分形理論在吉林省交通網(wǎng)絡(luò)研究中的應(yīng)用

李秀玲，李誠(chéng)固

（1.吉林財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130117；2.東北師范大學(xué)城市與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130024）

分形理論在吉林省交通網(wǎng)絡(luò)研究中的應(yīng)用

李秀玲1，李誠(chéng)固2

（1.吉林財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130117；2.東北師范大學(xué)城市與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130024）

運(yùn)用分形理論，對(duì)吉林省的交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了定量分析.通過(guò)計(jì)算盒子維數(shù)和空間關(guān)聯(lián)維數(shù)，分析了其網(wǎng)絡(luò)覆蓋形態(tài)及空間分布特征.結(jié)果表明：吉林省交通網(wǎng)絡(luò)具有明顯的分形特征，發(fā)育較為成熟，整體通達(dá)性較好，應(yīng)充分利用發(fā)達(dá)的交通網(wǎng)絡(luò)帶動(dòng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展.

交通網(wǎng)絡(luò)；覆蓋形態(tài)；空間分布；分形

交通作為聯(lián)系地理空間中社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的紐帶，是社會(huì)化分工成立的根本保證.交通網(wǎng)絡(luò)作為城市地理空間系統(tǒng)的一個(gè)子系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)著城市人流、物流的有效流動(dòng)和運(yùn)轉(zhuǎn)，是城市繁榮有序的根源和發(fā)展能力的象征，因此城市的發(fā)展離不開(kāi)交通網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展和完善.交通網(wǎng)絡(luò)的建設(shè)與區(qū)域經(jīng)濟(jì)的發(fā)展是互相融合、相輔相成的.一個(gè)區(qū)域的交通發(fā)展，常伴隨而來(lái)的是經(jīng)濟(jì)發(fā)展的提速［1］.

交通便捷程度主要取決于交通網(wǎng)絡(luò)的完善程度，交通網(wǎng)絡(luò)的完善程度可以用密度和結(jié)構(gòu)來(lái)表述.在其他條件不變的情況下，交通網(wǎng)絡(luò)密度越大，交通越便利.但是，并不是交通網(wǎng)絡(luò)密度大的地方交通就一定便利.Braess佯謬指出，有時(shí)增加了交通道路反而降低了通達(dá)能力，甚至引起城市與區(qū)域的交通阻塞［2］.衡量交通便捷程度還要考慮到交通網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，即要綜合考慮聯(lián)結(jié)度和通達(dá)度指標(biāo)［3］.通常情況下，交通網(wǎng)絡(luò)密度大，聯(lián)接度高、通達(dá)度好的網(wǎng)絡(luò)是完善的交通網(wǎng)絡(luò).

交通網(wǎng)絡(luò)的完善程度通常直接影響到一個(gè)區(qū)域的地理可進(jìn)入性.區(qū)域的絕對(duì)地理位置是固定不變的，但是隨著交通條件的變化，其相對(duì)地理位置會(huì)發(fā)生變化，可達(dá)性也會(huì)隨之發(fā)生巨大的變化.交通便利性的提高意味著對(duì)外交往可能性的提高，無(wú)論是針對(duì)原料產(chǎn)地、生產(chǎn)地還是消費(fèi)地而言，都會(huì)促進(jìn)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的發(fā)展，從而成為吸引經(jīng)濟(jì)活動(dòng)布局的重要因素［3］.交通網(wǎng)絡(luò)發(fā)展的研究對(duì)區(qū)域發(fā)展具有重要的實(shí)踐與指導(dǎo)意義，研究區(qū)域范圍越大，越能反映出交通網(wǎng)絡(luò)發(fā)展的全面性.

