基于FFT-FS頻譜細(xì)化技術(shù)的船模耐波性試驗(yàn)測(cè)量信號(hào)分析方法研究

許 勇，董文才，歐勇鵬

（海軍工程大學(xué) 船舶與海洋工程系，武漢 430033）

1 引 言

在耐波性系列模型試驗(yàn)（如滑行艇艉底斜升角變化對(duì)船模運(yùn)動(dòng)響應(yīng)影響的試驗(yàn)研究）及一些非常規(guī)試驗(yàn)（如氣泡高速艇噴氣后形成的氣層對(duì)其運(yùn)動(dòng)響應(yīng)影響的試驗(yàn)研究）中常常需要捕捉研究對(duì)象參數(shù)的細(xì)微變化對(duì)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的影響，但由于試驗(yàn)測(cè)量信號(hào)中存在很多干擾（如測(cè)量設(shè)備本身的高頻電噪聲、儀器調(diào)零誤差帶來的低頻趨勢(shì)項(xiàng)、拖車在行進(jìn)時(shí)本身的抖動(dòng)、二次試驗(yàn)間隔時(shí)間不夠而殘留的小波的干擾等），使得所研究對(duì)象參數(shù)變化對(duì)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的影響往往淹沒在這些干擾因素中，要識(shí)別這些細(xì)微變化則必須采用高精度的信號(hào)分析方法。而船模對(duì)波浪的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)是低頻的且是窄頻帶[1]，所以對(duì)該窄帶頻段進(jìn)行頻譜細(xì)化處理則可望得到這些細(xì)微的變化。

FFT分析是一種使用最為廣泛的頻域分析方法。該方法能得到整個(gè)頻段上的頻譜信息，但是其受到頻率分辨率的限制。所謂頻率分辨率[2]Δf即為采樣頻率fs與FFT變換點(diǎn)數(shù)N1的比值，根據(jù)頻率與圓頻率的關(guān)系則可得圓頻率分辨率為Δω=2πΔf。而FFT變換點(diǎn)數(shù)N1又與采樣點(diǎn)數(shù)N存在如下?lián)Q算關(guān)系[3]

其中[]為取整符號(hào)。因此頻率分辨率和信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)及傳感器采樣頻率有關(guān)，實(shí)質(zhì)上與采樣時(shí)間有關(guān)。而船模的耐波性試驗(yàn)一般都在拖曳水池中進(jìn)行，水池長度有限導(dǎo)致總的采樣時(shí)間不長，所以若采用FFT分析則頻率分辨率受到限制，這也將影響其它表征信號(hào)頻域特征量（如幅值、相位、功率譜密度等）的分析精度。當(dāng)然，可以采用補(bǔ)零的方法來增加數(shù)據(jù)的長度以提高FFT分析的頻率分辨率，但頻率分辨率每縮小一倍則數(shù)據(jù)長度要增加一倍，這會(huì)引起運(yùn)算量和存儲(chǔ)量的急劇增加，而FFT也將失去其快速性算法的意義。所以一種頻率分辨率高、運(yùn)算速度快且具有局部分析功能的頻域方法將有助于船模耐波性試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的處理和分析。

為了提高頻率分辨率，捕捉信號(hào)更詳細(xì)和精確的頻幅特性，出現(xiàn)了不少的頻譜細(xì)化方法[2,4-5]，如復(fù)調(diào)制ZFFT，相位補(bǔ)償細(xì)化，AR譜局部表示法等。復(fù)調(diào)制ZFFT以及相位補(bǔ)償細(xì)化[4]在一定程度上能提高頻率分辨率，但所需的數(shù)據(jù)量也成倍地增加，對(duì)于原始數(shù)據(jù)長度恒定或瞬變信號(hào)進(jìn)行細(xì)化分析時(shí)，上述方法顯然無能為力，并且分析前要先對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻移和低通濾波[4]，這不僅增加了信號(hào)處理的難度，而且降低了信號(hào)分析的效率，不利于實(shí)現(xiàn)信號(hào)的實(shí)時(shí)處理。AR譜等現(xiàn)代譜分析方法[5]，由于是連續(xù)譜圖，故不受采樣點(diǎn)數(shù)的影響，在理論上頻率分辨率可以達(dá)到無窮小，但由于建模方法和模型階次確定的差異會(huì)產(chǎn)生譜線偏移和譜線分裂現(xiàn)象，得不到非常準(zhǔn)確的頻率值。FFT-FS頻譜細(xì)化技術(shù)[2]，在不增加數(shù)據(jù)長度的前提下利用傅立葉級(jí)數(shù)的原理得到連續(xù)的頻譜曲線，不僅可以消除頻率分辨率的限制，還能克服上述方法的不足。本文嘗試采用該方法來獲得船模運(yùn)動(dòng)響應(yīng)信號(hào)的細(xì)化譜。

