)體系的要求相適應(yīng)，研究建立滿足功能要求及實(shí)際測(cè)量和評(píng)定方法的三維公差數(shù)字化的數(shù)學(xué)模型，開發(fā)更具實(shí)用性的計(jì)算機(jī)輔助三維公差分析軟件將是未來(lái)的重要發(fā)展方向。

［1］Desrochers A，Clément A.A dimensioning and tolerancing assistance model for CAD/CAM systems［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，1994，9(6):352 －361.

［2］Ameta G，Serge S，Giordano M.Comparison of spatial math models for tolerance analysis:tolerance － maps，deviation domain，and TTRS［J］.Journal of Computing and Information Science in Engineering，2011，11:1－8.

［3］Whitney D E，Gilbert O L，Jastrzebski M.Representation of Geometric Variations Using Matrix Transforms for Statistical Tolerance Analysis in Assemblies［J］.Research in Engineering Design，1994，6:191 －210.

［4］Desrochers A and Rivière A.A matrix approach to the representation of tolerance zones and clearances［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，1997，13:630 －636.

［5］Gao J，Chase K W，Magleby S P.Generalized 3－D tolerance analysis of mechanical assemblies with small kinematic adjustments［J］.IIE Transactions，1998，30(4):367 －377.

［6］Wirtz A.Vectorial tolerancing for production quality control and functional analysis in design［C］.Proceedings of the CIRP international working seminar on computer－ aided tolerancing，USA，Penn State，1991:77－84.

［7］Henzold G.Handbook of Geometrical Tolerancing Design，Manufacturing and Inspection［M］.John Willey ＆ Sons，Chichester，1995.

［8］Humienny Z，Johansson G，Kulesza W.Application of vectorial dimensioning and tolerancing to an unique 3 －D stackup analysis［C］.Proceedings of XVII IMEKO World Congress.Croatia，Dubrovnik，2003:1790－1793.

［9］Dantan J Y，Bruyere J，Vincent J P，et al.Vectorial tolerance allocation of bevel gear by discrete optimization［J］.Mechanism and Machine Theory，2008，43:1478 －1494.

［10］Morse E P.Models，representations and analyses of toleranced onedimensional assemblies［D］.PhD thesis，Cornell University ，Ithaca，NY，1999.

［11］Zou Z H，Morse E P.Statistical tolerance analysis using gapspace［C］，7th CIRP International Seminar on Computer Aided Tolerancing，at ENS de Cachan，F(xiàn)rance，2001:313－322.

［12］Zou Z H.Multi－dimensional tolerance analysis of mechanical assemblies［D］.Ph.D Thesis，University of North Carolina，Charlotte，2003.

［13］Mujezinovic A，Davidson J K，Shah J J.A new mathematical model for geometric tolerances as applied to polygonal faces［J］.Journal of Mechanical Design，2004，126(3):504－518.

［14］Shen Z，Ameta G，Shah J J，et al.A comparative study of tolerance analysis methods［J］.Journal of Computing and Information Science in Engineering，2005，5:247 －256.

［15］Bourdet P，Mathieu L，Lartigue C，et al.The concept of the small displacement torsor in metrology［J］.In Advanced Mathematical Tools in Metrology II，Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences，1996，40:110 －122.

［16］Desrochers A，Ghie W，Laperrière L.Application of a unified Jacobian－ torsor model for tolerance analysis［J］.J Comput Inf Sci Eng，2003，3(1):2－14.

［17］Ghie W，Laperrière L，Desrochers A.Re－ Design of Mechanical Assemblies using the Unified Jacobian－Torsor Model for Tolerance Analysis［M］.J.K.Davidson(ed.)，Models for Computer Aided Tolerancing in Design and Manufacturing，2007:95 －104.

［18］Umberto P，Giuseppe G.Overview of current CAT systems［J］.Integrated Computer－Aided Engineering 2002(9):373－387.