分形理論［4］是由美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家B.B.Mandelbrot創(chuàng)建的，1977年他發(fā)表的專著《分形：形狀、機(jī)遇和維數(shù)》標(biāo)志著分形幾何學(xué)的誕生.B.B.Mandelbrot將分形定義為其組成部分和整體存在某種自相似性的幾何體，它破碎而復(fù)雜，是不規(guī)則和不可微的，因此不能用傳統(tǒng)的歐幾里得幾何來(lái)研究.分形體的自相似性，指的是統(tǒng)計(jì)意義上的自相似，而不是數(shù)學(xué)意義上的自相似.

對(duì)分形體進(jìn)行定量研究，需要對(duì)分形維數(shù)進(jìn)行分析.分形維數(shù)，簡(jiǎn)稱為分維或分?jǐn)?shù)維，它既可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù).維數(shù)分析是分形理論的精華所在，通過(guò)對(duì)分維的分析來(lái)反映局部對(duì)整體的填充能力，揭示系統(tǒng)的演化機(jī)理.本文通過(guò)計(jì)算交通網(wǎng)絡(luò)覆蓋度和空間關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)吉林省交通網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，以揭示其交通網(wǎng)絡(luò)分形特征.這些分形維數(shù)能夠反映交通網(wǎng)絡(luò)的適應(yīng)性、通達(dá)性、可達(dá)性，體現(xiàn)交通網(wǎng)絡(luò)的空間形態(tài)分布特征，在區(qū)域問(wèn)題研究中能夠有效開(kāi)展空間研究.

1 城市交通網(wǎng)絡(luò)的分形研究

1.1 交通網(wǎng)絡(luò)覆蓋形態(tài)

將邊長(zhǎng)為R的網(wǎng)格覆蓋研究區(qū)域，用N（R）表示有交通線路通過(guò)的網(wǎng)格數(shù).當(dāng)R變化時(shí)，N（R）也隨著變化.若交通網(wǎng)絡(luò)空間分布是分形的，則有

式中：D表示交通網(wǎng)絡(luò)覆蓋度，反映網(wǎng)絡(luò)覆蓋形態(tài).為了說(shuō)明其實(shí)際意義，我們將（1）式變?yōu)?/p>

采用差分代替微分，得到

式中：Ri表示第i次細(xì)分網(wǎng)絡(luò)后的網(wǎng)格邊長(zhǎng)；N（Ri）表示第i次細(xì)分網(wǎng)絡(luò)后有交通線路通過(guò)的網(wǎng)格數(shù).現(xiàn)在取單個(gè)小正方形來(lái)說(shuō)明，假設(shè)此正方形中有交通線路通過(guò)，當(dāng)它被劃分為4個(gè)小的正方形時(shí)，容易算得：當(dāng)4個(gè)小正方形中均有交通線路通過(guò)時(shí)，D＝2；當(dāng)其中3個(gè)小正方形有交通線路通過(guò)時(shí)，D＝1.585；當(dāng)其中有2個(gè)小正方形有交通線路通過(guò)時(shí)，D＝1；而只有1個(gè)小正方形有交通線路通過(guò)時(shí)，D＝0.由此可知，分維數(shù)在是否有交通線路通過(guò)的意義上反映出新網(wǎng)絡(luò)與原網(wǎng)絡(luò)的相似程度.當(dāng)D＝2時(shí)，具有完全的自我相似性.分維數(shù)越大，網(wǎng)絡(luò)中有線路通過(guò)的網(wǎng)格數(shù)越多，網(wǎng)絡(luò)的覆蓋形態(tài)就越好［5］.通常為了使道路覆蓋率較高，讓全區(qū)域基本都有道路通過(guò)，在路網(wǎng)規(guī)劃中取值為1.585≤D≤2.當(dāng)分維值在1.585與2之間取值時(shí)，交通網(wǎng)絡(luò)具有基本覆蓋的相似特性.