2 FFT-FS算法原理

FFT-FS實(shí)際上是一種聯(lián)合采用快速傅立葉變換（FFT）及傅立葉級(jí)數(shù)展開（FS）的信號(hào)處理方法。其原理是在不增加數(shù)據(jù)長度N的前提下對(duì)信號(hào)先進(jìn)行N1點(diǎn)（見（1））式FFT，初步確定信號(hào)的頻幅特性，然后對(duì)FFT的離散頻率通過變量代換獲得連續(xù)頻率，并對(duì)感興趣的局部頻段進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開獲得連續(xù)的頻譜曲線。關(guān)于頻率的變量代換、FFT-FS、FFT更詳?shù)慕榻B可參考文獻(xiàn)[2-3]。對(duì)于船模實(shí)測(cè)耐波性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)信號(hào)來說，感興趣的頻段是遭遇圓頻率ωf附近的局部頻段，該頻段內(nèi)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式（細(xì)化譜）為

其中:x（n）為實(shí)測(cè)時(shí)間序列，N為采樣點(diǎn)數(shù)，fs為采樣頻率，ω 為圓頻率，dω 為細(xì)化頻段的半寬，[ωf-dω,ωf+d ω ]為離散的頻段；ω 處幅值譜矢量表達(dá)式為a（ω）+jb（ω），幅值大小為A（ω）=（ω）+b2（ω）。因此根據(jù)（2）式則可以得到頻段 [ωf-dω,ωf+dω ]內(nèi)的連續(xù)的細(xì)化幅值譜。

但在程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)，仍需對(duì)ω進(jìn)行離散，設(shè)N3為頻段 [ωf-dω,ωf+dω ]內(nèi)離散的點(diǎn)數(shù)（一般稱N2為離散的譜線數(shù)），此時(shí)頻率分辨率為Δω=2dω/N2。故通過上述方法可以得到分辨率為Δω的頻幅特性曲線，且調(diào)節(jié)譜線數(shù)目N′可獲到不同分辨率時(shí)的幅值譜。

3 FFT-FS算法的運(yùn)算量分析及與FFT的比較

對(duì)采樣點(diǎn)數(shù)為N的實(shí)測(cè)序列采用FFT-FS分析時(shí)，其運(yùn)算量包括進(jìn)行N1點(diǎn)FFT的運(yùn)算量和進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開求N2條細(xì)化譜的運(yùn)算量。

對(duì)采樣點(diǎn)數(shù)為N的實(shí)測(cè)時(shí)間序列x（n）采用FFT-FS分析時(shí)，其運(yùn)算量包括進(jìn)行N1點(diǎn)FFT的運(yùn)算量和進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開求N2條細(xì)化譜的運(yùn)算量:由文獻(xiàn)[3]給出的估算公式并根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系可得進(jìn)行N1點(diǎn)FFT需要進(jìn)行實(shí)數(shù)加法為2.5N1log2（N1）次，實(shí)數(shù)乘法為N1log2（N1）次；根據(jù)（2）式可知計(jì)算N2條細(xì)化譜需要進(jìn)行的實(shí)數(shù)加法為2NN2次，實(shí)數(shù)乘法為2NN2次，因此FFT-FS的實(shí)數(shù)加法為Sa=2NN2+2.5N1log2（N1）次，實(shí)數(shù)乘法為Sm=2NN2+N1log2（N1）次。若采用FFT分析要得到和FFTFS同樣分辨率Δω的幅值譜，則需要進(jìn)行FFT變換的數(shù)據(jù)長度為M=πfsN1/dω，根據(jù)（1）式可求得進(jìn)行FFT 的點(diǎn)數(shù)為 M′=2[log2（M）]次，則需要進(jìn)行的實(shí)數(shù)加法為Sa=2.5M′log2（M′）次，實(shí)數(shù)乘法為Sm=M′log2（M′）次。

圖1給出了采樣點(diǎn)數(shù)N不同時(shí)FFT-FS、FFT乘法運(yùn)算量隨分辨率的變化關(guān)系（加法運(yùn)算量變化規(guī)律和此類似），其中采樣頻率為200Hz，細(xì)化頻段的半寬為1。從圖中可以看出:（1）在分辨率相同時(shí)，F(xiàn)FT-FS的運(yùn)算效率要高于FFT算法，尤其是在高分辨率時(shí)FFT-FS的運(yùn)算效率明顯要高于FFT運(yùn)算效率；（2）當(dāng)實(shí)測(cè)信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)N增加時(shí)，F(xiàn)FT-FS運(yùn)算量的優(yōu)勢(shì)逐漸減弱，也就是說當(dāng)采樣數(shù)據(jù)較多時(shí)，兩者的運(yùn)算量相當(dāng)，而當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，F(xiàn)FT-FS的運(yùn)算速度比FFT更有優(yōu)勢(shì)。第1節(jié)指出船模耐波性試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)受采樣時(shí)間的限制而導(dǎo)致采樣點(diǎn)數(shù)有限，因此采用FFT-FS對(duì)這些信號(hào)進(jìn)行分析則能發(fā)揮其運(yùn)算速度快的優(yōu)勢(shì)。

4 FFT-FS算法的精度分析

圖1 FFT-FS、FFT的乘法運(yùn)算次數(shù)隨分辨率的變化Fig.1 Multiplicaiton operation number curves of FFT and FFT-FS at different frequency

4.1 FFT-FS、FFT計(jì)算精度的比較

根據(jù)文獻(xiàn)[1]提供的數(shù)學(xué)模型，可以用單個(gè)或若干個(gè)正弦波的迭加來模擬船模在規(guī)則波和不規(guī)則波中的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。而實(shí)測(cè)船舶耐波性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)信號(hào)中往往包含著噪聲，可用高斯白噪聲gwn（white Gaussian noise）來模擬，其中高斯白噪聲對(duì)正弦信號(hào)的影響程度則可以通過信噪比snr（signal-to-noise ratio）來調(diào)節(jié)。關(guān)于信噪比和高斯白噪聲更詳細(xì)的介紹可以參見文獻(xiàn)[6-8]。下面以兩個(gè)仿真信號(hào)S1和S2來模擬船模的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，S1和S2的表達(dá)形式如下:

其中時(shí)間t=0～20.48 s，采樣頻率為200 Hz，信噪比snr為1，幅值A(chǔ)i、圓頻率 ωi及相位 εi（i=1～6）的值如表1所示。S1模擬規(guī)則波激勵(lì)時(shí)的垂蕩響應(yīng)，S2則模擬不規(guī)則波激勵(lì)時(shí)的垂蕩響應(yīng)，兩個(gè)仿真信號(hào)的時(shí)歷過程如圖2所示。

表1 仿真信號(hào)各正弦波特征參數(shù)Tab.1 Characteristic parameters of the simulation signals S1 and S2

圖2 仿真信號(hào)的時(shí)歷過程Fig.2 History curves of the two simulation signals

采用FFT-FS方法對(duì)S1和S2的遭遇頻率ωf附近頻段進(jìn)行頻譜細(xì)化處理，其中S1的細(xì)化頻段半寬為1，細(xì)化譜線數(shù)為50，S2的細(xì)化頻段半寬為2，細(xì)化譜線數(shù)為100，同時(shí)還對(duì)兩個(gè)仿真信號(hào)進(jìn)行了4096點(diǎn)的FFT分析，兩種分析方法所得結(jié)果如圖3所示:對(duì)比FFT和FFT-FS的幅頻曲線可以看出FFT-FS的幅頻曲線反映的幅頻信息更豐富和細(xì)致，如S2的FFT-FS幅頻曲線中可以清晰地看到5個(gè)子波的幅值譜（圖中阿拉伯?dāng)?shù)字1～6標(biāo)出了各子波對(duì)應(yīng)的幅值譜），這和事實(shí)是相符的，而S2的FFT幅頻曲線中只能看到4條這樣的幅值譜，子波2和子波3的幅值譜線在圖中無法分辨出來，其原因在于FFT受頻率分辨率的限制，而子波2和子波3的頻率又比較接近，所以FFT分析無法分辨出來。