由（2）式計(jì)算分維數(shù)D（Ri），（Ri，D（Ri））將形成一條曲線，這條曲線用來(lái)描述覆蓋度隨網(wǎng)格邊長(zhǎng)變化的關(guān)系，稱其為覆蓋度曲線.在這條曲線上，相對(duì)于D（R＊）≥1.585的臨界值R＊稱為交通網(wǎng)絡(luò)的覆蓋深度.它表示，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中平均有約3/4的區(qū)域內(nèi)有線路通過(guò)時(shí)的最小網(wǎng)格邊長(zhǎng).覆蓋深度越小，說(shuō)明相距較小的距離就有一條線路，因此交通狀況就越好［5］.

1.2 交通網(wǎng)絡(luò)空間相關(guān)性

定義空間關(guān)聯(lián)函數(shù)為：

式中：r為碼尺；dij為i，j兩城市的距離；H為Heaviside函數(shù)

在具體計(jì)算過(guò)程中，為了計(jì)算方便，通常將（3）式改為：

如果研究對(duì)象的空間分布是分形的，則應(yīng)具有標(biāo)度不變性，即

由（5）式易知

若dij為i，j兩城市的歐氏距離，即烏鴉距離，則D為城市體系的空間關(guān)聯(lián)維數(shù)；若dij為i，j兩城市的實(shí)際交通距離，即乳牛距離，則D為交通網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)維數(shù).為了區(qū)分這兩個(gè)維數(shù)，我們將交通網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)維數(shù)記為D′.通常D′越接近于D，意味著城市間的連通性就越好.空間關(guān)聯(lián)維數(shù)能夠有效地反映城市體系中城市之間交通網(wǎng)絡(luò)的通達(dá)性和城市之間的關(guān)聯(lián)程度.劉繼生等進(jìn)一步定義牛鴉維數(shù)比為

牛鴉維數(shù)比是衡量城市體系交通網(wǎng)絡(luò)通達(dá)性的定量指標(biāo)，當(dāng)ρ＞1時(shí)，意味著交通網(wǎng)絡(luò)的通達(dá)性較差；而ρ越接近于1，說(shuō)明城市體系中城市間越接近于直線式連通，交通網(wǎng)絡(luò)的通達(dá)性越好，城市之間的關(guān)聯(lián)程度也就越高；當(dāng)ρ＝1時(shí)，意味著交通不受任何限制，但是這種極端理想的狀況在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中一般是不存在的［6］.

2 吉林省交通網(wǎng)絡(luò)的分形特征

2.1 研究區(qū)域情況

吉林省位于我國(guó)東北地區(qū)的中部，地處北溫帶，地理位置為東經(jīng)121°38′～131°19′、北緯40°52′～46°18′.全境東西最長(zhǎng)約750km，南北最寬約600km，總面積18.74萬(wàn)km2，約占全國(guó)總面積的2%，居全國(guó)第14位.吉林省現(xiàn)有8個(gè)地級(jí)市、1個(gè)自治州、20個(gè)縣級(jí)市、17個(gè)縣、3個(gè)自治縣［7］.吉林省的交通以鐵路為主、公路為輔.鐵路以長(zhǎng)春為中心，以吉林、四平、梅河口為主要樞紐，有京哈、長(zhǎng)圖、長(zhǎng)白、四齊、沈吉、四梅、梅集等鐵路干線，形成了連接市州及城鄉(xiāng)的鐵路網(wǎng)絡(luò).公路建設(shè)發(fā)展較快，有長(zhǎng)春至吉林、營(yíng)城子，延吉至圖們江，長(zhǎng)春繞城和途經(jīng)長(zhǎng)春的京哈高速公路，吉林至延吉和圖們江至琿春高速公路.

2.2 吉林省交通網(wǎng)絡(luò)覆蓋形態(tài)分維測(cè)算

用邊長(zhǎng)為R的網(wǎng)格覆蓋吉林省交通地圖，計(jì)算有交通線路通過(guò)的網(wǎng)格數(shù)N（R）.改變網(wǎng)格邊長(zhǎng)R，得到點(diǎn)對(duì)（R，N（R）），首先我們?cè)谧鴺?biāo)系中將（R，N（R））作雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（見(jiàn)圖1），然后利用SPSS進(jìn)行模擬計(jì)算，得到

圖1 交通網(wǎng)絡(luò)覆蓋形態(tài)分形維數(shù)雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

相關(guān)系數(shù)R＝0.999，即覆蓋度D＝1.598.再利用式（2）計(jì)算D（Ri），（Ri，D（Ri））形成一條曲線，該曲線近似地呈線性形狀（見(jiàn)圖2），利用線性回歸分析法進(jìn)行模擬計(jì)算，可得

圖2 覆蓋度擬合直線圖

相關(guān)系數(shù)R＝0.976.在α＝0.005下，Rα＝0.974，R＞Rα，故兩變量間線性相關(guān)關(guān)系顯著.統(tǒng)計(jì)量F＝60.955，在顯著性水平α＝0.005下，F(xiàn)α＝55.55，F(xiàn)＞Fα，故該回歸方程的回歸效果顯著.令D＝1.585，代入式（8）可得覆蓋深度

吉林省交通網(wǎng)絡(luò)覆蓋度D＝1.598＞1.585，網(wǎng)絡(luò)覆蓋形態(tài)較好.相距約4.26km的距離就有一條交通線路.

2.3 吉林省交通網(wǎng)絡(luò)空間關(guān)聯(lián)維數(shù)測(cè)算

下面分析吉林省交通網(wǎng)絡(luò)的空間分布情況.借助于吉林省交通地圖得到表1和表2，表1為吉林省9個(gè)主要城市之間的直線距離，表2為交通距離，這兩個(gè)表中的空白處可以由右上方的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)得到.用步長(zhǎng)Δr＝50km作為距離標(biāo)度r，得到點(diǎn)對(duì)（r，C（r）），然后在坐標(biāo)系中我們將（r，C（r））作雙對(duì)數(shù)圖（見(jiàn)圖3），再利用SPSS進(jìn)行模擬計(jì)算，分別得到

圖3 吉林省城市和交通網(wǎng)絡(luò)空間分布的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

表1 吉林省兩兩城鎮(zhèn)間直線距離－烏鴉距離陣km

表2 吉林省兩兩城鎮(zhèn)間交通距離－乳牛距離陣km

相關(guān)系數(shù)分別為R＝0.982和R＝0.991，即城市體系空間關(guān)聯(lián)維數(shù)D＝0.874，交通網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)維數(shù)D′＝0.862，由此可以得到吉林省交通網(wǎng)絡(luò)的牛鴉維數(shù)比為ρ＝0.9863.ρ低于并接近于1，說(shuō)明吉林省的交通網(wǎng)絡(luò)整體通達(dá)性比較好，發(fā)育比較成熟.

3 結(jié)論

（1）分維測(cè)算的相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.999和0.991，說(shuō)明吉林省交通網(wǎng)絡(luò)具有非常明顯的分形特征，分形理論適合于吉林省交通網(wǎng)絡(luò)的測(cè)算分析.

（2）在東北地區(qū)，吉林省位于黑龍江省和遼寧省之間，是東北地區(qū)的主要交通樞紐，吉林省的鐵路、公路、管道運(yùn)輸在全國(guó)也占有重要的地位.吉林省交通網(wǎng)絡(luò)發(fā)育比較成熟，通達(dá)性比較好，從而為東北地區(qū)鄉(xiāng)村與城市、生產(chǎn)與消費(fèi)、產(chǎn)品與市場(chǎng)之間架起了橋梁，為工業(yè)原料及商品運(yùn)輸提供了快捷的服務(wù)，也為鄉(xiāng)村人口向城市遷移提供了條件，同時(shí)強(qiáng)化了產(chǎn)業(yè)的城市選擇以及城市的產(chǎn)業(yè)吸引.