圖3 仿真信號(hào)的FFT幅值譜及FFT-FS幅值譜Fig.3 Amplitude-frequency curves of FFT and FFT-FS about the signals

為進(jìn)一步比較FFT-FS、FFT的分析精度，表2統(tǒng)計(jì)了圖3中各子波的幅頻參數(shù)值。FFT分析結(jié)果中關(guān)于子波2的數(shù)據(jù)由于該方法分析失效，用“-”表示。對(duì)比表2和表1中的理論值可以知道:（1）由FFT分析得到的四個(gè)子波的頻率誤差分別在5%左右、而對(duì)應(yīng)的幅值誤差和相位誤差卻很大（如子波3的幅值誤差達(dá)到34.519%，相位誤差達(dá)到了132.486%），其原因在于采用FFT分析時(shí)計(jì)算的僅是頻率為整數(shù)倍頻率分辨率時(shí)的幅值，而兩相鄰整數(shù)倍頻率分辨率之間的幅值無法求得，但兩相鄰整數(shù)倍頻率分辨率之間存在著豐富的信息細(xì)節(jié)，因此出現(xiàn)頻率的一點(diǎn)偏差將會(huì)帶來幅值上很大的誤差；（2）采用FFT-FS的頻譜細(xì)化技術(shù)所得頻率、幅值及相位和理論值相當(dāng)接近，且誤差都在3%之內(nèi)，這也驗(yàn)證了該方法的有效性。綜合上述的分析可以知道FFT-FS方法能夠準(zhǔn)確而且細(xì)致地描述信號(hào)的幅頻特性，且是一種比FFT更有效的頻域方法。

表2 仿真信號(hào)各子波的FFT、FFT-FS頻幅參數(shù)統(tǒng)計(jì)Tab.2 Amplitudes,frequencies and phases of the two signals calculated by FFT and FFT-FS

4.2 細(xì)化譜線數(shù)對(duì)FFT-FS分析精度的影響

在同樣寬度的頻段內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜細(xì)化時(shí)，細(xì)化譜線的數(shù)目N2不僅決定了FFT-FS的運(yùn)算量，而且還決定著細(xì)化譜的分辨率，從而也就決定了對(duì)信號(hào)分析的精度,因此選擇合適的細(xì)化譜線數(shù)既能確保FFT-FS有好的分析精度又有高的運(yùn)算效率。仍以S1為例，采用FFT-FS算法對(duì)該仿真信號(hào)的ωf附近dω為1的頻段分別進(jìn)行譜線數(shù)目為10、20、50、100及500的細(xì)化處理，其中仿真信號(hào)的信噪比snr為1，所得細(xì)化譜如圖4所示。由圖可知細(xì)化譜線數(shù)為50、100和500時(shí)的細(xì)化譜基本上是重合的，這說明當(dāng)頻段半寬dω1時(shí)選擇譜線數(shù)為50就能得到滿意的精度。

4.3 信噪比對(duì)FFT-FS分析精度的影響

船模耐波性試驗(yàn)測(cè)量的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)信號(hào)中含有噪聲的影響，有的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)測(cè)量信號(hào)信噪比較小，如在短波激勵(lì)時(shí)測(cè)得的加速度信號(hào)，而有的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)測(cè)量信號(hào)信噪比較大，如長波激勵(lì)時(shí)的位移信號(hào)。因此研究FFT-FS分析精度是否受信號(hào)本身信噪比的影響及受到的影響究竟有多大則能考察該方法的普遍適應(yīng)性。仍以S1為例，設(shè)定其信噪比snr分別為1、5和100，得到3個(gè)不同的信號(hào)，對(duì)這3個(gè)信號(hào)進(jìn)行FFT-FS頻譜細(xì)化，其中細(xì)化譜線數(shù)N′為50，細(xì)化的頻段仍為仿真信號(hào)的ωf附近dω為1的頻段，所得細(xì)化幅值譜如圖5所示，由圖可知這3條曲線基本上是一致的，這說明FFT-FS分析精度受信號(hào)本身信噪比snr的影響很小，即使是對(duì)強(qiáng)噪聲背景下的測(cè)量信號(hào)（如snr為1時(shí)的信號(hào)）進(jìn)行分析也能確保精度，因此該方法可以用于對(duì)船模耐波性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的頻譜細(xì)化分析。