（3）長(zhǎng)春市和吉林市是吉林省中部地區(qū)的兩個(gè)特大城市，長(zhǎng)吉高速公路建成后，這兩個(gè)城市之間僅相距112km，因此在發(fā)揮這兩個(gè)城市之間距離優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)之上，在產(chǎn)業(yè)、基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、生態(tài)環(huán)境整治方面力爭(zhēng)資源共享，避免資源浪費(fèi)，兩個(gè)城市爭(zhēng)取在資源開(kāi)發(fā)和產(chǎn)品結(jié)構(gòu)上形成自己的特色，避免同類項(xiàng)目低水平重復(fù)建設(shè)，通過(guò)長(zhǎng)吉一體化發(fā)展，對(duì)我省的經(jīng)濟(jì)發(fā)展起到更加突出和明顯的輻射及帶動(dòng)作用.

（4）長(zhǎng)白山、北大湖、松花湖、查干湖、凈月潭、向海草原等是吉林省著名的旅游勝地，在未來(lái)的城市旅游業(yè)發(fā)展中要充分利用發(fā)達(dá)的交通運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步發(fā)揮這些旅游區(qū)的生態(tài)環(huán)境優(yōu)勢(shì)，提高它們的對(duì)外旅游吸引力，從而提高我省的經(jīng)濟(jì)收入，帶動(dòng)我省經(jīng)濟(jì)的發(fā)展.

（5）交通網(wǎng)絡(luò)建設(shè)引起的生態(tài)環(huán)境問(wèn)題日益嚴(yán)重，因此在交通網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃中必須重視減少污染、保護(hù)環(huán)境與提高土地利用等問(wèn)題.

［1］ 杜德斌，黃吉喬.長(zhǎng)江三角洲城市帶一體化的交通網(wǎng)絡(luò)模式構(gòu)［J］.經(jīng)濟(jì)地理，1999，19（3）：91－95.

［2］ BRAESS D.A paradox on traffic networks［EB/OL］.http：//homepage.ruhr－uni－bochum.de/.2004.

［3］ 李小建.經(jīng)濟(jì)地理學(xué)［M］.高等教育出版社，2006.

［4］ MANDELBERT B B.Fractal：from，chance and dimensions［M］.New York：W H Freeman，1977.

［5］ 丁以中，樓勇.分形理論在交通運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用［J］.上海海運(yùn)學(xué)院學(xué)報(bào)，1998，19（4）：7－12.

［6］ 劉繼生，陳彥光.城鎮(zhèn)體系空間結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)及其測(cè)算方法［J］.地理研究，1999，18（2）；171－178.

［7］ 李秀玲，李誠(chéng)固.基于分形理論的吉林省城市體系空間結(jié)構(gòu)特征研究［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，41（4）：145－148.

Abstract：The spatial structure of Jilin Province was quantitatively analysed using the fractal theory.The box－counting dimension and the spatial correlation dimension was put forward to analyzes the covering formation of transportation network and spatial distribution characteristics.And it also shows that transportation network of Jilin Province has the fractal characteristics，it developed maturely，the whole system of transportation network is much better.It should use develops transportation network to improve economic development.

Keywords：transportation network；covering formation；spatial distribution；fractal theory

（責(zé)任編輯：方 林）

The application of the fractal theory on study of the transportation network in Jilin Province

LI Xiu－ling1，LI Cheng－gu2
（1.School of Applied Mathematics，Jilin University of Finance and Economics，Changchun 130117，China；2.College of Urban and Environmental Sciences，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

K901；F 503［學(xué)科代碼］170·4520

A

2012－01－23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（40471014）；吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（201115183）.

李秀玲（1973—），女，博士，副教授，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)和區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)研究；李誠(chéng)固（1960—），男，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事城市規(guī)劃和區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)研究.

1000－1832（2012）02－0138－05