圖4 不同N2時(shí)的細(xì)化譜比較Fig.4 Amplitudes-frequency curves of different N2 calculated by FFT-FS

圖5 不同信噪比時(shí)的細(xì)化譜比較Fig.5 Amplitudes-frequency curves of different signal-noise ratio calculated by FFT-FS

5 船模耐波性實(shí)測(cè)信號(hào)的FFT-FS實(shí)例分析

在605所高速水動(dòng)力試驗(yàn)室水池中對(duì)氣泡高速艇模型sm8進(jìn)行了耐波性試驗(yàn)，激勵(lì)波為規(guī)則波、波長范圍為2～13 m、名義波高60 mm，航速為固定航速6.124 m/s。模型sm8的基本參數(shù)和sm7相同，關(guān)于sm7的基本參數(shù)可參見文獻(xiàn)[9]。試驗(yàn)中每個(gè)波長進(jìn)行一次拖車，一次拖車中采用兩個(gè)噴氣流量，一個(gè)為飽和流量，一個(gè)為零流量。試驗(yàn)中對(duì)首部、中部和尾部的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了測(cè)量。對(duì)測(cè)量的數(shù)據(jù)采用FFT-FS方法進(jìn)行了分析，得到各運(yùn)動(dòng)響應(yīng)在遭遇頻率附近頻段的細(xì)化幅值譜，并統(tǒng)計(jì)了遭遇頻率處的幅頻參數(shù)。圖6給出了波長9 m時(shí)重心處的垂蕩時(shí)歷曲線。圖7給出了兩個(gè)垂蕩響應(yīng)信號(hào)在遭遇頻率附近頻段的FFT-FS細(xì)化譜及FFT頻幅曲線。分析圖7的兩條細(xì)化幅值譜在遭遇頻率處的幅值可以發(fā)現(xiàn)，噴氣時(shí)的幅值要小于噴氣后的幅值，這和事實(shí)是相符的，因?yàn)樵陂L波激勵(lì)時(shí)，船模和波浪之間能形成較為穩(wěn)定的氣泡層，氣泡層的存在可以緩沖船舶的運(yùn)動(dòng)，所以噴氣后的船模對(duì)波浪的垂蕩響應(yīng)會(huì)得到改善，但對(duì)比噴氣前后的FFT幅值譜在遭遇頻率處的幅值可知兩者相當(dāng)接近，說明該方法無法識(shí)別氣泡層存在給運(yùn)動(dòng)響應(yīng)帶來的影響。

圖6 實(shí)測(cè)垂蕩響應(yīng)信號(hào)的時(shí)歷過程Fig.6 History curve of the heave

圖7 垂蕩響應(yīng)的FFT、FFT-FS幅值譜比較Fig.7 Amplitude-frequency curves of the signals in evaluated by FFT and FFT-FS

表3 噴氣前后FFT-FS、FFT分析所得遭遇頻率、幅值統(tǒng)計(jì)Tab.3 The encounter frequency and its corresponding amplitude calculated by FFT and FFT-FS

5 結(jié) 論

（1）當(dāng)采樣數(shù)據(jù)較少且頻率分辨率較高時(shí)FFT-FS運(yùn)算效率要明顯高于FFT的運(yùn)算效率；

（2）FFT-FS算法分析精度受信噪比的影響很小，是一種適應(yīng)性廣的算法，即使是對(duì)強(qiáng)噪聲背景下的測(cè)量信號(hào)進(jìn)行分析也能確保精度；

（3）當(dāng)頻段半寬為1時(shí)譜線數(shù)選擇50對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行FFT-FS分析既能保證精度又能確保運(yùn)算效率；

（4）該算法能有效用在船模耐波性試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的定量分析中。

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